MODELLI e METODI MATEMATICI della FISICA. Esercizi - A.A

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1 MODELLI e METODI MATEMATICI della FISICA Esercizi - A.A settimana Esercizi:. Risolvere il problema di Cauchy y (x) = αy (x) + y (x) y (x) = αy (x) + y 3 (x) y 3(x) = αy 3 (x) con condizioni iniziali y (0) = y (0) = y 3 (0) =. Dimostrare che z z = z z z z = z z z ± z = z + z ± Re(z z ) 3. Dimostrare, facendo il calcolo esplicito, che ( + i ) 3 ( 3 = i ) 3 3 = 4. Calcolare i limiti lim z 0 z z lungo le due diagonali del piano complesso 5. Data la funzione f(z, z) = (z3 + z 3 ), calcolare le derivate parziali

2 f x f y Mostrare inoltre che le condizioni di Cauchy-Riemann non sono verificate Soluzioni:. Scriviamo y (x) y(x) = y (x) y 3 (x) Vogliamo risolvere l equazione differenziale y (x) = Ay(x) con condizione iniziale y(0) = dove la matrice A è α 0 A = 0 α 0 0 α Scriviamo la soluzione y(x) = e Ax y(0) e vogliamo far vedere che definendo e Ax = A n x n n=0 n! la matrice che otteniamo risolve l equazione differenziale. Dobbiamo calcolare A n. Scriviamo A = αi + J

3 dove 0 0 J = Troviamo 0 0 J = J 3 = Quindi A n = α n I + nα n J + ( ) n α n J Sostituendo nella definizione di e Ax troviamo e Ax = n=0 ovvero α n x n n! I + n= e Ax = e αx I + xe αx J + x eαx J α n x n (n )! J + n= Quindi troviamo y (x) y (x) = eαx αx x xe eαx 0 e αx xe αx y 3 (x) 0 0 e αx α n x n (n )! J Si può facilmente mostrare che questa è la soluzione esatta.. Abbiamo: z z = (x + iy )(x + iy ) = x x y y + i(x y + y x ) = (x x y y ) + (x y + y x ) = x + y x + y = z z z z = x +iy x +iy = (x +iy )(x iy ) x +y = x x +y y +i(x y y x ) x +y 3

4 = (x x +y y ) +(x y y x ) x +y = x +y x +y z ± z = (x ± x ) + (y ± y ) = x + x ± x x + y + y ± y y = z + z ± (x x + y y ) = z + z ± Re(z z ) = z z 3. ( + i 3 ( = i 3 ) 3 = ( ) ( + i 3 + i 3 ) ( + i 3 ) = + 3 = 4 4 ( e analogamente per i ) 3 3. ) ( + i 3 ) 4. Lungo la diagonale x = y il limite è i = i +i mentre lungo la diagonale x = y il limite è +i = i i 5. La funzione è reale, e scritta come funzione di x e y si trova f(x, y) = x 3 3xy Quindi f x = 3x 3y f y = 6xy Le condizioni di Cauchy-Riemann non possono essere soddisfatte dato che la funzione è reale. 4

5 settimana Esercizi:. Mostrare che la funzione f(z) = (z + )(z + 4) non ha un punto di diramazione all infinito. La funzione ha punti di diramazione in ±i e ±i. Fare la scelta di tagli che uniscono i a i e i a i sull asse immaginario. Sul foglio in cui f(0) =, calcolare f(3i).. Sia M un punto sulla sfera di Riemann e P = (x, y) e Q = (x, y ) i punti associati a M dalla proiezione stereografica dal polo nord e dal polo sud. Mostrare che la coordinata w = x iy è legata alla coordinata z = x + iy da w = z. Soluzioni:. Sostituendo w = otteniamo z f ( ) w = w ( + w )( + 4w ) che ha un polo doppio in zero. Quindi f(z) non ha punti di diramazione all infinito. I punti di diramazione sono ±i e ±i e possiamo ad esempio scegliere di tagliare il piano compesso da i a i e da i a i. Ci sono due determinazioni e quindi due fogli di Riemann. Dal momento che f(0) =, f è reale positiva per ogni z immaginario positivo minore di i. Intorno a i possiamo scrivere z come z = i + ɛe iθ dove possiamo scegliere l angolo iniziale θ i = 3π oppure θ i = π. La funzione z + 4 non cambia segno spostandosi dai punti sotto i ai punti sopra i infinitesimamente vicini a i, e possiamo assumere che è positiva e quindi vale 3. Quindi anche z + è positiva sotto al taglio. Vicino a i otteniamo z + iɛe iθ 5

6 Fissiamo per i la determinazione i = e iπ 4 Quindi otteniamo, vicino a i, f(z) 6ɛe i( θ + π 4 ) Siccome vogliamo f(z) positivo sotto al taglio, dobbiamo scegliere θ i = π. Questo significa che se ci spostiamo sopra al taglio a destra del taglio, ruotando in senso antiorario, abbiamo θ f = π da cui segne che la funzione è immaginaria positiva lungo il taglio a destra del taglio. Per ottenere la funzione a sinistra del taglio dobbiamo invece ruotare di π in senso orario, ottenendo θ f = 3π, da cui segue che la funzione è immaginaria negativa. Spostiamoci ora lungo l asse immaginario da i a i a sinistra del taglio. Scriviamo z = i + ɛe iθ La funzione z + non cambia segno spostandosi dai punti sotto i ai punti sopra i infinitesimamente vicini a i, e abbiamo visto che è immaginaria negativa a sinistra del taglio, per cui vale i 3. z + 4 è positiva sotto al taglio. Vicino a i otteniamo z + 4 4iɛe iθ Fissiamo di nuovo per i la determinazione i = e iπ 4 Quindi otteniamo, vicino a i, f(z) i ɛe i( θ + π 4 ) Per ottenere f(z) immaginario negativo sotto al taglio devo quindi scegliere θ i = π, e ruotando in senso orario ottengo θ f = 3π, da cui ottengo f(i + iɛ) = ɛ, ovvero la funzione è reale negativa per z immaginario positivo maggiore di i. Quindi f(3i) = 40 = 0. 6

7 . Indicando con ξ, η e ζ le coordinate cartesiane del punto M sulla sfera, abbiamo { x = ξ y = ζ η ζ e { x = ξ y = Quindi +ζ η +ζ zw = (x + iy)(x iy ) = ξ+iη ξ iη = ξ +η ζ +ζ ζ da cui usando ξ + η + ζ = segue che zw =. 7

8 settimana 3 Esercizi:. Discutere le diverse determinazioni della funzione f(z) = z α, α C.. Usare il risultato dell esercizio precedente per calcolare i i. Soluzioni:. Scriviamo f(z) = z α, con α = a + ib, come il prodotto di due funzioni f(z) = z a z ib La prima funzione è z a = e alnz = e alnr e ia(θ+kπ) e quindi è a un solo valore per a intero, a q valori per a = p q determinazioni per a irrazionale. La seconda funzione è e ha infinite z ib = e iblnz = e iblnr e b(θ+k π) che ha infinite determinazioni per ogni b.. Scriviamo i i = e i ln i Abbiamo ln i = iπ + kπi Quindi i i = e π kπ In particolare usando la determinazione principale del logaritmo i i = e π. 8

9 settimana 5 Esercizi:. Calcolare I n = + 0 dx +x n n =, 3, 4, 5,... utilizzando il teorema dei residui Soluzioni:. Per ogni n, possiamo considerare l integrale I(R) della funzione +x n lungo il seguente percorso: da z = 0 a z = R lungo l asse reale positivo, (arco di angolo πi πi e raggio R) e da z = Re n n. Dal momento che (re πi n ) n = r n, che la curva n, e che nel limite R + l integrale lungo l arco di circonferenza va a zero, otteniamo da z = R a z = Re πi n a z = 0 lungo z = re πi n contiene solo il polo in z = a = e πi ( e πi n )I n = πires z=a +z n Il residuo è Res z=a +z n = na n da cui I n = πi a na n = πi a(a a) na n Usando a n = otteniamo I n = ovvero I n = πi n(a a ) π n sin π n 9

10 settimana 6 Esercizi:. Calcolare + dx lnx 0 +x utilizzando due metodi diversi. Il primo metodo consiste nel legare questo integrale a quello lungo tutto l asse reale, chiudendo sul semipiano superiore. Il secondo metodo consiste nel considerare la discontinuità lungo l asse reale positivo della funzione (lnz) +z e nel calcolare l integrale di questa funzione lungo la curva che circonda il taglio e si chiude all infinito. Soluzioni:. Consideriamo la funzione lnz, +z Prendiamo il taglio lungo l asse reale positivo, e consideriamo l integrale lungo l intero asse reale passando sopra al taglio. Possiamo quindi considerare la curva γ che otteniamo chiudendo sul piano complesso superiore senza attraversare il taglio. Abbiamo dz lnz = lnx dx + iπ dx γ +z 0 +x 0 +x Vediamo quindi che la parte reale dell integrale ci fornisce l integrale che vogliamo calcolare. L integrale lungo γ si può calcolare usando il teorema dei residui. L integrando sul semipiano superiore ha solo un polo semplice in z = i, ovvero lnz = iπ. Abbiamo lnz πires z=i = πi iπ = π i +z i L integrale è immaginario, ed è consisente con 0 +x dx = π 0

11 che avevamo già calcolato (esercizio settimana 5). Il fatto che la parte reale sia zero implica che + dx lnx = x Vogliamo ottenere lo stesso risultato considerando la discontinuità della funzione (lnz) +z e considerando la curva Γ che circonda il taglio. Abbiamo (lnz) dz = 4π Γ +z 0 dx 4πi +x 0 lnx dx +x Quindi in questo caso l integrale che vogliamo calcolare è la parte immaginaria dell intergale lungo Γ. Calcoliamo l integrale lungo Γ usando il teorema dei residui. Abbiamo due poli semplici in z = i e z = i, e per il logaritmo dobbiamo usare le determinazioni lnz = iπ e lnz = 3iπ. Otteniamo ( ) (lnz) dz = πi Γ π 9π = π 3 +z 4 i 4 i L integrale è reale, e quindi di nuovo questo dimostra che + dx lnx = x

12 settimana 9 Esercizi:. Data una matrice qualsiasi A e considerato il polinomio caratteristico P λ (A) = m i= (λ i λ) ν i dove λ i, i =,..., m sono gli autovalori distinti e ν i la loro molteplicità algebrica, il teorema di Cayley-Hamilton dice che la matrice A soddisfa l equazione m i= (λ ii A) ν i = 0 Dimostrare il teorema. Soluzioni:. Introduciamo la funzione polinomiale f(z) = m i= (λ i z) ν i Abbiamo f(a) = m i= νi k=0 f (k) (λ i ) k! P (k) λ i Dal momento che lo zero di f(z) z = λ i è di ordine ν i, tutte le derivate k-esime, per k < ν i, di f(z) calcolate in z = λ i sono zero. Questo dimostra il teorema.