x + b! y + c! Osservazione: poiché ci sono infiniti piani ai quali appartiene una retta r, le equazioni non sono univocamente determinate.

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1 4 La retta in R 3 4 Le equazioni cartesiane di una retta Dati due piani Γ :ax +by +cz +d = 0 e Γ!: a! x + b! y + c! z + d! = 0 non paralleli tra loro, il luogo geometrico dei punti di intersezione tra essi è una retta Si deduce che le equazioni cartesiane di una retta sono " ax +by +cz +d = 0 r :# a! x + b! y + c! z + d! = 0 Osservazione: poiché ci sono infiniti piani ai quali appartiene una retta r, le equazioni non sono univocamente determinate 4 L equazione di una retta passante per due punti noti Una retta nello spazio è univocamente determinata da due punti L equazione di una retta ( ), B( x ;#y ;#z ) è, in analogia con quanto fatto in R, passante per due punti A x ;#y ;#z # x x x x = y y = z z = y y x r : x y y x x y y z z y y = z z y y z z 43 L equazione parametrica di una retta Consideriamo due punti A e B! su!" una retta Una retta può essere univocamente determinata da una direzione data dal vettore AB e dal punto A Dalla relazione data al sotto-paragrafo precedente, detti l = x x, m = y y e n = z z, le equazioni parametriche in forma scalare della retta sono x x = t y y l m = t z z x = x +lt n = t r : y = y +mt, ' z = z +nt dove il parametro è t R Per determinare l equazione parametrica in forma vettoriale della retta, tenuto conto che AB = l;"m;"n = OA+ AB"t ( ), si ottiene r :OP Poiché i valori l, m ed n danno la direzione della retta, tali valori sono detti coefficienti direttivi della retta Osservazione: Anche le equazioni parametriche non sono univocamente determinate Basta considerare una qualsiasi altra coppia di punti per rendersene conto 44 Come passare dalle coordinate cartesiane a quelle parametriche? Data l equazione cartesiana di una retta, determino su di essa due punti distinti A, B e procedo come al sotto-paragrafo precedente Un altro modo è quello di porre, ad esempio, z = t e scrivere x e y in funzione di t 9 di 3

2 " x y + z = 0 Esempio: scrivere le equazioni parametriche della retta r :# x 3y z = 0 I modo Determiniamo due punti della retta r, assegnando dei valori a caso alla variabile x e determinando i corrispondenti valori di y e z: A 0;# ;# AB = ;#;# ( ) Le equazioni parametriche sono r : # y = +t z = t ( ) e B( ;#0;#0) Otteniamo " x = t II modo Considero il sistema r :# x y + z = 0 # y = t + z # y = +t x 3y z = 0 t 3( t + z ) z = 0 z = t " x y + z = 0 Chiaramente, se invece considero il sistema r :# x 3y z = 0, ottengo una versione diversa di z = t " y = x +t " x = t equazioni parametriche: # x 3( x +t ) t = 0 # y = t z = t z = t 45 Come passare dalle coordinate parametriche alle coordinate cartesiane? I metodo: un primo metodo è quello di svincolare le incognite x, y e z dal parametro t, rimaneggiando il sistema, in modo da ottenere due equazioni II metodo: un altro metodo è quello di dare dei valori al parametro t in modo da determinare due punti distinti della retta (ne basterebbe uno solo visto che posso dedurre facilmente le coordinate del punto A); a questo punto basta applicare la relazione data nel 4 " x = t Esempio: determinare le equazioni cartesiani della retta r :# y = t z = t " x = t " x =+ z " x z = 0 I modo r :# y = t # y = z r :# z = t y + z = 0 z = t II modo Determiniamo due punti della retta: per t = 0 otteniamo A ;#0;#0 " x 0 = y 0 0 ( ) " B( 0;# ;#) Quindi r :# y 0 0 ( ) = z 0 x = y " x y = 0 # r :# y = z y + z = 0 0 Si osserva che le equazioni sono sì distinte ma rappresentano la medesima retta r ( ) ; per t = otteniamo 0 di 3

3 46 La posizione reciproca di due rette nello spazio Due rette nello spazio possono essere i complanari quando appartengono allo stesso piano In questo caso o le rette sono parallele oppure secanti (in un punto); ii sghembe quando non appartengono a uno stesso piano In questo caso le rette non sono né secanti né parallele 47 Condizione di parallelismo tra due rette Date due rette r e r!, esse sono parallele se i loro coefficienti direttivi sono in proporzione, ovvero i vettori l;"m;"n sintesi: ( ) e ( l!;" m! ;" n! ), relativi ad r ed! r // r! l l! r rispettivamente, sono linearmente dipendenti In = m m! = n! n rk # l m n ( = l! m! n! ' 48 Condizione di perpendicolarità tra due rette Date due rette r e r!, esse sono perpendicolari se i rispettivi vettori r! = l;"m;"n sono fra loro perpendicolari, ovvero quando r! r! ' = 0 Si ha: r r" l! l " +m! m " +n! n " = 0 ( ) ed r! ' = ( l!;# m! ;# n! ) 49 Rette secanti Per determinare il punto di intersezione tra due rette posso operare in due modi I modo Considero le loro equazioni cartesiane e risolvo il sistema r r " II modo Considero le loro equazioni parametriche; da quelle di r determino, per ogni variabile, il valore di t e lo sostituisco nell equazione della retta r! nelle rispettive variabili " x =+t # x = t Esempio: Considero le rette r :# y = t ed r!: y = t z = 3+t z = " t = x Per determinare il punto di intersezione, dalla seconda retta ottengo # t = y (il valore di z è già z = " x =+ ( x) " x = 0 determinato) e sostituisco nell equazione della prima: # y = y # y =, cioè il punto in z = z = comune è P( 0;#;#) di 3

4 40 Distanza di un punto P( x P ;y P ;z P ) da una retta r di direzione r! = ( l;"m;"n) step Come prima cosa determiniamo l equazione del piano Γ :ax +by +cz +d = 0 perpendicolare alla retta r, passante per il punto P Tale piano avrà gli stessi coefficienti direttivi della retta, quindi a = l, b = m e c = n Per determinare il parametro d impongo il passaggio per P e ottengo d = lx P my P nz P step Determiniamo la proiezione P! del punto P sulla retta r, ovvero il punto di intersezione del piano con la retta I modo Consideriamo l equazione cartesiana della retta e risolvo il sistema r Γ II modo Consideriamo l equazione parametrica della retta e sostituisco i valori di x, y e z, che dipendono dal parametro t, nell equazione del piano Mi trovo così il valore di t relativo al punto P! Ora basta semplicemente sostituire il valore di t nell equazione parametrica di r per determinare le coordinate del punto P! step 3 Determiniamo la distanza richiesta: dist P;r ( ) = P! " x =+t Esempio: calcolare la distanza del punto P( ;#0;#) dalla retta r :# y = t z = 3+t Innanzitutto notiamo che P r in quanto, sostituendo le coordinate del punto nell equazione della retta, il sistema risulta essere incompatibile, cioè non riesco a determinare un valore univoco del parametro t Determiniamo l equazione del piano Γ :ax +by +cz +d = 0 passante per P e perpendicolare alla retta r: a =, b =, c = e d = lx P my P nz P = +0 = 4 Quindi Γ : x y +z 4 = 0 Ora determiniamo la proiezione P! del punto P sulla retta r Dall equazione della retta r sostituisco i valori dipendenti da t nell equazione del piano: ( +t) ( t)+( 3+t) 4 = 0 t = 6 Le coordinate del punto cercato saranno # x = 6 ( P!: y = + 6 P! 5 6 ;( 3 6 (;8 + * - ) 3, z = 3 3 Finalmente determino la distanza richiesta: dist( P;r) = P! P # P = 5 # ( # ( + 8 ( 6' 6 ' 3' = 4 La posizione reciproca di una retta e un piano Una retta r e un piano Γ possono essere i secanti quando si intersecano in un punto; ii paralleli quando la direzione della retta e la normale al piano risultano essere tra loro perpendicolari; iii paralleli ed r Γ Per determinare eventuali punti di intersezione, un metodo è quello di mettere a sistema le equazioni cartesiane della retta con quella del piano Se il sistema risulta essere compatibile (il di 3

5 determinante della matrice associata è non nullo) allora i due oggetti sono secanti; se risulta incompatibile allora sono paralleli Per verificare che r Γ basta notare che il sistema è indeterminato Riferimenti bibliografici [] M Bergamini, A Trifone e G Barozzi, Matematicablu 0, vol 4, Zanichelli, Bologna, 0 [] S Salomon (PoliTO), [3] Matematicamente, [4] YouMath, [5] Wikipedia, 3 di 3