Ingegneria Meccanica; Algebra lineare e Geometria 2008/2009

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1 Capitolo Ingegneria Meccanica; Algebra lineare e Geometria 8/9. Esercii svolti su rette e piani Eserciio. Stabilire se le due rette r e s sono coincidenti oppure no: ( ( ( ( ( ( 7 r : = + t ; s : = + t y y 6 Ci sono tre metodi per risolvere l eserciio. Primo metodo: prendiamo il punto P della retta r e vediamo se appartiene all altra retta s; per questo dobbiamo scrivere: ( = ( t ( { =7 t =6 t { t = t = il sistema è soddisfatto; a questo punto dobbiamo confrontare i due vettori direttori e vedere se sono proporionali: ( ( = k si vede subito che risulta k = /. A questo punto possiamo affermare che le due rette sono coincidenti. Secondo metodo: visto che i P delle due rette sono diversi, è sufficiente vedere se ciascun P appartiene all altra retta; ora, dal primo metodo sappiamo che ciò è vero per il P della prima retta, quindi procediamo al calcolo dell altro P : ( ( ( { { 7 7=+t t = = + t 6 6= +t t = il sistema risulta soddisfatto. Le due rette coincidono dal momento che hanno due punti distinti in comune. Attenione: questo metodo è corretto se i due P sono distinti. Tero metodo: intersechiamo le due rette, arrivando al sistema lineare { +t =7 t +t =6 t { t +t = t +t = sistema indeterminato le due rette sono quindi coincidenti.

2 Ingegneria Meccanica; Algebra lineare e Geometria 8/9 Eserciio. Scrivere l equaione della retta s passante per il punto A di coordinate parallela alla retta r di equaione = + t. e Se prendiamo Q in modo tale che il vettore direttore della retta r sia uguale al vettore OQ, possiamo scrivere l equaione vettoriale della retta s: s : OP = OA + t OQ applicando F β ad entrambi i membri dell ultima equaione scritta arriviamo alla rappresentaione parametrica della retta s: s : = + t. Eserciio. Scrivere l equaione della retta r passante per i punti A di coordinate e B di coordinate. L equaione vettoriale della retta r è: OP = OA + t ( OB OA applicando F β ad entrambi i membri dell ultima equaione scritta arriviamo alla rappresentaione parametrica della retta r: r : = + t = + t. Eserciio. Scrivere l equaione della retta s passante per il punto A di coordinate e parallela alla retta r passante per i punti B di coordinate e C di coordinate. 6 L equaione vettoriale della retta s è: OP = OA + t ( OC OB applicando F β ad entrambi i membri dell ultima equaione scritta arriviamo alla rappresentaione parametrica della retta r: s : = + t = + t 6 6

3 . Esercii svolti su rette e piani Osservaione: se vogliamo che le coordinate del vettore direttore siano tutte intere, è sufficiente moltiplicarle per. L equaione così ottenuta risulta essere equivalente alla precedente: s : = + t 9. 6 Eserciio. Calcolare l interseione delle rette r : = + t e s : = + t. Per cercare l interseione delle due rette dobbiamo utiliare due parametri diversi, t e t : +t = t +t = +t t =+t t =6 t +t = +(6 t t =+(6 t t =6 t t = 7 t = 9 il sistema è impossibile, quindi le due rette non hanno interseione. Ci possiamo allora chiedere se sono parallele o sghembe. Vediamo se le rette sono parallele: basta confrontare i due vettori direttori e guardare se sono proporionali = k = k =k =k il sistema è impossibile; le rette sono quindi sghembe. k = k = k = Eserciio 6. Stabilire se il punto A di coordinate appartiene al piano π di equaione parametrica = + t + s. Per prima cosa verifichiamo che l equaione parametrica scritta rappresenta effettivamente un piano; per fare questo è sufficiente analiare i vettori di giacitura e stabilire che non sono proporionali: =k k = = k =k k = = k k = il sistema è impossibile, quindi i vettori di giacitura non sono proporionali l equaione scritta definisce correttamente un piano nello spaio.

4 Ingegneria Meccanica; Algebra lineare e Geometria 8/9 Per stabilire se il punto a π, dobbiamo risolvere il sistema lineare seguente: t = 9 7 = +t +s = t +s = +t s t +(t = t (t = s =t t = s =t il sistema è impossibile: il punto non appartiene al piano. Eserciio 7. Determinare l equaione del piano π passante per i punti A, B C. Scriviamo per prima cosa l equaione vettoriale del piano: OP = OA + t ( OB OA + s ( OC OA 7 e applicando F β ad entrambi i membri dell ultima equaione scritta arriviamo alla rappresentaione parametrica della retta r: = + t 7 + s l equaione del piano π risulta essere: = + t Eserciio 8. Stabilire se i punti A, B 6 + s. e C sono allineati. Possiamo procedere in due modi. Primo metodo: scriviamo la retta passante per i punti A e B e vediamo se il tero punto C appartiene a questa retta. La retta r passante per A e B ha equaione parametrica: 6 = + t a questo punto cerchiamo di risolvere il sistema seguente (stiamo guardando se C appartiene alla retta r: = 6t t = =+t t = = t t = il sistema è determinato i tre punti assegnati sono allineati.

5 . Esercii svolti su rette e piani Secondo metodo: si confrontano i vettori proporionali: OB OA = OC OA = ( OB OA i due vettori sono proporionali in quanto: 8 6 =( e = ( OC OA = 6 questo ci indica l allineamento dei tre punti assegnati A, B e C. Eserciio 9. Riesci a scrivere la retta r : = +t ; guardando se sono in modo del tutto equivalente ma utiliando altri numeri? E possibile procedere in questo modo: si assegna al parametro t un valore determinando così un punto che appartiene alla retta; questo punto sarà ilnuovop. Per quanto riguarda il vettore direttore basta moltiplicarlo per un numero k. Ad esempio, scelto t =ek = si ottiene una nuova equaione, ma equivalente a quella assegnata: 6 = + t. 6 Eserciio. Riesci a scrivere il piano π : = 9 + t 7 + s in modo del tutto equivalente ma utiliando altri numeri? E possibile procedere in modo analogo all eserciio precedente; attribuiamo ai due parametri i valori t = es = ed otteniamo un nuovo P : = 9 +( 7 + = per avere dei nuovi vettori di giacitura è possibile prendere t =,s = per un vettore e t =,s= per l altro (si osservi che le coppie (; e (; non sono proporionali: ι = 7 +( = 9 j = 7 + = 9 7

6 6 Ingegneria Meccanica; Algebra lineare e Geometria 8/9 in definitiva abbiamo questa nuova equaione parametrica (equivalente però a quella iniiale: = 9 + t 9 + s. 7 Eserciio. Determina l interseione (se esiste tra la retta r passante per i punti A e B ed il piano π di equaione = + t + s. Scriviamo prima di tutto l equaione parametrica della retta r: = + t per determinare l interseione della retta con il piano dobbiamo risolvere il sistema seguente: +t + s = t +t s = t +s =t t = s = t = il sistema è determinato: c è un unico punto di interseione E e, visto che siamo interessati alle sue coordinate, possiamo sostituire i parametri ottenuti al posto della retta e del piano. Per semplicità, ovviamente, conviene sostituire t = nell equaione parametrica della retta r: OE = = + = ; ovviamente troviamo lo stesso risultato sostituendo t = e s = nell equaione parametrica del piano π: ( OE = + + =. Eserciio. Scrivere l equaione cartesiana del piano π così definito: π : = + t + s Riscriviamo l equaione del piano sotto forma di sistema: =+t s y =+t s = t +s

7 . Esercii svolti su rette e piani 7 ricaviamoci il parametro t dalla prima equaione e sostituiamo l espressione di t nelle altre due equaioni; poi ci ricaviamo il parametro s dalla seconda e lo sostituiamo nella tera: t = +s t = +s y =+( +s s s = y = ( +s + s ( y = semplificando la tera equaione, nella quale non appaiono più i parametri, otteniamo l equaione cartesiana del piano: +y + 7 =. Verifichiamo se le coordinate del punto P soddisfano l equaione appena ricavata: = ; questo controllo però non è sufficiente per poter affermare di aver fatto tutto in modo corretto. Sostituiamo allora le coordinate del punto generico P nell equaione cartesiana del piano: +t s + ( + t s+ ( t +s 7 = =. Eserciio. Sia β = { ι ; j } una base di V O. Si calcoli le coordinate di ι j rispetto alla base β = { ι + j ; ι j }. E sufficiente impostare l equaione: svolgendo i calcoli otteniamo: ι j = ( ι + j +y ( ι j ι j =( +y ι +( y j uguagliando i coefficienti di ι edi j arriviamo al sistema lineare { = +y =. y = y = 7 ( ( ( ( ( a a Eserciio. Sono assegnate le rette r : = +t e s : = +t y a y stabilire per quali valori di a le due rette sono parallele. Analiiamo i vettori direttori e guardiamo per quali valori di a risultano proporionali: ( ( = k a ( ; a si trova subito che deve essere necessariamente a =. Questo ci assicura che le rette sono parallele? No, dobbiamo continuare la nostra analisi, in quanto potrebbero essere due rette coincidenti. Vediamo se il P della retta s appartiene alla retta r (ho sostituito a =: ( ( 8 = + t ( { = 8 + t = +t il sistema è impossibile: per a = le due rette sono parallele. t = t =

8 8 Ingegneria Meccanica; Algebra lineare e Geometria 8/9 Eserciio. Stabilire per quali valori di a la retta di equaione parametrica a = a + t è contenuta nel piano π di equaioni parametriche = + t + s. Ci conviene determinare l equaione cartesiana del piano esuccessivamente sostituire leequaioni della retta al posto di, y e. Vediamo allora l equaione cartesiana del piano: ( y =+t t = + =+t s y y =+s s = y s = y = t + s = t + y = ( + y + y arriviamo all equaione cartesiana + = a questo punto possiamo sostituire le equaioni della retta: at +( t = (a t = dal momento che la retta deve essere contenuta nel piano π, l ultima equaione scritta deve essere verificata per ogni t R; ma ciò non può accadere, dal momento che l equaione dovrebbe essere del tipo t =. Ne deduciamo che non esiste nessun valore di a per cui la retta è contenuta nel piano π; non solo, ma possiamo anche affermare che, se a =, la retta risulta parallela al piano (non ci sono interseioni con π; se invece a la retta interseca il piano in un solo punto. Eserciio 6. Scrivere l equaione parametrica di una retta contenuta nel piano dell eserciio precedente. E sufficiente considerare la retta = + t oppure la retta = + s. In generale, una retta contenuta nel piano ha equaione: = + t a + b dove (a; b (;.

9 . Esercii svolti su rette e piani 9 Eserciio 7. Scrivere le equaioni parametriche della retta interseione dei due piani di equaioni cartesiane y + = e + y +=. Ricaviamoci la da entrambe le equaioni considerando come parametro t, ottenendo: =y t + = y +t = t 7 y = t 7 l equaione parametrica cercata è: 7 = 7 + t. Eserciio 8. Determinare l equaione del piano contenente la retta di equaione = + t epassanteperilpuntoa. 6 Primo metodo: E sufficiente determinare il piano passante per tre punti, di cui due appartengono alla retta e il tero è proprio il punto A. Per ottenere le coordinate di due punti B, C sulla retta basta prendere t = et = (nonè l unica scelta: OB = ; OC = + = ; il piano passante per i tre punti ha equaione vettoriale: OP = ( ( OA + t OB OA + s OC OA applicando come al solito la trasformaione F β otteniamo: = + t + s Secondo metodo: Se indichiamo con OQ il vettore direttore della retta, il piano ha equaione vettoriale: OP = OA + t ( OQ + s OB OA passando alle coordinate abbiamo: = + t + s 6 7 l equaione trovata è diversa dalla precedente, ma è ad essa equivalente.

10 Ingegneria Meccanica; Algebra lineare e Geometria 8/9 Eserciio 9. Verificare che i tre punti A, B e C sono allineati e determinare 6 l equaione di tutti i piani che passano per essi. Verifichiamo per prima cosa l allineamento dei tre punti con la proporionalità dei due vettori: OB OA ; OC OA passando alle coordinate con l applicaione F β si ottiene: OB OA = = ; OC OA = 6 = si vede subito che risulta ( ( OC OA = OB OA. Passiamo ora alla determinaione dell equaione dei piani che passano per questi punti; questi piani devono contenere la retta passante per A e B, che ha equaione parametrica: = + t ; un piano che contiene questa retta ha equaione parametrica: a = + t + s b c dove il secondo vettore di giacitura non è proporionale all altro. Eserciio. Determinare l equaione cartesiana del piano = + t + s. Si nota subito che la coordinata y è uguale a indipendentemente dal valore dei parametri; prima però di affermare che l equaione è y = dobbiamo verificare che i due vettori di giacitura non sono proporionali: = k = k = k =k k = = k = il sistema è impossibile, quindi si tratta effettivamente di un piano; l equaione cercata è y =. Eserciio. Scrivere le equaioni parametriche del piano di equaione cartesiana +y 8=.

11 . Esercii svolti su rette e piani Ricaviamoci la considerando le altre variabili come parametri t e s: possiamo allora scrivere: = = s t +8 t s y +8 = In modo del tutto equivalente potevamo ricavarci la y: possiamo allora scrivere: = t s t +8 s y = s t +8 8 = + t + s. s t +8 = 8 + t + s ; in questo modo abbiamo un altra rappresentaione parametrica, diversa dalla precedente ma ad essa equivalente. Eserciio. Scrivi le equaioni cartesiane della retta = + t. Ricaviamoci il parametro t da tutte e tre le equaioni: t = t = y t = + uguagliando a due a due le equaioni arriviamo a scrivere le equaioni cartesiane della retta: = y { + y = y = +. y + = Eserciio. Scrivere le equaioni cartesiane della retta = + t. 7

12 Ingegneria Meccanica; Algebra lineare e Geometria 8/9 Questa volta non è possibile ricavare il parametro t da tutte e tre le equaioni; possiamo ricavarlo dalla prima e dalla tera, ottenendo: t = t = 7 uguagliando otteniamo: =. Manca un altra equaione; basta guardare l equaione 7 parametrica della retta e ci accorgiamo che la y è sempre uguale a, per cui l altra equaione è semplicemente y =. In definitiva, le equaioni cartesiane della retta risultano essere: = { = 7. y = y += Eserciio. Determina l interseione della retta = + t con il piano. Primo metodo: il piano ha equaione cartesiana y =, per cui è sufficiente risolvere l equaione t = t = OE =. Secondo metodo: scriviamo l equaione parametrica del piano : = + t + s e cerchiamo l interseione con la retta, risolvendo il sistema lineare +t = t t = +t = s t = t = s = sostituendo nelle equaioni della retta e del piano otteniamo OE =. Eserciio. Determina l equaione parametrica della retta interseione dei due piani π : = + t + s ; π : = + t + s

13 . Esercii svolti su rette e piani Primo metodo: Risolviamo il sistema lineare ( equaioni in incognite seguente: +t s = s t +s =+t +s t + s = +t + s ricaviamoci il parametro t in funione del parametro s : t =s + t s + s = s t = 6 t s = e sostituiamolo nell equaione parametrica del piano π : = +(s + + s = + s. Secondo metodo: scriviamo l equaione cartesiana del piano π e sostituiamo alle variabili, y e le equaioni parametriche del piano π. L equaione cartesiana del piano π è +y 7= sostituendo le equaioni parametriche del piano π otteniamo: ( s+(+t +s ( +t + s 7= ricavandoci il parametro t in funione del parametro s abbiamo: t =s + sostituendo nell equaione parametrica di π ricaviamo: = +(s + + s = + s. Tero metodo: scriviamo le equaioni cartesiane dei due piani: π : +y 7= ; π : + y = scriviamo il sistema lineare { +y 7= + y = { y =7 =7 (abbiamo considerato la come un parametro; possiamo allora scrivere: = 7 + t 7 non è difficile verificare che questa equaione è equivalente alle altre.