Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = log 1 + (x y 2 ) x 2.

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1 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio. punti Data la funzione fx, = log + x + 4 i dimostrare che è differenziabile su tutto il suo dominio naturale; ii determinare massimo e minimo di fx, su { Ω = x, R : x } x. Esercizio. punti Data la curva γ, I, con I = [, ] e parametrizzazione γ : [, ] R, γt = t + sine t, loge t i scrivere l equazione cartesiana della retta tangente al sostegno della curva nel punto P =, ; ii calcolare il lavoro di F lungo γ, I per il campo di vettori x x Fx, = +. + x +x + Esercizio. punti Data la superficie Σ = { x,, z R : x + = z 6, z } i farne un disegno approssimativo; ii calcolare l area di Σ.

2 Svolgimento Esercizio Data la funzione fx, = log + x + 4 i dimostrare che è differenziabile su tutto il suo dominio naturale; Il dominio naturale della funzione è R e fx, si può scrivere come composizione delle funzioni gt = log + t e hx, = x + 4. La funzione g è differenziabile su tutto il suo dominio {t > }, e h è differenziabile certamente su R \ {, }. Dunque f è differenziabile certamente sull aperto R \ {, }, e rimane da studiare come si comporta in,. Iniziamo dimostrando l esistenza delle derivate parziali di f in,. Usando log + τ τ per τ, si trova, = lim x t ft, f, t 4 log + t = lim t t =, = lim t Dobbiamo poi dimostrare che f, t f, t log + 4 t 4 = lim t t = lim x,, fx, f, x, x, =. x + Sostituendo i valori della funzione e delle sue derivate parziali, si ottiene ancora per l andamento asintotico della funzione logaritmo log + x + 4 x + 4 lim = lim x,, x + x,, x + Per dimostrare che l ultimo limite è uguale a, usiamo il criterio del confronto e scriviamo x x + x + x + = 4 x + 6 e osserviamo che la funzione Gx, = 4 x + 6 di funzioni continue. è continua nell origine essendo composizione ii determinare massimo e minimo di fx, su { Ω = x, R : x } x. L insieme Ω è rappresentato nella figura.

3 Figure : L insieme Ω. Per studiare massimo e minimo assoluto di f su Ω dobbiamo considerare i valori che la funzione assume su eventuali punti di non differenziabilità, sui punti critici liberi interni a Ω, sui punti critici vincolati al bordo di Ω e sugli eventuali spigoli del bordo. La funzione f abbiamo dimostrato essere differenziabile su R, dunque non ci sono punti di non differenziabilità. Studiamo l esistenza di punti critici liberi interni a Ω. Abbiamo visto che le derivate parziali di f si annullano in, Ω, dunque il primo punto critico libero da tenere in considerazione è C =,. Per cercare altri punti critici liberi dobbiamo cercare soluzioni del sistema 4 x [+x +4 ] x +4 6 [+x +4 ] x +4 x,, È immediato verificare che il sistema non ha soluzioni, e dunque non ci sono punti critici liberi in R \,. Ci rimane da studiare il comportamento di f sul bordo di Ω. Gli spigoli sono i punti S = S =. = = Il bordo lo dividiamo in due parti: Γ = { x + =, } Γ = { x + 4 =, }. Per Γ utilizziamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange con la funzione G x, = x +.

4 Ogni punto di Γ è regolare, per cui cerchiamo soluzioni x,, λ del sistema 4 x = λx [+x +4 ] x +4 6 [+x +4 ] x +4 x + = > = λ che studiando la prima equazione è equivalente a x = 6 [+x +4 ] x +4 x + = > = λ x [+x +4 ] x +4 6 [+x +4 ] x +4 x + = > = λ = λ Il primo sottosistema ha come unica soluzione x,, λ =,, 8 + 4, e quindi troviamo il punto critico vincolato Q =. Per il secondo sottosistema, sostituiamo il valore di λ dalla seconda equazione nella terza e troviamo 6 [ + x + 4 ] x + 4 = 4 [ + x + 4 ] x + 4 che ha come unica soluzione =, che non è ammissibile. Dunque non ci sono altre soluzioni del sistema, e dunque troviamo un solo punto critico vincolato, Q. Passiamo a Γ, per cui possiamo usare la parametrizzazione γ t = cos t, sin t, t [π, π]. Componiamo con f e otteniamo la funzione di una variabile g t = fγ t = log, t [π, π], essendo g costante, tutti i punti sono critici. Basta considerare il valore assunto sugli spigoli. I valori che dobbiamo confrontare sono dunque fc =, fs = fs = log, fq = log + 4. Dunque il massimo di f è log + 4 e il minimo è. 4

5 Esercizio. Data la curva γ, I, con I = [, ] e parametrizzazione γ : [, ] R, γt = t + sine t, loge t i scrivere l equazione cartesiana della retta tangente al sostegno della curva nel punto P =, ; La parametrizzazione γt è di classe C, quindi la retta tangente al sostegno della curva esiste in tutti i punti che corrispondono ai valori del parametro t, per cui γ t. In particolare per P =, troviamo innanzitutto t, tale che γt = P, quindi risolviamo il sistema { t + sine t = loge t = L unica soluzione è t =. La retta tangente al sostegno nel punto P è quindi generata dal vettore velocità + e t cose t γ t = = t e t e un vettore normale al sostegno nel punto P è quindi n = L equazione cartesiana cercata è allora =. ii calcolare il lavoro di F lungo γ, I per il campo di vettori x x Fx, = + + x +x +. Studiamo innanzitutto le proprietà del campo F. Il suo dominio è R \ {, } { = } e rotfx, = F x x, F x, = = 4x + x + x + x 4x + x + x + =, quindi il campo F è irrotazionale. Studiamo le proprietà della curva γ, I. I punti iniziale e finale sono + sine + sine P = γ = loge e Q = γ = loge 5

6 Figure : Il sostegno di γ, I. dunque la curva non è chiusa. Disegniamo in figura il suo sostegno, che è interamente contenuto nel semipiano Ω = { > }. Possiamo dunque considerare F ristretto a Ω. Essendo F irrotazionale e Ω semplicemente connesso, il campo F è conservativo su Ω. Possiamo quindi cercare un potenziale per F su Ω, o calcolare il lavoro di F lungo un altra curva γ, Ĩ che abbia punti iniziale e finale in P e Q, e abbia sostegno contenuto in Ω. Nel primo caso, dobbiamo cercare una funzione f : Ω R differenziabile con derivate parziali continue tale che Dalla prima equazione si trova che sostituita nella seconda porta a x x, = x x, = + x x + +x + fx, = x logx + + g x + + x g = + + x + g = + + da cui g = + log +. Un potenziale di F su Ω è dunque dato dalla funzione Per il calcolo del lavoro possiamo quindi scrivere fx, = x + + log + logx +. LF, γ = fq fp = + sine sine + log loge + + sine loge + + sine Nel secondo caso, possiamo invece considerare la curva γ, Ĩ con e calcolare = γt = t, loge con t [ + sine, + sine ], LF, γ = LF, γ = +sine +sine t t + loge dt = +sine t logt +loge = +sine +sine sine +log loge + + sine loge + + sine. 6

7 Esercizio. Data la superficie i farne un disegno approssimativo; Σ = { x,, z R : x + = z 6, z } La superficie Σ è di rotazione intorno all asse z, generata dal grafico della funzione gz = z 6 = z con z [, ]. Si ottiene quindi la superficie in figura. ii calcolare l area di Σ. Figure : La superficie Σ. Dobbiamo innanzitutto scrivere una parametrizzazione di Σ. Essendo una superficie di rotazione, possiamo usare la parametrizzazione σt, θ = gt cos θ, gt sin θ, t con t [, ], θ [, π]. Il vettore normale nt, θ ottenuto dalla parametrizzazione è dato da gt cos θ nt, θ = gt sin θ che verifica nt, θ = gt + g t. gt g t Scriviamo quindi AreaΣ = Σ ds = π π nt, θ dt dθ = gt + g t dt dθ 7

8 e sostituendo gt = t otteniamo per simmetria rispetto al piano {z = } AreaΣ = π t + 9t 4 dt dθ = 7 π + 9t 4 = 7 π. 8