TEMA 1. F (x, y) = e xy + x + y.

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1 FONDAMENTI DI ANALII MATEMATICA 2 Commissione F. Albertini, V. Casarino, M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, Vicenza Vicenza, 23 gennaio 217 Primo appello Avvertenza: Nella prima pagina del foglio di bella, sotto lo spazio riservato alla Commissione, ogni studente deve riassumere i risultati ottenuti. Lo svolgimento degli esercizi deve iniziare dalla pagina successiva. La brutta copia non deve essere consegnata. È vietato avere con sè telefoni e calcolatrici. TEMA 1 ove Esercizio 1. i consideri l equazione differenziale y x) αyx) = 2e 3x. 1) Determinare l integrale generale di 1) per α =. 2) Determinare l integrale generale di 1) al variare di α >. 3) tabilire poi se esistono soluzioni y α di 1) tali che Esercizio 2. i consideri l equazione. F x, y) =, F x, y) = e xy + x + y. Eq.1) 1) i dimostri che in un intorno del punto, 1) essa definisce implicitamente una funzione y = fx). 2) i studino monotonia e convessità di f in un intorno di x =. 3) i stabilisca infine se anche l equazione Gx, y) =, ove Gx, y) = e xy + x + y + t 4 e t2 dt, definisce implicitamente una funzione in un intorno del punto, 1). Esercizio 3. i consideri l insieme = {x, y, z) R 3 : z 1, x 2 + y 2 9 = }. 1) Parametrizzare e determinare il vettore normale rispetto alla parametrizzazione adottata). 2) Calcolare gli integrali superficiali z 3 x e z2 dσ, z 3 y e z2 dσ e z 3 y e z2 dσ. 1

2 FONDAMENTI DI ANALII MATEMATICA 2 Commissione F. Albertini, V. Casarino, M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, Vicenza Vicenza, 23 gennaio 217 volgimento del TEMA 1 Esercizio 1. i consideri l equazione differenziale y x) αyx) = 2e 3x. 1) Determinare l integrale generale di 1) per α =. 2) Determinare l integrale generale di 1) al variare di α >. 3) tabilire poi se esistono soluzioni y α di 1) tali che volgimento:. 1) Per α = l equazione da risolvere è y x) = 2e 3x. Integrando una prima volta si ottiene y x) = 2 Integrando una seconda volta si ottiene yx) = 2 3 e 3t dt + e 3t dt + C 1 = 2 3 e3x + C 2. C 2 dt = 2 3 e 3t dt + C 2 x + C 3 Eq.1) = 2 9 e3x + C 2 x + C 4 1) ove C 2 e C 4 sono costanti reali. 2) Il polinomio caratteristico dell equazione omogenea y x) αyx) = è λ 2 α =. Esso ammette due radici reali distinte λ = ± α. Quindi l integrale generale dell equazione omogenea y x) αyx) = è yx) = k 1 e α x + k 2 e α x, k 1, k 2 R. Cerchiamo ora una soluzione particolare di Eq.1). Dobbiamo distinguere due casi. e α 9, possiamo cercare una soluzione particolare della forma ȳx) = Ae 3x. i verifica che ȳ è soluzione di Eq.1) se e solo se cioè se e solo se 9A αa = 2, A = 2 9 α.

3 e α, dobbiamo cercare una soluzione particolare della forma ỹx) = Axe 3x. Essa è soluzione di Eq.1) se e solo se cioè se e solo se 6A + 9Ax 9Ax = 22, A = 1 3. Quindi l integrale generale di Eq.1) è 9 α e3x se α >, α 9 2) k 1 e α x + k 2 e α x xe3x se α. 3) ove 3) Osserviamo che tutte le funzioni in 1) tendono a + per x +. Lo stesso vale per funzioni in 3). Per quanto riguarda le funzioni in 2), si ha invece Quindi, se α < 9 si ha e invece α > 9 si ha = k 1 e α x α e3x = +. =, purché k 1. Le soluzioni che soddisfano la condizione richiesta sono quindi quelle con α > 9 e k 1. Esercizio 2. i consideri l equazione F x, y) =, F x, y) = e xy + x + y + t 4 e t2 dt. 1) i dimostri che in un intorno del punto, 1) essa definisce implicitamente una funzione y = fx). 2) i studino monotonia e convessità di f in un intorno di x =. 3) i stabilisca infine se anche l equazione Gx, y) =, ove Gx, y) = e xy + x + y + t 4 e t2 dt, definisce implicitamente una funzione in un intorno del punto, 1). volgimento:

4 1) F è di classe C 1 R 2 ) e soddisfa F, 1) =. Vale inoltre y F x, y) = xe xy + 1, da cui y F, 1) = 1. Per il Teorema di Dini, esistono un intorno U di x =, un intorno V di y = 1 ed esiste una e una sola funzione y = fx), f : U V, tale che F x, fx)) = per ogni x U. 2) Derivando F x, fx)) =, x U, rispetto a x, otteniamo x F x, fx)) = fx) + xf x))e xfx) f x) =. da cui ricaviamo f x)x e xfx) + 1) = 1 fx)e xfx). Ponendo x = e f) = 1, si ottiene f ) =, quindi x = è un punto critico per f. Calcoliamo la derivata seconda, per capirne la natura. Vale xx F x, fx)) = 2f x)+xf x))e xfx) +fx)+xf x)) 2 e xfx) +f x) =. Ponendo x =, f) = 1 e f ) = in **), si ottiene f ) = 1, quindi f è concava, ha un massimo in x =, crescente a sinistra di x = e decrescente a destra. 3) G è di classe C 1 R 2 ) e soddisfa G, 1) =. Vale inoltre y Gx, y) = xe xy + 1, da cui y G, 1) = 1. Per il Teorema di Dini, esistono un intorno U di x =, un intorno V di y = 1 ed esiste una e una sola funzione y = gx), g : U V, tale che Gx, gx)) = per ogni x U. ) ) Esercizio 3. i consideri l insieme = {x, y, z) R 3 : z 1, x 2 + y 2 9 = }. 1) Parametrizzare e determinare il vettore normale rispetto alla parametrizzazione adottata). 2) Calcolare gli integrali superficiali z 3 x e z2 dσ, z 3 y e z2 dσ e z 3 y e z2 dσ. volgimento: 1) La superficie è una porzione di cilindro circolare retto, di rotazione intorno all asse z, compresa fra i due piani z = e z = 1. Possiamo parametrizzare per esempio così x = 3 cos θ y = 3 sin θ z = z, 4) con z [, 1] e θ [, 2π]. Il vettore normale alla superficie in un punto θ, z) è dato da N θ, z) := σ θ θ, z) σ z θ, z), cioè N θ, z) = 3 cos θ, 3 sin θ, z),

5 e N cos 2 θ + 9 sin 2 θ = 3. 2) Basta calcolare uno solo dei tre integrali. Calcoliamo, per esempio, l integrale superficiale z 3 x e z2 dσ. i ha Ora z 3 x e z2 dσ = 1 i ha quindi z 3 x e z2 dσ = 1 2π = 36 2π 1 9 z 3 cos θ e z2 dθ dz 1 cos θ dθ z 3 e z2 dz z 3 e z2 dz. z 3 e z2 dz = t = z 2 ) = π 1 t e t dt = per parti) = e. 9 z 3 cos θ e z2 dθ dz = e ). Il secondo integrale è uguale al primo per simmetria. i ha infatti 1 2π z 3 y e z2 dσ z 3 sin θ e z2 dθ dz 2π = 36 Il terzo integrale vale zero, perché z 3 y e z2 dσ = 1 sin θ dθ 1 1 2π = 2π 1 z 3 e z2 dz z 3 e z2 dz = e ). 9 z 3 sin θe z2 dθ dz 1 sin θ dθ z 3 e z2 dz z 3 e z2 dz =.