ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E COMPLEMENTI DI GEOMETRIA

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1 ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E COMPLEMENTI DI GEOMETRIA Foglio Esempio. Determinare le soluzioni del sistema lineare Ax = B, in cui 4 A = 6 6, B = Sol. Consideriamo la matrice aumentata C = e applichiamo ad essa l eliminazione di Gauss. In primo luogo moltiplichiamo la prima riga per (moltiplichiamo, cioè, la matrice C per la matrice elementare E ( ), ottendo così una matrice ad essa equivalente): Quindi alla precedente matrice effettuiamo le seguenti operazioni elementari: () sostituiamo la seconda riga con la seconda riga meno tre volte la prima, () sostituiamo alla terza riga la terza meno la prima e () sostituiamo la quarta riga con la quarta meno la prima, ottenendo 6 Ora moltiplichiamo la seconda riga per ottenendo la matrice Infine sostituiamo alla terza riga la terza meno la seconda ottenendo una forma ridotta della matrice C: U = La matrice U possiede due colonne dominanti e tre colonne libere, inoltre la colonna dei termini noti è libera, quindi il sistema ammette infinite soluzioni dipendenti da due paramentri. Sono a grato a quanti mi indicheranno i molti errori presenti in questi fogli, al fine di fornire uno strumento migliore a quanti lo riterranno utile, 6 5

2 Le soluzioni sono dove h, k C x = + h + k Esercizio. Determinare le soluzioni del sistema di matrice aumentata i i i i A = + i i i Esempio. Determinare la forma ridotta, le colonne dominanti, le colonne libere e il rango, al variare di α C della matrice i i iα A α = α + 4 α α + 4 α Sol. Effettuiamo operazioni elementari sulla matrice A α, mettendole in evidenza mediante le moltiplicazioni per matrici elemntari. A α = E ( i)a α = α 4 + α α α + 4 α α A α = E ( )E ( )A α = α + 4 α + 4 α Sia ora α + 4, allora A α = E ((α + 4) )A α = A α = E ( (α + 4))A α =, α (α + 4) α + 4 α α (α + 4) α Se inoltre α dividiamo l ultima riga per α, otteniamo una forma ridotta di A α per α, i, i U α = (α + 4) α Se α = i, i, allora Se, infine, α = U ±i = ±i i U = 4 Riassumendo e pensando alla matrice A α come alla matrice aumentata di un sistema lineare: se α, ±i, allora la prima, seconda e quarta colonna sono dominanti, mentre la terza è libera. Il rango di A α è. Il sistema associato, essendo la matrice dei termini noti dominante, non ammette soluzioni; se α = ±i, allora la prima, la terza e la quarta colonna sono dominanti, mentre la seconda è libera. Il rango di A ±i è. Il sistema associato, essendo la colonna dei termini noti dominante, non ammette soluzioni;

3 se α =, allora la prima e la seonda colonna sono dominanti, mentre la terza e la quarta sono libere. La matrice A ha rango. Il sistema associato, essendo la colonna dei temini noti libera, ammete infinite soluzioni dipendenti da un paramentro. In tal caso le soluzioni sono dove h C x = h 4 Esercizio 4. Determinare le soluzioni del sistema Ax = B, in cui α A = α +, B = Esercizio 5. Determinare al variare di α C le soluzioni del sistema lineare di matrice aumentata α α α α 6α A = α α + α 5 + α 7 + α + α 5 + 6α Esercizio 6. Determinare, alvariare di α C le soluzioni del sistema lineare nelle incognite x, y, z: y αx + (α )(z + ) = (α )x + αz = x + αy + α z = Esercizio 7. Determinare, al variare di α C le soluzione del sistema lineare x + x + αx + x 4 = α x + 6x + αx + x 4 = α + x x + (α )x 4 = α αx + ( α)x 4 = Esempio 8. Determinare le inverse destre della matrice A = e le inverse sinistre della matrice B = Sol. Determianiamo le inverse destre della matrice A, lasciando per esercizio il calcolo delle inverse sinistre della matrice B. La generica candidata inversa destra di A è una matrice R del tipo R = a e i b f l c g m d h n, 5 e tale che AR =. Ora AR = a c + d e g + h i m + n b + d f + h l + n a + b c e + f g i + l m

4 Ora AR è uguale all identità se e solo se sono soddisfatti i seguenti sistemi di tre equazioni in quattro incognite a c + d = b + d = a + b c = e g + h = f + h = e + f g = i m + n = l + n = i + l m = Applicando il metodo di Eliminazione di Gauss, si vede che i tre sistemi ammettono infinite soluzioni dipendenti da un parametro a = r e = s i = t b = r f = s l = t c = + r g = + s m = + t d = r h = s n = t (Attenzione: i parametri sono r, s, t!) Quindi le inverse destre della matrice A sono le matrici della forma r s t r s t + r + s + t r s t con r, s, t K, K = R oppure C. Esempio 9. Determinare per quali α C la matrice A α = α α α è invertibile. Per tali α determinare l inversa A α Sol. In primo luogo determiniamo il rango di A α al variare di α in C, determinando una forma a scala di A α. α α α + 5 È semplice osservare che se α e α 5 allora la matrice A α ha rango massimo (pari a tre) e quindi è invertibile. Consideriamo la matrice pluriaumentata (A α ) e tramite operazioni elementari cerchiamo di arrivare (e lo possiamo fare perché in questi casi A α è invertibile) ad una matrice pluriaumentata del tipo ( B α ) e B α sarà l inversa di A α. (A α ) = α α α Sostituiamo la terza riga con la terza meno la prima ottenendo la matrice α α α α + Quindi sostituiamo la terza riga con la terza meno due volte la seconda α α α + 5 Ora sostituiamo la seconda riga con (α + 5) volte la seconda più la terza e la prima riga con (α + 5) volte la prima meno tre volte la terza α + 5 α α α(α + 5) α + α + 5 4

5 Infine sostituiamo la prima riga con la prima più due volte la seconda α + 5 α α 5 α(α + 5) α + α + 5 Infine dividiamo la prima e la terza per (α + 5), e la seconda per α(α + 5). Quindi l inversa di A α, per α, 5 è A α = α α 5 α+ α + 5 α α α Esercizio. Dimostrare che se U M n n (C) è unitaria e hermitiana, allora P := ( n n U) è tale che P = P H e P = P. Viceversa, se P M n n (C) è una matrice tale che P = P H e P = P, allora U = n n P è unitaria e hermitiana. ( Ricordiamo che una matrice U M n n (C) si dice unitaria se UU H = n n = U H U.) 5

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