Esercizi su algebra lineare, fattorizzazione LU e risoluzione di sistemi lineari
|
|
- Stefania Giulietta Carlini
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Esercizi su algebra lineare, fattorizzazione LU e risoluzione di sistemi lineari 4 maggio Nota: gli esercizi più impegnativi sono contrassegnati dal simbolo ( ) Esercizio Siano ) determinare la fattorizzazione ) risolvere il sistema lineare A x = b sfruttando la fattorizzazione 3) calcolare il determinante di A sfruttando la fattorizzazione LU di A Esercizio Siano , b = 33 9, b = ) determinare la fattorizzazione ) risolvere il sistema lineare A x = b sfruttando la fattorizzazione 3) risolvere il sistema lineare A x = b sfruttando la fattorizzazione 4) calcolare il determinante di A sfruttando la fattorizzazione LU di A
2 Esercizio 3 Sia Determinare la fattorizzazione LU di A Esercizio 4 Siano 3, e = ) determinare la fattorizzazione, e =, e 3 = ) risolvere i sistemi lineari A x = e, A x = e, A x 3 = e 3 sfruttando la fattorizzazione LU di A, 3) ( ) denotata con B la seguente matrice partizionata per colonne B = [x x x 3 ], calcolare il prodotto A B Commentare il risultato ottenuto Dedurne che il metodo di eliminazione di Gauss fornisce un modo per calcolare l inversa di una matrice 4) risolvere il sistema lineare A x = b con b = e confrontare il vettore soluzione x così ottenuto con il vettore x + x +3 x 3 Giustificare e generalizzare quanto si osserva Esercizio Sia 3 4 ) verificare che A non ammette una fattorizzazione LU senza l utilizzo del pivoting parziale, ) determinare la fattorizzazione LU con pivoting parziale di A, 3) dato b = risolvere il sistema lineare A x = b sfruttando la fattorizzazione LU con pivoting parziale di A 4 9,
3 Esercizio 6 Sia Determinare la fattorizzazione LU con pivoting parziale di A Esercizio 7 Sia Determinare la fattorizzazione LU con pivoting parziale di A Esercizio 8 Sia Determinare la fattorizzazione LU con pivoting parziale di A Esercizio 9 Trovare una forma a gradini di ciascuna delle seguenti matrici: 3 3 4, B = 6, C = 3 4 Determinare, inoltre, il rango di ciascuna delle tre matrici Esercizio Siano ) Determinare, se ne esistono, tutte le soluzioni del sistema lineare Ax = b, ) nel caso il sistema ammetta infinite soluzioni, determinarne una in particolare, 3) ( ) nel caso il sistema ammetta infinite soluzioni, determinarne quella di minor lunghezza, ovvero la soluzione x che minimizza la quantità x
4 Esercizio Ripetere l esercizio precedente per: a) 4 b) 4 Esercizio Discutere, al variare del parametro α, il rango della seguente matrice: 3 3 α 6 + α 4 α Esercizio 3 Siano + α Determinare i valori di α e β per cui il sistema Ax = b: ) non ammette alcuna soluzione, ) ammette unica soluzione, 3) ammette infinite soluzioni β Esercizio 4 Rispondere VERO o FALSO a ciascuna delle seguenti domande: ) un sistema lineare avente più incognite che equazioni ammette sempre almeno una soluzione, ) un sistema lineare avente più equazioni che incognite non ammette mai soluzione, 3) se un sistema lineare avente più incognite che equazioni ammette almeno una soluzione, ne ammette infinite Ogni risposta va giustificata con una dimostrazione o con un controesempio
5 Esercizio Determinare quali condizioni devono essere soddisfatte da b, b, b 3 affinché il seguente sistema ammetta soluzione: x + x = b x + x x 3 = b x + x 3 = b 3 Esercizio 6 Siano A, B R n n Dimostrare che: ) (A + B) = A + AB + B se e soltanto se AB = BA, ) (A + B)(A B) = A B se e soltanto se AB = BA Esercizio 7 Scrivere una function MATLAB che implementi la risoluzione di un sistema lineare Lx = b, con L matrice quadrata triangolare inferiore speciale, mediante l algoritmo della sostituzione in avanti La function deve avere come dati di input la matrice L ed il vettore dei termini noti b, come dato di output il vettore soluzione x ( ) Dimostrare che tale algoritmo richiede all incirca n operazioni floating point A tale scopo, puó risultare utile dimostrare che la somma dei primi n numeri interi dispari è pari a n : n (k ) = n k= Esercizio 8 Scrivere una function MATLAB che implementi la risoluzione di un sistema lineare U x = b, con U matrice quadrata triangolare superiore, mediante l algoritmo della sostituzione all indietro La function deve avere come dati di input la matrice U ed il vettore dei termini noti b, come dato di output il vettore soluzione x ( ) Dimostrare che tale algoritmo richiede all incirca n operazioni floating point Esercizio 9 Siano , b = 4 97 Calcolare la soluzione x del sistema esatto Ax = b e la soluzione x del sistema perturbato A x = b Spiegare i risultati ottenuti alla luce dell analisi del condizionamento della matrice A Esercizio Sia t Determinare il valore (o i valori) del parametro t per cui: ) il numero di condizionamento di A in norma- è minimo ) la matrice A è fortemente malcondizionata in norma-
1. Calcolo dell indice di condizionamento di una matrice
1 Esercizi sul condizionamento con matlab laboratorio di Calcolo Scientifico per Geofisici Prof. A. Murli a.a. 2006/07 1. Calcolo dell indice di condizionamento di una matrice Determinare una function
Dettagli2. Risolvere con il metodo di eliminazione di Gauss con pivoting parziale il seguente sistema lineare:
Esercizi sui metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari 1. Data la matrice 1 0 2 1 3 1 5 2 1 determinare la sua fattorizzazione P LR. Risolvere il sistema Ax = b con b = (3, 5, 6) T mediante
DettagliComplementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A
Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A. 0-0 Laboratorio 9 Autovalori, raggio spettrale e norme di matrici Sia A una matrice quadrata di ordine n a valori reali o complessi, il numero λ C si dice
DettagliSistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi
Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi Terminologia Operazioni elementari sulle righe. Equivalenza per righe. Riduzione a scala per righe. Rango di una matrice. Forma canonica per righe. Eliminazione
DettagliCorso di Geometria e Algebra Lineare
Prof. C. Vergara, Dott.ssa N. Franchina, Dr. A. Colombo Corso di Geometria e Algebra Lineare Laboratorio 3: sistemi lineari 25 29 Maggio 2015 Metodi diretti per sistemi lineari Si consideri il seguente
DettagliCalcolo Numerico (CdS in Matematica) A.A. 2012/13
Calcolo Numerico (CdS in Matematica) A.A. 2012/13 Esercitazione di Laboratorio sulla risoluzione di sistemi di equazioni lineari Parte 1. Fattorizzazione di matrici Scrivere una funzione Matlab che implementi
DettagliProblema. Sistemi lineari. Problema. Problema. Quali sono i potenziali in ogni nodo? Leggi di Kirkoff e di Ohm:
Problema 4 Ω 3 3 Ω 2 2 Ω 40 V Sistemi lineari 2 Ω Ω 2 Ω Ω 5 6 7 8 Ω 4 Ω Ω 0 V Quali sono i potenziali in ogni nodo? 2 4 Ω Problema 3 3 Ω 2 2 Ω 40 V 4 Ω Problema 3 3 Ω 2 2 Ω 40 V 2 Ω Ω 2 Ω Ω 2 Ω Ω 2 Ω Ω
DettagliComplementi di Matematica e Calcolo Numerico C.L. Chimica Industriale A.A
Complementi di Matematica e Calcolo Numerico C.L. Chimica Industriale A.A. 208-209 Laboratorio 4-4 aprile 209 Metodo delle sostituzioni in avanti per sistemi lineari con matrice triangolare inferiore Siano
DettagliMatrici. 3. Costruire le seguenti matrici, contarne gli elementi non nulli e visualizzarle con spy: . B 10x10 = ; D 7x7 =
Matrici diag, tril, triu. Sia v il vettore colonna casuale di lunghezza. Calcolare: diag(v), diag (v,), diag (v,-), diag(v,), diag(v,-). Sia A la matrice magica x. Calcolare: tril(a), tril(a, ), tril(a,
DettagliMotivazioni. Sistemi lineari. Obiettivo. Il problema
Motivazioni Sistemi lineari Metodo di eliminazione di Gauss Molti problemi si possono rappresentare mediante un sistema lineare La soluzione di un sistema lineare costituisce un sottoproblema di moltissime
DettagliCapitolo 1. Esercizi a.a Esercizi. Esercizio 1.1 Dimostrare che il metodo iterativo
Capitolo Esercizi a.a. 206-7 Esercizi Esercizio. Dimostrare che il metodo iterativo x k+ = Φ(x k ), k = 0,,..., se convergente a x, deve verificare la condizione di consistenza x = Φ(x ). Ovvero, la soluzione
DettagliComplementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A
Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A. 207-208 Laboratorio 5 Metodi diretti per sistemi lineari Siano A R n n una matrice quadrata non singolare (det(a) 0) e b R n un vettore assegnati, allora
DettagliFattorizzazione LU (lu)
Fattorizzazione LU (lu) Pivoting Esercizio Si consideri la matrice d A = / d d / d = LU; dove d è un parametro reale non nullo. Si utilizzi la fattorizzazione di A per risolvere il sistema Ax = b, con
Dettaglin +1 determinanti (D i, i =1,...,n e det A) n! prodotti per ciascun determinante n 1 moltiplicazioni per ciascun prodotto
METODI NUMERICI (A.A. 2007-2008) Prof. F.Pitolli Appunti delle lezioni sui sistemi lineari: metodi diretti; condizionamento Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari Metodi diretti Sono basati
DettagliComplementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A
Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A. 205-206 Laboratorio 9 Metodo di Eliminazione Gaussiana per sistemi lineari Siano A R n n una matrice quadrata non singolare (det(a) 0) e b R n un vettore
DettagliAppunti su Indipendenza Lineare di Vettori
Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Claudia Fassino a.a. Queste dispense, relative a una parte del corso di Matematica Computazionale (Laurea in Informatica), rappresentano solo un aiuto per lo
DettagliCorso di Matematica per la Chimica
Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 2013-14 Pivoting e stabilità Se la matrice A non appartiene a nessuna delle categorie precedenti può accadere che al k esimo passo risulti a (k) k,k = 0, e quindi il
DettagliComplementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A
Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A. 20-206 Laboratorio 8. (punteggio 3/3/) Si consideri la funzione f(x) = sin(e x/2 ).. Si approssimi la radice α di f nell intervallo [0, 3.] utilizzando
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 3: soluzioni
Corso di Geometria - BIAR, BSIR Esercizi : soluzioni Rango e teorema di Rouché-Capelli Esercizio. Calcolare il rango di ciascuna delle seguenti matrici: ( ) ( ) ( ) A =, A =, A =, A 4 = ( ). a a a Soluzione.
DettagliComplementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A
Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A. 206-207 Laboratorio Autovalori, raggio spettrale e norme di matrici Sia A una matrice quadrata di ordine n a valori reali o complessi, il numero λ C si
DettagliEsercitazione 4 Sistemi lineari, pivoting
Esercitazione 4 Sistemi lineari, pivoting a.a. 218-19 Esercizio 1 (T) Quando viene utilizzato il pivoting parziale? La fattorizzazione ottenuta con il pivoting per colonne è unica? Si può applicare anche
DettagliRisoluzione di più sistemi con la stessa matrice
Risoluzione di più sistemi con la stessa matrice Data A R n n e b R n, calcolare x e z : Ax = b, Az = c costo del MEG ( 2 3 n3 + n 2) + ( 2 3 n3 + n 2) costo totale = 4 3 n3 + 2n 2 Obiettivo: separare
Dettagli5.7 Esercizi (V Settimana)
5.7 Esercizi (V Settimana) 7 5.7 Esercizi (V Settimana) 5.7. Sia data f :(R 3 ) (R 3 ) da f(a,b,c) =(a + b, b, a + b + c). Si scriva la f sotto forma del prodotto di un vettore riga per una matrice A;.
Dettagli1 Spazi vettoriali. Sottospazi.
CORSO DI ALGEBRA LINEARE. A.A. 004-005. Esercitazione del 10 Gennaio 005. (Prof. Mauro Saita, e-mail: maurosaita@tiscalinet.it) 1 Spazi vettoriali. Sottospazi. Esercizio 1.1 Siano v 1 = (, 5, 1, 3), v
DettagliCORSO DI LAUREA IN INFORMATICA CALCOLO NUMERICO Secondo esonero - 07 Giugno x y =2.
ORSO DI LAUREA IN INFORMATIA ALOLO NUMERIO Secondo esonero - 7 Giugno - Traccia. [Punti:.a: ;.b: ;.c:] Sia dato il sistema x + y + z =, x y =. (.a) Determinarne l insieme delle soluzioni. (.b) Indicare
DettagliSistemi lineari. Lucia Gastaldi. DICATAM - Sez. di Matematica,
Sistemi lineari Lucia Gastaldi DICATAM - Sez. di Matematica, http://www.ing.unibs.it/gastaldi/ Indice 1 Risoluzione di sistemi lineari Risoluzione di sistemi lineari in Matlab Metodi di risoluzione Fattorizzazione
DettagliFondamenti di Algebra Lineare e Geometria - Ingegneria Aerospaziale Prima prova parziale - 17 aprile Nome Cognome Matricola
Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria - Ingegneria Aerospaziale Prima prova parziale - 17 aprile 2015 A Nome Cognome Matricola Problema 1 2 3 4 Totale Voto Problema 1 Si consideri il sistema lineare
Dettaglia = 37679, b = 37654, c = ,
Esercizi di Calcolo Scientico e Metodi Numerici 1. Dati i tre numeri si calcolino le quantità a = 37679, b = 37654, c = 5.874, (a + b) + c e a + (b + c) in un sistema in virgola mobile in base 1 con mantissa
DettagliSISTEMI LINEARI. x y + 2t = 0 2x + y + z t = 0 x z t = 0 ; S 3 : ; S 5x 2y z = 1 4x 7y = 3
SISTEMI LINEARI. Esercizi Esercizio. Verificare se (,, ) è soluzione del sistema x y + z = x + y z = 3. Trovare poi tutte le soluzioni del sistema. Esercizio. Scrivere un sistema lineare di 3 equazioni
DettagliESERCIZI PROPOSTI. det A = = per cui il sistema si può risolvere applicando le formule di Cramer, cioè: dove: = =
ESERCIZI PROPOSTI Risolvere i seguenti sistemi lineari )-0), utilizzando, dove possibile, sia il metodo di Cramer sia quello della matrice inversa, dopo aver analizzato gli esempi a)-d): 2x + + 4z 5 a)
Dettagli1 1, { x1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 1 x 1 x 4 = = 0
a.a. 5-6 Esercizi. Sistemi lineari. Soluzioni.. Determinare quali delle quaterne, 3,, sono soluzioni del sistema di tre equazioni in 4 incognite { x x + x 3 = x 8x 3 = x x 4 =. Sol. Sostituendo ad x, x,
DettagliMetodi diretti: eliminazione gaussiana
Calcolo numerico 08/09 p. 1/1 SISTEMI LINEARI Metodi diretti: eliminazione gaussiana Calcolo numerico 08/09 p. 2/1 Sistemi lineari Ax = b, A R n n, b R n b INPUT x OUTPUT A relazione funzionale non ambigua
DettagliCorso di Matematica per la Chimica
Corso di Matematica per la Chimica Dott.ssa Maria Carmela De Bonis Dipartimento di Matematica, Informatica e Economia Università della Basilicata a.a. 2014-15 Propagazione degli errori introdotti nei dati
DettagliEsercizio 1. Esercizio 2
Sia data la matrice A A(α) = Esercizio α 2 2α 2 2, α R.) determinare per quali valori del parametro reale α é verificata la condizione necessaria e sufficiente di convergenza per il metodo di Jacobi;.2)
DettagliGeometria BAER I canale Foglio esercizi 2
Geometria BAER I canale Foglio esercizi Esercizio. ( ) Data la matrice, determinare tutte le matrici X Mat( ) tali che AX = 0 e tutte le matrici Y Mat( ) tali che Y 0. ( ) ( ) ( ) x y x + z y + w Soluzione:
Dettagli2 Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala.
Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala. Esercizio.1 Utilizzando il metodo di eliminazione di Gauss, risolvere i seguenti sistemi lineari: 1. 3. x 1 x + 3x 3 = 1 x 1 x x 3 = x 1 + x + 3x 3 = 5 x 1
DettagliSistemi lineari. Lucia Gastaldi. DICATAM - Sez. di Matematica,
Sistemi lineari Lucia Gastaldi DICATAM - Sez. di Matematica, http://lucia-gastaldi.unibs.it Indice 1 Risoluzione di sistemi lineari Risoluzione di sistemi lineari in Matlab Metodi di risoluzione Fattorizzazione
DettagliLaboratorio di Matematica Computazionale A.A Lab. 6
Laboratorio di Matematica Computazionale A.A. 2007-2008 Lab. 6 Risoluzione di sistemi triangolari Si scriva una function Matlab che, presa in ingresso una matrice triangolare inferiore L e un termine noto
DettagliCorso di Matematica per la Chimica
Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 2013-14 Pivoting e stabilità Se la matrice A non appartiene a nessuna delle categorie precedenti può accadere che al k esimo passo risulti a (k) k,k = 0, e quindi il
DettagliSISTEMI LINEARI. Metodi diretti. Calcolo numerico 07/08 p. 1/1
SISTEMI LINEARI Metodi diretti Calcolo numerico 07/08 p. 1/1 Sistemi lineari Ax = b, A R n n, b R n b INPUT x OUTPUT A relazione funzionale non ambigua det(a) 0 ( un unica soluzione) (Esercizio 1) Se det
DettagliApplicazioni eliminazione di Gauss
Applicazioni eliminazione di Gauss. Premessa Nel seguito supporremo sempre di applicare il metodo di eliminazione di Gauss allo scopo di trasformare la matrice del sistema Ax = b in una matrice triangolare
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni
Corso di Geometria 2- BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni Esercizio Calcolare il determinante della matrice 2 3 : 3 2 a) con lo sviluppo lungo la prima riga, b) con lo sviluppo lungo la terza colonna, c)
DettagliALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 2015/2016 docente: Elena Polastri,
ALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 05/06 docente: Elena Polastri, plslne@unife.it Esercizi 3: SPAZI VETTORIALI e MATRICI Combinazioni lineari di vettori.. Scrivere il vettore
DettagliA = e 1 = e 2 + e 3, e 2 = e 1 + e 3, e 3 = e 1, ; e 3 =
aa -6 Soluzioni Esercizi Applicazioni lineari Sia data l applicazione lineare F : R R, F X A X, dove A i Sia {e, e, e } la base canonica di R Far vedere che i vettori e e + e, e e + e, e e, formano una
DettagliCorso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle matrici. Una tabella rettangolare: la matrice. Una tabella rettangolare: la matrice
Pordenone Corso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Udine
DettagliProgramma del corso di: Laboratorio di Programmazione e Calcolo Corso di laurea in Matematica a.a Proff. B. Paternoster, D.
Programma del corso di: Laboratorio di Programmazione e Calcolo Corso di laurea in Matematica a.a.009-0 Proff. B. Paternoster, D. Conte Risoluzione di un problema con il calcolatore: dal problema reale
DettagliCorso di laurea in Matematica Laboratorio di Programmazione e Calcolo Prof. A. Murli. Esercizi di riepilogo - LABORATORIO
Cognome: Nome: 1 Matricola: Corso di laurea in Matematica Laboratorio di Programmazione e Calcolo Prof. A. Murli Esercizi di riepilogo - LABORATORIO Creare una directory nominata cognome nome dove cognome
DettagliEsercitazione di Calcolo Numerico 1 22 Aprile Determinare la fattorizzazione LU della matrice a 1 1 A = 3a 2 a 2a a a 2 A =
Esercitazione di Calcolo Numerico 22 Aprile 29. Determinare la fattorizzazione LU della matrice a A = 3a 2 a 2a a a 2 ed utilizzarla per calcolare il det(a). 2. Calcolare il determinante della matrice
DettagliRaccolta di compiti degli appelli precedenti
Ingegneria Informatica e delle Telecomunicazioni Anno accademico 24-25. Docente Costanza Conti Raccolta di compiti degli appelli precedenti Nota: Gli esercizi riportati si riferiscono a compiti dei precendeti
DettagliCorso di Matematica per la Chimica. Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a
Dottssa Maria Carmela De Bonis aa 2013-14 Metodi diretti Si chiamano metodi diretti quei metodi numerici che risolvono sistemi lineari in un numero finito di passi In altri termini, supponendo di effettuare
DettagliTEMA 1. Tempo a disposizione: 35 minuti per le domande teoriche e 40 minuti per l esercizio.
TEMA 1 Teoria 1: 6 punti. Definire il modulo e l argomento di un numero complesso. Teoria 2: 6 punti. Enunciare il teorema delle dimensioni (senza dimostrazione). Teoria 3: 6 punti. Sia K un campo. Dimostrare
DettagliProgrammare con MATLAB c Parte 5 Cicli: for e while
Programmare con MATLAB c Parte 5 Cicli: for e while Lucia Gastaldi DICATAM - Sezione di Matematica, http://lucia-gastaldi.unibs.it Indice 1 La notazione due punti 2 Ciclo: for 3 Ciclo con controllo: while
DettagliSistemi lineari. Lucia Gastaldi. 11 novembre Dipartimento di Matematica,
Sistemi lineari Lucia Gastaldi Dipartimento di Matematica, http://dm.ing.unibs.it/gastaldi/ 11 novembre 2007 Outline 1 Come risolvere un sistema lineare con MATLAB Il comando per risolvere i sistemi lineari
DettagliSISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1
MATRICI E SISTEMI SISTEMI LINEARI Sistemi lineari e forma matriciale (definizioni e risoluzione). Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari parametrici. Esercizio Risolvere il sistema omogeneo la cui
DettagliLaboratorio di Calcolo Numerico Laboratorio 11: Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari
Laboratorio di Calcolo Numerico Laboratorio 11: Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari Claudia Zoccarato E-mail: claudia.zoccarato@unipd.it Dispense: Moodle Dipartimento ICEA 17 Maggio 2017
DettagliGeometria BAER I canale Foglio esercizi 2
Geometria BAER I canale Foglio esercizi 2 Esercizio 1. Calcolare il determinante e l inversa (quando esiste) della matrice ( ) cos θ sin θ R θ =, θ [0, 2π] sin θ cos θ Soluzione: Il determinante ( é cos
DettagliPrima di risolverli, è necessario prevedere se ci saranno soluzioni e, eventualmente, quante saranno.
Sistemi lineari Prima di risolverli, è necessario prevedere se ci saranno soluzioni e, eventualmente, quante saranno. La discussione di un sistema si imposta in questo modo: 1 studiare il rango della matrice
DettagliSistemi Lineari. Andrea Galasso
Sistemi Lineari Andrea Galasso Esercizi svolti Teorema. (Rouché-Capelli. Un sistema lineare Ax = b ammette soluzioni se e solo se il rango della matrice dei coefficienti A è uguale al rango della matrice
DettagliSISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI
SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI Appunti presi dalle lezioni del prof. Nedo Checcaglini Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe 4B) January 17, 005 1 SISTEMI LINEARI Se a ik, b i R,
DettagliMetodi Diretti per la Risoluzione di Sistemi Lineari
Metodi Diretti per la Risoluzione di Sistemi Lineari Luca Gemignani luca.gemignani@unipi.it 20 marzo 2018 Indice Lezione 1: Sistemi Triangolari. 1 Lezione 2: Matrici Elementari di Gauss ed il Metodo di
DettagliPolitecnico di Torino Facoltà di Architettura. Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte
Politecnico di Torino Facoltà di Architettura Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte relativi a: algebra lineare, vettori e geometria analitica Esercizio. Determinare, al variare del parametro
DettagliProblemi di Calcolo Numerico
Problemi di Calcolo Numerico Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica a.a. 20/202 2 Sistemi di equazioni lineari In questa Sezione, le frasi (la procedura) XX termina su x e (la funzione) XX è definita
DettagliFONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA CHIMICA E DEI MATERIALI 8 LUGLIO 2015
FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA CHIMICA E DEI MATERIALI 8 LUGLIO 2015 MATTEO LONGO Svolgere entrambe le parti (Teoria ed Esercizi Si richiede la sufficienza su entrambe le parti 1
DettagliAlgebra Lineare. a.a Gruppo A-H. Prof. P. Piazza Soluzioni del compito pomeridiano del 6/12/2004
Algebra Lineare. a.a. 004-05. Gruppo A-H. Prof. P. Piazza Soluzioni del compito pomeridiano del 6/1/004 Esercizio 1. Siano V e W due spazi vettoriali e sia F : V W un isomorfismo (quindi F è lineare e
DettagliCorso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE. Giovanni Villani
Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE Giovanni Villani Matrici Definizione 1 Si definisce matrice di tipo m n una funzione che associa
Dettagli0.1 Soluzioni esercitazione IV, del 28/10/2008
1 0.1 Soluzioni esercitazione IV, del 28/10/2008 Esercizio 0.1.1. Risolvere, usando il teorema di Cramer, i seguenti sistemi lineari 2x + y + z = 0 x + 3z = 1 x y z = 1 kx + y z = 1 x y + 2z = 1 2x + 2y
DettagliESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E COMPLEMENTI DI GEOMETRIA
ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E COMPLEMENTI DI GEOMETRIA Foglio Esempio. Determinare le soluzioni del sistema lineare Ax = B, in cui 4 A = 6 6, B = Sol. Consideriamo la matrice aumentata C = 4 6 6 6 5 e
DettagliRisoluzione di sistemi lineari
Risoluzione di sistemi lineari Teorema (Rouché-Capelli) Dato il sistema di m equazioni in n incognite Ax = b, con A M at(m, n) b R n x R n [A b] si ha che: matrice dei coefficienti, vettore dei termini
DettagliRaccolta di esercizi di Calcolo Numerico Prof. Michela Redivo Zaglia
Raccolta di esercizi di Calcolo Numerico Prof. Michela Redivo Zaglia Nota Bene: Gli esercizi di questa raccolta sono solo degli esempi. Non sono stati svolti né verificati e servono unicamente da spunto
DettagliEsercitazione 5: Sistemi a risoluzione immediata.
Esercitazione 5: Sistemi a risoluzione immediata. Ipotesi: Supponiamo le matrici non singolari. Nota: Per verificare che si ha risolto correttamente il sistema lineare Ax = b basta calcolare la norma del
DettagliAlgebra Proff. A. D Andrea e P. Papi Quarto scritto
Algebra Proff. A. D Andrea e P. Papi Quarto scritto LUGLIO 8 Nome e Cognome: Numero di Matricola: Esercizio Punti totali Punteggio 6.5 6.5 3 6.5 4 6.5 5 6.5 otale 3 Occorre motivare le risposte. Una soluzione
Dettagli3x 2 = 6. 3x 2 x 3 = 6
Facoltà di Scienze Statistiche, Algebra Lineare 1 A, GParmeggiani LEZIONE 7 Sistemi lineari Scrittura matriciale di un sistema lineare Def 1 Un sistema di m equazioni ed n incognite x 1, x 2, x n, si dice
DettagliUNIVERSITA DEGLI STUDI LA SAPIENZA DI ROMA POLO DI RIETI FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA DELL AMBIENTE E DEL TERRITORIO
UNIVERSITA DEGLI STUDI LA SAPIENZA DI ROMA POLO DI RIETI FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA DELL AMBIENTE E DEL TERRITORIO Geometria 9 5 A.A. 5 Cognome Nome Matricola Codice Scrivere in
DettagliGeometria BAER PRIMO CANALE Foglio esercizi 1
Geometria BAER PRIMO CANALE Foglio esercizi 1 Esercizio 1. Risolvere le seguenti equazioni lineari nelle variabili indicate trovando una parametrizzazione dell insieme delle soluzioni. a) x + 5y = nelle
DettagliFONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 4: soluzioni
Corso di Geometria - BIAR, BSIR Esercizi : soluzioni Esercizio. Sono dati i seguenti sistemi lineari omogenei nelle incognite x, y, z: { x + y z = x + y z = x + y z = S : x y + z =, S :, S 3 : x 3y =,
Dettagli2. Determinare le dimensioni dei seguenti sottospazi W ed esibirne due basi basi diverse, quando è possibile:
aa 5-6 Esercizi 5 Basi dimensione e coordinate Soluzioni Apostol: Sezione 5 Esercizi 6a 7 8 9 Determinare le dimensioni dei seguenti sottospazi W ed esibirne due basi basi diverse quando è possibile: i
DettagliI. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ.
ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli esercizi proposti nei fogli di esercizi su vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti e su sistemi lineari ) I. Foglio
DettagliGeometria BIAR Esercizi 2
Geometria BIAR 0- Esercizi Esercizio. a Si consideri il generico vettore v b R c (a) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v a (b) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v kb (c) Si
DettagliFederica Gregorio e Cristian Tacelli
1 Sistemi lineari Federica Gregorio e Cristian Tacelli Un sistema lineare m n (m equazioni in n incognite) è un insieme di equazioni lineari che devono essere soddisfatte contemporaneamente a 11 x 1 +
DettagliCorso di Analisi Numerica
con pivoting Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Corso di Analisi Numerica 6 - METODI DIRETTI PER I SISTEMI LINEARI Lucio Demeio Dipartimento di Scienze Matematiche con pivoting 1 2 3 con pivoting
DettagliMATEMATICA. a.a. 2014/ Sistemi di equazioni lineari
MATEMATICA a.a. 2014/15 8. Sistemi di equazioni lineari SISTEMI LINEARI Si definisce sistema lineare un sistema di p equazioni di primo grado in q incognite. a11x1 + a12 x2 +... + a1 qxq = k1 a21x1 + a22x2
DettagliNote per le esercitazioni di Geometria 1 a.a. 2007/08 A. Lotta. Metodi per il calcolo del rango di una matrice
Note per le esercitazioni di Geometria 1 a.a. 2007/08 A. Lotta Versione del 21/12/07 Metodi per il calcolo del rango di una matrice Sia A M m,n (K). Denotiamo con A (i) la riga i-ma di A, i {1,..., m}.
DettagliA m n B n p = P m p. 0 1 a b c d. a b. 0 a 0 c Il risultato e lo stesso solo nel caso in cui c = 0 e a = d.
Matematica II, 220404 Il prodotto di matrici e un operazione parziale che prende in entrata una matrice A ed una matrice B, tali che il numero delle colonne di A sia uguale al numero delle righe di B,
DettagliEsercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica
Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica 1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = ( 1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span(a, b}). 2) Nello spazio vettoriale
DettagliCorso di Analisi Numerica
con pivoting Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Corso di Analisi Numerica 6 - METODI DIRETTI PER I SISTEMI LINEARI Lucio Demeio Dipartimento di Scienze Matematiche con pivoting 1 Introduzione algebrica
DettagliEsercizi di Geometria e Algebra Lineare
Esercizi di Geometria e Algebra Lineare 1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = ( 1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span(a, b}) 2) Nello spazio vettoriale R 3 sul campo R, sia
DettagliEsercizi complementari
Esercizi complementari (tratti dagli esercizi del prof. Alberto Del Fra) Relazioni 1) Quali delle seguenti relazioni sono di equivalenza? x, y R {0} xry x/y Q x, y Z xry x + y è divisibile per 17 x, y
DettagliCalcolo Numerico - Prova Matlab 19 luglio 2013
9 luglio 0 () tempo a disposizione per completare la prova: ora; () lo svolgimento della prova deve essere salvato in file denominati cognomenome#m; () è fatto assoluto divieto di aprire applicazioni diverse
Dettagli0.1 Complemento diretto
1 0.1 Complemento diretto Dato U V, un complemento diretto di U é un sottospazio W V tale che U W = {0} U + W = V cioé la somma di U con il suo complemento diretto é diretta, e dá tutto lo spazio vettoriale
DettagliMetodo dei minimi quadrati e matrice pseudoinversa
Scuola universitaria professionale della Svizzera italiana Dipartimento Tecnologie Innovative Metodo dei minimi quadrati e matrice pseudoinversa Algebra Lineare Semestre Estivo 2006 Metodo dei minimi quadrati
DettagliFacoltà di Scienze. Appello A
Facoltà di Scienze Appello -2-28-A SOLUZIONI Esercizio. Discutere e risolvere almeno 3 dei seguenti esercizi. Giustificare sempre le risposte, fornendo una dimostrazione nel caso l affermazione sia vera
DettagliEsercizio 1 Sia. a n. X (k+1) = X (k) (2I AX (k) )
Esercizi per la parte Numerica e Algoritmica, Prof. Serra-Capizzano. Gli esercizi elencati sono da ritenersi come una palestra molto impegnativa: i testi di esame che saranno proposti non avranno una difficoltà
DettagliCORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA
CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA FOGLIO DI ESERCIZI # 6 GEOMETRIA 1 Esercizio 6.1 (Esercizio 5.1). Scrivere un vettore w R 3 linearmente dipendente dal vettore v ( 1, 9, 0). Per esempio il vettore
DettagliSISTEMI LINEARI. x 2y 2z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga sulla matrice del primo sistema: 1 1 1 3 1 2 R 2 R 2 3R 0 4 5.
SISTEMI LINEARI Esercizi Esercizio. Risolvere, se possibile, i seguenti sistemi: x y z = 0 x + y + z = 3x + y + z = 0 x y = 4x + z = 0, x y z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga
DettagliSistemi di equazioni lineari. la soluzione è unica se det(a) 0 e vale
Sistemi di equazioni lineari a 00 x 0 + a 01 x 1 + a 02 x 2 = b 0 a 10 x 0 + a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 20 x 0 + a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 Per N equazioni N 1 j=0 a ij x j = b i i = 0, N 1 la soluzione
Dettagli