Esercizi su algebra lineare, fattorizzazione LU e risoluzione di sistemi lineari

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1 Esercizi su algebra lineare, fattorizzazione LU e risoluzione di sistemi lineari 4 maggio Nota: gli esercizi più impegnativi sono contrassegnati dal simbolo ( ) Esercizio Siano ) determinare la fattorizzazione ) risolvere il sistema lineare A x = b sfruttando la fattorizzazione 3) calcolare il determinante di A sfruttando la fattorizzazione LU di A Esercizio Siano , b = 33 9, b = ) determinare la fattorizzazione ) risolvere il sistema lineare A x = b sfruttando la fattorizzazione 3) risolvere il sistema lineare A x = b sfruttando la fattorizzazione 4) calcolare il determinante di A sfruttando la fattorizzazione LU di A

2 Esercizio 3 Sia Determinare la fattorizzazione LU di A Esercizio 4 Siano 3, e = ) determinare la fattorizzazione, e =, e 3 = ) risolvere i sistemi lineari A x = e, A x = e, A x 3 = e 3 sfruttando la fattorizzazione LU di A, 3) ( ) denotata con B la seguente matrice partizionata per colonne B = [x x x 3 ], calcolare il prodotto A B Commentare il risultato ottenuto Dedurne che il metodo di eliminazione di Gauss fornisce un modo per calcolare l inversa di una matrice 4) risolvere il sistema lineare A x = b con b = e confrontare il vettore soluzione x così ottenuto con il vettore x + x +3 x 3 Giustificare e generalizzare quanto si osserva Esercizio Sia 3 4 ) verificare che A non ammette una fattorizzazione LU senza l utilizzo del pivoting parziale, ) determinare la fattorizzazione LU con pivoting parziale di A, 3) dato b = risolvere il sistema lineare A x = b sfruttando la fattorizzazione LU con pivoting parziale di A 4 9,

3 Esercizio 6 Sia Determinare la fattorizzazione LU con pivoting parziale di A Esercizio 7 Sia Determinare la fattorizzazione LU con pivoting parziale di A Esercizio 8 Sia Determinare la fattorizzazione LU con pivoting parziale di A Esercizio 9 Trovare una forma a gradini di ciascuna delle seguenti matrici: 3 3 4, B = 6, C = 3 4 Determinare, inoltre, il rango di ciascuna delle tre matrici Esercizio Siano ) Determinare, se ne esistono, tutte le soluzioni del sistema lineare Ax = b, ) nel caso il sistema ammetta infinite soluzioni, determinarne una in particolare, 3) ( ) nel caso il sistema ammetta infinite soluzioni, determinarne quella di minor lunghezza, ovvero la soluzione x che minimizza la quantità x

4 Esercizio Ripetere l esercizio precedente per: a) 4 b) 4 Esercizio Discutere, al variare del parametro α, il rango della seguente matrice: 3 3 α 6 + α 4 α Esercizio 3 Siano + α Determinare i valori di α e β per cui il sistema Ax = b: ) non ammette alcuna soluzione, ) ammette unica soluzione, 3) ammette infinite soluzioni β Esercizio 4 Rispondere VERO o FALSO a ciascuna delle seguenti domande: ) un sistema lineare avente più incognite che equazioni ammette sempre almeno una soluzione, ) un sistema lineare avente più equazioni che incognite non ammette mai soluzione, 3) se un sistema lineare avente più incognite che equazioni ammette almeno una soluzione, ne ammette infinite Ogni risposta va giustificata con una dimostrazione o con un controesempio

5 Esercizio Determinare quali condizioni devono essere soddisfatte da b, b, b 3 affinché il seguente sistema ammetta soluzione: x + x = b x + x x 3 = b x + x 3 = b 3 Esercizio 6 Siano A, B R n n Dimostrare che: ) (A + B) = A + AB + B se e soltanto se AB = BA, ) (A + B)(A B) = A B se e soltanto se AB = BA Esercizio 7 Scrivere una function MATLAB che implementi la risoluzione di un sistema lineare Lx = b, con L matrice quadrata triangolare inferiore speciale, mediante l algoritmo della sostituzione in avanti La function deve avere come dati di input la matrice L ed il vettore dei termini noti b, come dato di output il vettore soluzione x ( ) Dimostrare che tale algoritmo richiede all incirca n operazioni floating point A tale scopo, puó risultare utile dimostrare che la somma dei primi n numeri interi dispari è pari a n : n (k ) = n k= Esercizio 8 Scrivere una function MATLAB che implementi la risoluzione di un sistema lineare U x = b, con U matrice quadrata triangolare superiore, mediante l algoritmo della sostituzione all indietro La function deve avere come dati di input la matrice U ed il vettore dei termini noti b, come dato di output il vettore soluzione x ( ) Dimostrare che tale algoritmo richiede all incirca n operazioni floating point Esercizio 9 Siano , b = 4 97 Calcolare la soluzione x del sistema esatto Ax = b e la soluzione x del sistema perturbato A x = b Spiegare i risultati ottenuti alla luce dell analisi del condizionamento della matrice A Esercizio Sia t Determinare il valore (o i valori) del parametro t per cui: ) il numero di condizionamento di A in norma- è minimo ) la matrice A è fortemente malcondizionata in norma-

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