Il modello preda predatore. Modellistica Ambientale, 2013/14 Dinamiche di Crescita: 2 popo

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1 Modellistica Ambientale, 2013/14 Dinamiche di Crescita: 2 popolazioni Il modello preda predatore

2 Interazione di due popolazioni: il modello Preda-Predatore Il modello Preda-Predatore è stato sviluppato dal matematico italiano Vito Volterra ( ) per studiare un fenomeno che era stato evidenziato dallo zoologo Umberto D Ancona. Analizzando le statistiche relative alla pesca nel nord dell Adriatico, D Ancona aveva osservato che durante gli ultimi anni della prima guerra mondiale e negli anni immediatamente seguenti si era verificato un sostanziale aumento della percentuale dei predatori (Selaci) pescati. L unica circostanza che appariva collegabile a questo incremento era la diminuzione dell attività di pesca causata dalle attività belliche.

3 Il modello x(t) : popolazione delle prede y(t) : popolazione dei predatori dx(t) = F x (x(t), y(t)) = x(t)[a αy(t)] dy(t) = F y (x(t), y(t)) = y(t)[ b + βx(t)] con a, b non negativi, e α e β positivi.

4 Equilibrio I valori delle due popolazioni all equilibrio, se esiste, sono ottenuti risolvendo il sistema x[a αy] = 0 y[ b + βx] = 0 È facile verificare che l equilibrio si ottiene o per x = y = 0, caso banale e poco interessante, oppure in corrispondenza ai valori x = b β, y = a α.

5 Equilibrio Consideriamo una soluzione della forma: (x + ɛ(t), y + η(t)) (ɛ e η sono gli scostamenti di x e di y dall equilibrio) Imponendo che sia soluzione dell equazione differenziale, abbiamo il sistema: ossia d(x + ɛ(t)) = F x (x + ɛ(t), y + η(t)) d(y + η(t)) = F y (x + ɛ(t), y + η(t)) dɛ(t) = F x (x + ɛ(t), y + η(t)) dη(t) = F y (x + ɛ(t), y + η(t))

6 Approssimando F x ed F y tramite la serie di Taylor troncata al termine lineare, abbiamo F x (x + ɛ, y + η) = F x (x, y ) + ɛ F x F y (x + ɛ, y + η) = F y (x, y ) + ɛ F y + η F x + η F y,, Ricordando che F x (x, y ) = F y (x, y ) = 0, sostituendo le approssimazioni nel modello si ottiene il seguente sistema linearizzato: dɛ(t) dη(t) = ɛ F x = ɛ F y + η F x + η F y,,

7 Nel nostro caso: dɛ(t) = (a αy )ɛ αx η Ponendo dη(t) = βy ɛ + (βx b)η x = b β, y = a α otteniamo il sistema dɛ(t) dη(t) = αb β η(t) = βa α ɛ(t)

8 Risolviamo il sistema lineare dɛ(t) dη(t) = αb β η(t) = βa α ɛ(t) Derivando la prima equazione e sostituendo dη(t) otteniamo nella seconda d 2 ɛ(t) 2 β αb = αb β d 2 ɛ(t) 2 dη(t) = βa α ɛ(t) Consideriamo la seconda equazione nella forma d 2 ɛ(t) 2 + abɛ(t) = 0

9 L equazione numerica associata e z 2 + ab = 0 z = ±i ab e pertanto si ha la soluzione generale η(t) = β αb ɛ(t) = ρ 1 cos(ωt) + ρ 2 sen(ωt), dɛ(t) dove ω = ab, ρ 1, ρ 2 R. = βω αb [ρ 1sen(ωt) ρ 2 cos(ωt)], Osserviamo che le funzioni ɛ(t) e η(t) non ammettono limite per t + e pertanto non si puo concludere che la soluzione (x, y) = (x, y ) e asintoticamente stabile.

10 Analizziamo le soluzioni particolari ottenute ponendo ρ 1 = 0 oppure ρ 2 = 0. Consideriamo, in particolare, il caso in cui ρ 2 = 0, (l altro caso e analogo). Otteniamo le soluzioni ɛ(t) = ρ 1 cos( abt) η(t) = β a α ρ 1 b sen( abt), Al variare del valore dato a ρ 1 abbiamo diverse soluzioni ma comunque di tipo oscillatorio. La simulazione conferma che le soluzioni del modello sono anche esse di tipo oscillatorio attorno alla soluzione di equilibrio.

11 Andamento oscillatorio Prede-Predatori , , , , Time (Week) Predatori Equilibrio Predatori Prede Equilibrio Prede

12 Andamento oscillatorio Prede-Predatori Prede Predatori

13 Introduciamo la pesca ν : percentuale di pesci pescati nell unità di tempo dx(t) dy(t) = x(t)[a αy(t) ν] = y(t)[ b + βx(t) ν] Nuovi punti di equilibrio: x = b + ν β y = a ν α La pesca ha l effetto di innalzare il punto di equilibrio delle prede e di diminuire corrispondentemente quello dei predatori.

14 Stabilita delle soluzioni di equilibrio Come precedentemente osservato, l analisi della stabilita di una soluzione di equilibrio (x, y ),ossia tale che: F x (x, y ) = F y (x, y ) = 0, puo essere ricondotta allo studio della stabilita della soluzione (ɛ, η) (0, 0) per il sistema linearizzato: dɛ(t) = ɛ F x + η F x, dη(t) = ɛ F y + η F y, E possibile dimostrare che (x, y ) e asintoticamente stabile per il sistema dato se la soluzione (ɛ, η) (0, 0) e asintoticamente stabile per il sistema linearizzato.

15 Stabilita delle soluzioni di equilibrio Ricordiamo che la soluzione (x, y ) si dice asintoticamente stabile per un sistema dinamico se data una qualsiasi soluzione (x(t), y(t)) del sistema sono verificate le seguenti condizioni: (i) La coppia (x(t), y(t)) e stabile, ossia si mantiene vicino a (x, y ) se (x(0), y(0)) e sufficientemente vicino a (x, y ); (ii) lim (x(t), y(t)) = (x, y ). t In particolare, osserviamo che affinche la soluzione (ɛ, η ) (0, 0) sia asintoticamente stabile per il sistema linearizzato occorre e basta che una qualsiasi soluzione (ɛ(t), η(t)) del sistema linearizzato verifichi le seguenti condizioni: lim ɛ(t) = 0, lim t η(t) = 0 t

16 La stabilita della soluzione nulla del sistema linearizzato si puo determinare considerando gli autovalori della matrice ) A = ( Fx F y ove, per semplicita, Fx (x,y ) le altre componenti. F x F y = Fx (x ed analogamente per,y ) Teorema Siano λ 1 = γ 1 + iω e λ 2 = γ 2 iω gli autovalori di A. (i) Se γ 1 < 0 e γ 2 < 0, allora la soluzione (x, y ) e asintoticamente stabile. (ii) Se γ 1 > 0 oppure γ 2 > 0, allora la soluzione (x, y ) non e stabile. Osserviamo che, se gli autovalori sono reali allora ω = 0 e λ i = γ i, i = 1, 2, mentre se gli autovalori sono complessi allora ω 0 e γ 1 = γ 2.

17 Il modello di Samuelson x(t) : popolazione delle prede y(t) : popolazione dei predatori dx(t) = F x (x(t), y(t)) = x(t)[a γx(t) αy(t)] dy(t) = F y (x(t), y(t)) = y(t)[ b + βx(t)] ove i parametri a, b, α, γ e β si suppongono positivi.

18 Equilibrio I valori delle due popolazioni all equilibrio sono ottenuti risolvendo il sistema x[a γx αy] = 0 y[ b + βx] = 0 È facile verificare che l equilibrio si ottiene o per x = y = 0, oppure in corrispondenza ai valori x = a γ, y = 0 x = b β, y = aβ γb. αβ

19 Consideriamo la matrice A = ( Fx F y F x F y ) Abbiamo F x (x, y ) = a 2γx αy ; F x (x, y ) = αx F y (x, y ) = βy, F y (x, y ) = b + βx

20 Stabilita dei punti di equilibrio Consideriamo il punto x = 0, y = 0. Abbiamo ( ) a 0 A = 0 b Essendo la matrice diagonale, e immediato verificare che gli autovalori sono λ 1 = a, λ 2 = b ed essendo a > 0 il punto (0, 0) non e stabile.

21 Stabilita dei punti di equilibrio Consideriamo il punto x = a γ, y = 0. Abbiamo A = ( ) a αa γ 0 b + aβ γ Gli autovalori di A sono λ 1 = a, λ 2 = b + aβ γ. Essendo a > 0 il punto ( a γ, 0) e asintoticamente stabile se b + aβ γ < 0 ossia aβ < bγ.

22 Stabilita dei punti di equilibrio Consideriamo il punto x = b β, y = aβ γb. αβ Supponiamo y 0 da cui aβ bγ. Abbiamo ( ) A = L equazione caratteristica e : det(a λi ) = det γb β αb β aβ γb α 0 ( γb ) β λ αb β = 0 λ aβ γb α da cui λ 2 + λ γb β + ab γb2 β = 0. (1)

23 Se nell equazione (1) si ha 0 allora λ = γb β La parte reale delle soluzioni e : ± i 2 Re(λ) = γb 2β < 0 e la soluzione (x, y ) e asintoticamente stabile. Se nell equazione (1) si ha > 0 allora: se aβ γb > 0 le radici sono entrambe negative e la soluzione (x, y ) e asintoticamente stabile; se aβ γb = 0, una radice della (1) e negativa ed una e nulla, per cui non si puo determinare se (x, y ) e asintoticamente stabile.