Sistemi differenziali 2 2: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari

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1 Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari 14 1

2 Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore Esercizio 1 Determinare l integrale generale dei seguenti sistemi lineari: { x [{ + x y = 0 x(t = c1 e t + c e 3t a y 4x + y = 0 y(t = c 1 e t c e 3t, c 1, c R { x [{ = x + y x(t = c1 e 3t + c e t ] b c 1, c R y = 4x y y(t = c 1 e 3t 4c e t, [ ( 3 4 (c1 c X + c + c te t ] = AX, con X(t = 1 1 (c 1 + c te t, c 1, c R 1 d X = AX, con 4 [ ( ] c X(t = 1 cos t + c sin t e 3t, c (c 1 + c cos t + (c 1 c sin t 1, c R 1 t e X = AX + B(t, con, B(t = 1 1 [ ( c1 e t + c e 3t X(t = t 11 ] 9 c 1 e t + c e 3t 3 t +, c 7 1, c R 9 ( 1 e f X 3t = AX + B(t, con, B(t = 1 0 X(t = c 1e t + c e 3t + 1 t e 3t, c 1, c R c 1 e t + c e 3t + 1 t e3t 0 1 sin t g X = AX + B(t, con, B(t = [ ( c1 cos t + c sin t 1 X(t = cos t + 1 t sin t ] c 1 sin t + c cos t + 1 t cos t, c 1, c R ] Svolgimento a Consideriamo il sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti { x + x y = 0 y 4x + y = 0 Scritto in forma esplicita (o normale diventa { x = x + y y = 4x y

3 Sistemi lineari 3 e in forma matriciale è X = AX, dove la matrice dei coefficienti è Calcoliamo gli autovalori di A Si ha che det(a λi = 1 λ λ = (λ Quindi gli autovalori di A sono λ 1 = 1 con molteplicità m 1 = 1 e λ = 3 con molteplicità m = 1 Determiniamo gli autovettori associati a λ 1 e λ Cominiciamo con λ 1 Risolviamo il sistema lineare (A Iv = 0 Posto v = (x, y si ottiene y = x Quindi si ha v = (x, x, x R Sia quindi v 1 = (1, uno di questi autovettori Cerchiamo un autovettore associato a λ = 3 Risolviamo il sistema lineare (A + 3Iv = 0 Posto v = (x, y si ottiene y = x Quindi si ha v = (x, x, x R Sia quindi v = (1, uno di questi autovettori L integrale generale è X(t = c 1 v 1 e t + c v e 3t = ( c1 e t + c e 3t c 1 e t c e 3t, c 1, c R In modo alternativo ma equivalente, si può dire che l integrale generale è dato da X(t = c 1 X 1 (t + c X (t, c 1, c R, dove X 1, X sono le due soluzioni linearmente indipendenti X 1 (t = v 1 e t, X (t = v e 3t b Consideriamo il sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti { x = x + y y = 4x y Scritto in forma matriciale è X = AX, dove la matrice dei coefficienti è Calcoliamo gli autovalori di A Si ha che det(a λi = λ λ = λ λ 6

4 4 Sistemi differenziali : esercizi svolti Quindi gli autovalori di A sono λ 1 = 3 con molteplicità m 1 = 1 e λ = con molteplicità m = 1 Determiniamo gli autovettori associati a λ 1 e λ Cominiciamo con λ 1 Risolviamo il sistema lineare (A 3Iv = 0 Posto v = (x, y si ottiene y = x Quindi si ha v = (x, x, x R Sia quindi v 1 = (1, 1 uno di questi autovettori Cerchiamo un autovettore associato a λ = Risolviamo il sistema lineare (A + Iv = 0 Posto v = (x, y si ottiene y = 4x Quindi si ha v = (x, 4x, x R Sia quindi v = (1, 4 uno di questi autovettori L integrale generale è ( c1 e 3t + c X(t = c 1 v 1 e 3t + c v e t e t =, c 1, c R c 1 e 3t 4c e t In modo alternativo ma equivalente, si può dire che l integrale generale è dato da X(t = c 1 X 1 (t + c X (t, c 1, c R, dove X 1, X sono le due soluzioni linearmente indipendenti X 1 (t = v 1 e 3t, X (t = v e t c Consideriamo il sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti X = AX, dove Calcoliamo gli autovalori di A Si ha che det(a λi = 3 λ λ = λ λ + 1 Quindi gli autovalori di A sono λ 1 = 1 con molteplicità m 1 = Determiniamo gli autovettori associati a λ 1 Risolviamo il sistema lineare (A Iv = 0 Posto v = (x, y si ottiene y = x Quindi si ha v = (x, x, x R Ne segue che la molteplicità geometrica dell autovalore λ 1 è 1 autovettori Sia v 1 = (1, uno di questi Determiniamo ora un autovettore generalizzato associato a λ 1 Risolviamo il sistema lineare (A Iv = v 1 Posto v = (x, y si ottiene x = y + 1 Quindi gli autovettori generalizzati sono della forma v = (y + 1, y, y R Sia quindi v = (1, 0 uno di questi autovettori

5 Sistemi lineari 5 L integrale generale è ( c1 e t + c X(t = c 1 v 1 e t + c (tv 1 + v e t te t =, c 1, c R c 1 e t + c te t In modo alternativo ma equivalente, si può dire che l integrale generale è dato da X(t = c 1 X 1 (t + c X (t, c 1, c R, dove X 1, X sono le due soluzioni linearmente indipendenti X 1 (t = v 1 e t, X (t = (tv 1 + v e t d Consideriamo il sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti X = AX, dove 1 4 Calcoliamo gli autovalori di A Si ha che det(a λi = λ 1 4 λ = λ 6λ + 10 Quindi gli autovalori di A sono complessi coniugati λ 1, = 3 ± i Determiniamo un autovettore associato a λ 1 = 3+i Risolviamo il sistema lineare (A (3+iIw = 0 Posto w = (x, y si ottiene y = (1 + ix Quindi si ha w = (x, (1 + ix, x C Scegliamo ad esempio w = (1, (1 + i Consideriamo la funzione Z(t = w e λ1t 1 = e 3t (cos t + i sin t = 1 + i [( ( ] cos t sin t = + i e 3t cos t + sin t cos t sin t L integrale generale è ( X(t = c 1 Re (Z(t + c Im (Z(t = al variare di c 1, c R c 1 cos t + c sin t (c 1 + c cos t + (c 1 c sin t e 3t, e Consideriamo il sistema lineare non omogeneo a coefficienti costanti X = AX + B(t, dove 1 t, B(t = 1 1 L integrale generale del sistema lineare non omogeneo X = AX +B è dato da X = X o + X p, dove X o è l integrale generale del sistema omogeneo associato X = AX e X p è un integrale particolare del sistema lineare non omogeneo X = AX + B

6 6 Sistemi differenziali : esercizi svolti Calcoliamo inizialmente X o Calcoliamo gli autovalori di A Si ha che det(a λi = 1 λ 1 λ = λ λ 3 Quindi gli autovalori di A sono λ 1 = 1 con molteplicità m 1 = 1 e λ = 3 con molteplicità m = 1 Determiniamo gli autovettori associati a λ 1 e λ Cominiciamo con λ 1 Risolviamo il sistema lineare (A + Iv = 0 Posto v = (x, y si ottiene y = x Quindi si ha v = (x, x, x R Sia quindi v 1 = (1, 1 uno di questi autovettori Cerchiamo un autovettore associato a λ = 3 Risolviamo il sistema lineare (A 3Iv = 0 Posto v = (x, y si ottiene y = x Quindi si ha v = (x, x, x R Sia quindi v = (1, 1 uno di questi autovettori L integrale generale del sistema omogeneo associato è X o (t = c 1 v 1 e t + c v e 3t = ( c1 e t + c e 3t c 1 e t + c e 3t, c 1, c R t Calcoliamo ora X p Il termine noto B del sistema non omogeneo è B(t = = 1 t e 1 0t Quindi le sue componenti sono il prodotto di un polinomio di primo grado e di un polinomio costante per la funzione esponenziale e 0t Poichè 0 non è un autovalore della matrice A, un integrale particolare del sistema non omogeneo è della forma X p (t = at + b e 0t = ct + d at + b, ct + d dove a, b, c, d R Imponiamo che X p risolva il sistema non omogeneo Si ha che X p = AX p + B(t a = c { a = (a + c + 1t + b + d c = (a + ct + b + d + 1 a = 1 3 b = 11 9 c = 3 d = 7 9 (a + c + 1t + b + d (a + ct + b + d + 1 a + c + 1 = 0 a = b + d a + c = 0 c = b + d + 1

7 Sistemi lineari 7 Quindi un integrale particolare è X p (t = ( 1 3 t t L integrale generale del sistema non omogeneo è ( c1 e t + c e 3t X(t = X o (t + X p (t = t 11 9 c 1 e t + c e 3t 3 t +, c 7 1, c R 9 f Consideriamo il sistema lineare non omogeneo a coefficienti costanti X = AX + B(t, dove 1, B(t = 1 ( e 3t L integrale generale del sistema lineare non omogeneo X = AX +B è dato da X = X o + X p, dove X o è l integrale generale del sistema omogeneo associato X = AX e X p è un integrale particolare del sistema lineare non omogeneo X = AX + B Calcoliamo inizialmente X o Calcoliamo gli autovalori di A Si ha che det(a λi = 1 λ 1 λ = λ λ 3 Quindi gli autovalori di A sono λ 1 = 1 con molteplicità m 1 = 1 e λ = 3 con molteplicità m = 1 Determiniamo gli autovettori associati a λ 1 e λ Cominiciamo con λ 1 Risolviamo il sistema lineare (A + Iv = 0 Posto v = (x, y si ottiene y = x Quindi si ha v = (x, x, x R Sia quindi v 1 = (1, 1 uno di questi autovettori Cerchiamo un autovettore associato a λ = 3 Risolviamo il sistema lineare (A 3Iv = 0 Posto v = (x, y si ottiene y = x Quindi si ha v = (x, x, x R Sia quindi v = (1, 1 uno di questi autovettori L integrale generale del sistema omogeneo associato è ( c1 e t + c X o (t = c 1 v 1 e t + c v e 3t e 3t =, c 1, c R c 1 e t + c e 3t ( e 3t Calcoliamo ora X p Il termine noto B del sistema non omogeneo è B(t = = 0 1 e 0 3t Quindi le sue componenti sono il prodotto di due polinomi costanti per la funzione esponenziale e 3t Poichè 3 è un autovalore della matrice A con molteplicità algebrica 1, un integrale particolare del sistema non omogeneo è della forma at + b X p (t = e 3t, ct + d 0

8 8 Sistemi differenziali : esercizi svolti dove a, b, c, d R Imponiamo che X p risolva il sistema non omogeneo Si ha che X p = AX p + B(t 3at + 3b + a e 3t = 3ct + 3d + c { 3at + 3b + a = (a + ct + b + d + 1 Scelto ad esempio b = 1 4 3ct + 3d + c = (a + ct + b + d + 1 a = 1 b R c = 1 d = b 1 4 si ha che un integrale particolare è ( 1 X p (t = t t ( (a + ct + b + d + 1 (a + ct + b + d 3a = a + c 3b + a = b + d 3c = a + c 3d + c = b + d L integrale generale del sistema non omogeneo è X(t = X o (t + X p (t = c 1e t + c e 3t + 1 t e 3t, c 1, c R c 1 e t + c e 3t + 1 t e3t e 3t g Consideriamo il sistema lineare non omogeneo a coefficienti costanti X = AX + B(t, dove 0 1, B(t = 1 0 sin t 0 L integrale generale del sistema lineare non omogeneo X = AX +B è dato da X = X o + X p, dove X o è l integrale generale del sistema omogeneo associato X = AX e X p è un integrale particolare del sistema lineare non omogeneo X = AX + B Calcoliamo inizialmente X o Calcoliamo gli autovalori di A Si ha che det(a λi = λ 1 1 λ = λ + 1 Quindi gli autovalori di A sono complessi coniugati λ 1, = ±i Determiniamo un autovettore associato a λ 1 = i Risolviamo il sistema lineare (A iiw = 0 Posto w = (x, y si ottiene y = ix Quindi si ha w = (x, ix, x C Scegliamo ad esempio w = (1, i Consideriamo la funzione Z(t = w e λ 1t = 1 e 0t cos t sin t (cos t + i sin t = + i i sin t cos t

9 Sistemi lineari 9 L integrale generale del sistema omogeneo associato è c1 cos t + c X o (t = c 1 Re (Z(t + c Im (Z(t = sin t, c c 1 sin t + c cos t 1, c R Calcoliamo ora X p Il termine noto B del sistema non omogeneo è [ ] sin t B(t = = e 0t 0 1 cos t + sin t Quindi le sue componenti sono il prodotto della funzione esponenziale e 0t per delle combinazioni lineari delle funzioni cos t e sin t, in cui i coefficienti sono polinomi costanti Poichè 0 ± 1i = ±i sono autovalori della matrice A con molteplicità algebrica 1, un integrale particolare del sistema non omogeneo è della forma [ ] X p (t = e 0t at + b et + f at + b et + f cos t + sin t = cos t + sin t, ct + d gt + h ct + d gt + h dove a, b, c, d, e, f, g, h R Imponiamo che X p risolva il sistema non omogeneo Si ha che X p = AX p + B(t et + f + a at b + e ct + d gt + h + 1 cos t + sin t = cos t + sin t gt + h + c ct d + g at b et f e = c f + a = d et + f + a = ct + d g = a gt + h + c = at b h + c = b at b + e = gt + h + 1 b + e = h + 1 ct d + g = et f c = e d + g = f a, f, h R b = h 1 c = e = 1 d = f + a g = a Scelto ad esempio a = f = h = 0 si ha che un integrale particolare è ( 1 ( 1 X p (t = 1 t cos t + t sin t 0 L integrale generale del sistema non omogeneo è ( c1 cos t + c sin t 1 X(t = X o (t+x p (t = X(t = cos t + 1 t sin t c 1 sin t + c cos t + 1 t cos t, c 1, c R

10 10 Sistemi differenziali : esercizi svolti Esercizio Determinare la soluzione dei seguenti problemi di Cauchy: X = AX [ ( 1 1 te t ] a 0 X(t = X(0 =, (t + 1e t b c X = AX 1 X(0 =, 0 X = AX 1 X(0 =, 1 [ 3 X(t = 1 3 ( e t + e 5t ] e t e 5t [ ( 3 1 e t ] X(t = 1 1 e t d { X = AX + B X(0 = 0, ( 1 e t, B = 4 1 e t [ ( 3 5 e3t 3 5 e t + 5 te t X(t = 3 5 e3t 3 5 e t 8 5 te t ] Svolgimento a Determiniamo gli autovalori di A Si ha quindi che det (A λi = 1 λ λ = (λ Quindi gli autovalori di A sono λ = con molteplicità algebrica Determiniamo gli autovettori associati a λ Risolviamo il sistema lineare (A Iv = 0 Si ha x + y = 0 = v = (x, x, x R Sia quindi v 1 = (1, 1 uno di questi autovettori Cerchiamo un autovettore generalizzato associato a λ Risolviamo il sistema lineare (A Iv = v 1 Si ha x + y = 1 = v = (x, x + 1, x R Sia quindi v = (0, 1 uno di questi autovettori L integrale generale è X(t = c 1 v 1 e t + c (tv 1 + v e t = ( c 1 e t + c te t (c 1 + c e t + c te t, c 1, c R

11 Sistemi lineari 11 0 Imponendo la condizione iniziale X(0 = si ottiene c 1 1 = 0 e c = 1 Quindi la soluzione del problema di Cauchy è ( te t X(t = (t + 1e t b Determiniamo gli autovalori di A Si ha quindi che det (A λi = λ 3 3 λ = (λ 9 Quindi gli autovalori di A sono λ 1 = 1 con molteplicità m 1 = 1 e λ = 5 con molteplicità m = 1 Determiniamo gli autovettori associati a λ 1 e λ Cominiciamo con λ 1 Risolviamo il sistema lineare (A + Iv = 0 Posto v = (x, y si ottiene y = x Quindi si ha v = (x, x, x R Sia quindi v 1 = (1, 1 uno di questi autovettori Cerchiamo un autovettore associato a λ = 5 Risolviamo il sistema lineare (A 5Iv = 0 Posto v = (x, y si ottiene y = x Quindi si ha v = (x, x, x R Sia quindi v = (1, 1 uno di questi autovettori L integrale generale è ( c1 e t + c X(t = c 1 v 1 e t + c v e 5t e 5t =, c 1, c R c 1 e t c e 5t 1 Imponendo la condizione iniziale X(0 = si ottiene c 0 1 = c = 1 Quindi la soluzione del problema di Cauchy è X(t = 1 ( e t + e 5t e t e 5t c Determiniamo gli autovalori di A Si ha quindi che det (A λi = 3 λ λ = (λ + Quindi gli autovalori di A sono λ = con molteplicità algebrica Determiniamo gli autovettori associati a λ Risolviamo il sistema lineare (A + Iv = 0 Si ha x + y = 0 = v = (x, x, x R Sia quindi v 1 = (1, 1 uno di questi autovettori

12 1 Sistemi differenziali : esercizi svolti Cerchiamo un autovettore generalizzato associato a λ Risolviamo il sistema lineare (A + Iv = v 1 Si ha x + y = 1 = v = (x, x 1, x R Sia quindi v = (0, 1 uno di questi autovettori L integrale generale è ( c X(t = c 1 v 1 e t + c (tv 1 + v e t 1 e t + c te t =, c 1, c R (c 1 + c e t c te t 1 Imponendo la condizione iniziale X(0 = si ottiene c 1 1 = 1 e c = 0 Quindi la soluzione del problema di Cauchy è ( e t X(t = e t d L integrale generale del sistema lineare non omogeneo X = AX +B è dato da X = X o + X p, dove X o è l integrale generale del sistema omogeneo associato X = AX e X p è un integrale particolare del sistema lineare non omogeneo X = AX + B Calcoliamo inizialmente X o Determiniamo gli autovalori di A Si ha quindi che det (A λi = λ λ = λ λ 6 Quindi gli autovalori di A sono λ 1 = 3 e λ = Quindi A è diagonalizzabile Determiniamo gli autovettori associati a λ 1 e λ Cominiciamo con λ 1 Risolviamo il sistema lineare (A 3Iv = 0 Si ha x + y = 0 = v = (x, x, x R Sia quindi v 1 = (1, 1 uno di questi autovettori Cerchiamo un autovettore associato a λ = Risolviamo il sistema lineare (A + Iv = 0 Si ha 4x + y = 0 = v = (x, 4x, x R Sia quindi v = (1, 4 uno di questi autovettori L integrale generale X o del sistema lineare omogeneo X = AX è dato da ( c1 e 3t + c X o (t = c 1 v 1 e 3t + c v e t e t =, c 1, c R c 1 e 3t 4c e t

13 Sistemi lineari 13 e t ( Calcoliamo ora X p Il termine noto B del sistema non omogeneo è B(t = e t 1 = e 1 t Quindi le sue componenti sono il prodotto di un polinomio costante per la funzione esponenziale e t Poichè è un autovalore della matrice A con molteplicità algebrica 1, un integrale particolare del sistema non omogeneo è della forma X p (t = at + b e t, ct + d dove a, b, c, d R Imponiamo che X p risolva il sistema non omogeneo Si ha che X p = AX p +B(t at b + a e t = ct d + c { at b + a = (a + ct + b + d + 1 ct d + c = (4a ct + 4b d 1 a = 5 b R c = 8 5 d = 4b 3 5 (a + ct + b + d + 1 e t (4a ct + 4b d 1 Scelto ad esempio b = 0 si ha che un integrale particolare è X p (t = ( 5 t 8 5 t 3 5 e t L integrale generale del sistema non omogeneo è c 1 e 3t + c e t + 5 t X(t = X o (t + X p (t = c 1 e 3t 4c e t 8 5 t a = a + c b + a = b + d + 1 c = 4a c d + c = 4b d 1 e t, c 1, c R Imponendo la condizione iniziale X(0 = 0 si ottiene c 1 = 3 5 e c = 3 5 Quindi la soluzione del problema di Cauchy è 3 5 e3t + 5 t 3 5 e t X(t = 3 5 e3t 8 5 t e t

14 14 Sistemi differenziali : esercizi svolti Stabilità nei sistemi lineari Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore Esercizio 1 Discutere la stabilità della soluzione nulla dei seguenti sistemi lineari al variare del parametro a X α = X, α α R [Instabile per ogni α R] b dx 4 1 dt = x, α R 0 α α < 0 : α = 0 : α > 0 : x = 0 è asintoticamente stabile, x = 0 è stabile non asintoticamente, x = 0 è instabile c { x = αx + y y = 16x αy, α R α < 4 : α = 4 : α > 4 : (x, y = 0 è stabile non asintoticamente, (x, y = 0 è instabile, (x, y = 0 è instabile d { x = (3 αx + y α R y = (3 α x + (α 4y, α < 3, : (x, y = 0 è instabile, α = 3 : (x, y = 0 è stabile non asintoticamente, α > 3 : (x, y = 0 è asintoticamente stabile Svolgimento a Consideriamo il sistema lineare omogeneo acoefficienti costanti X α = X, α R α La matrice dei coefficienti è α α Determiniamo gli autovalori di A Si ha quindi che det (A λi = λ α α λ = ( λ α Quindi gli autovalori di A sono λ 1, = ±α + Si ha che λ 1, 0 { α + 0 α + 0 { α α Quindi la soluzione X = 0 è instabile per ogni α R = α R

15 Stabilità nei sistemi lineari 15 b Consideriamo il sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti dx 4 1 dt = x, α R 0 α La matrice dei coefficienti è α Determiniamo gli autovalori di A Poichè la matrice è triangolare (superiore, i suoi autovalori sono gli elementi della diagonale principale Quindi gli autovalori della matrice A sono 4 e α Ne segue che α < 0 = x = 0 è asintoticamente stabile, α = 0 = x = 0 è stabile ma non asintoticamente, α > 0 = x = 0 è instabile c Consideriamo il sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti { x = αx + y α R y = 16x αy, La matrice dei coefficienti è α 1 16 α Quindi gli autovalori di A sono le soluzioni (complesse dell equazione det(a λi = 0, cioè α λ 1 16 α λ = (α λ( α λ + 16 = λ α + 16 = 0 Le soluzioni sono Ne segue che ±i 16 α se α < 4 λ 1, = 0 se α = 4 ± α 16 se α > 4 α < 4 = la soluzione nulla è stabile ma non asintoticamente, α = 4 = la soluzione nulla è instabile, α > 4 = la soluzione nulla è instabile d Consideriamo il sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti { x = (3 αx + y α R y = (3 α x + (α 4y,

16 16 Sistemi differenziali : esercizi svolti La matrice dei coefficienti è 3 α 1 (3 α α 4 Per studiare la stabilità della soluzione nulla calcoliamo gli autovalori di A Si ha che det (A λi = 3 α λ 1 (3 α α 4 λ = (3 α λ(α 4 λ+(3 α = λ +λ+α 3 Ne segue che det (A λi = 0 λ + λ + α 3 = 0 λ 1, = 1 ± 13 4α Se α > 13 4, allora λ 1, = 1 ± i 4α 13 Quindi gli autovalori di A hanno parte reale negativa Ne segue che X = 0 è asintoticamente stabile Se α = 13 4, allora λ 1, = 1 Quindi l unico autovalore di A ha parte reale negativa Ne segue che X = 0 è asintoticamente stabile Se α < 13 4, allora λ 1, = 1± 13 4α R Si ha che λ 1 = α < 0 mentre λ = α < α < 1 α > 3 Poichè per α = 3 si ottiene λ = 0, si ha che se 3 < α < 13 4, allora gli autovalori di A sono negativi e quindi X = 0 è asintoticamente stabile Se α = 3, un autovalore è negativo e l altro è nullo, quindi X = 0 è stabile ma non asintoticamente Se α < 3, un autovalore è negativo e l altro è positivo, quindi X = 0 è instabile ma non completamente instabile Ricapitolando si ha che α < 3 = X = 0 è instabile, α = 3 = X = 0 è stabile ma non asintoticamente, α > 3 = X = 0 è asintoticamente stabile

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