Analisi Matematica 2 (Corso di Laurea in Informatica)

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1 COGNOME NOME Matr. Firma dello studente Analisi Matematica 2 (Corso di Laurea in Informatica) B Tempo: ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni è corretta. Indicatela con una croce. È consentita una sola correzione per ogni domanda; per annullare una risposta ritenuta errata racchiuderla in un cerchio. Non si richiede la giustificazione della risposta data. Risposta esatta: 1.5 punti; risposta sbagliata: punti; risposta non data: 0 punti. Test 1: Sia f(x, y) = y 2 e 5x + x 2 sin(5y) per ogni (x, y) R 2. Allora quanto vale 2 f (0, 2)? y x (A) 20 (B) 0 (C) 20 (D) 40 Test 2: Sia U(x, y, z) = x 2 + xy sin(yz) + z un potenziale di un campo F R R e sia γ [ 1, 1] R la curva definita da γ(t) = (log(2 t 2 ), cos(tπ), e t ). Qual è il valore di γ F dγ? (A) sin e sin(e 1 ) + e e 1 (B) sin(e 1 ) + sin e e (C) sin e + e 1 (D) sin(e 1 ) sin e + e + e 1 Test : Sia C la curva piana data da r(t) = t i + t 2 j per 0 t 1. Sia F(x, y) = 5yi + xj. Allora, posto J = C F dr, quanto vale 5J? (A) 17 5 (B) 1 5 (C) 17 (D) 1 Test 4: Siano a, b, c tre numeri interi positivi e si consideri il parallelepipedo C = {(x, y, z) R 0 x a, 0 y b, 0 z c}. Allora, l uguaglianza vale per: C (z 2 x 2 y 2 ) dx dy dz = 0 (A) (a, b, c) = (5, 6, 7) (B) (a, b, c) = (6, 7, 8) (C) (a, b, c) = (4, 5, 6) (D) (a, b, c) = (, 4, 5). Test 5: Sia z = g(x, y) l equazione del piano tangente alla superficie S di equazione 2x 2 + sin y z + 2 = 0 nel punto (x 0, y 0, z 0 ) = (1, 0, 4) S. Allora quanto vale g(2, 1)? (A) 5 (B) 9 (C) 1 (D) 17 Test 6: Sia f(x; y) = y + e y (x 2 12). Allora il punto (0, ln 2) è: (A) una sella (C) un punto di minimo relativo (B) un punto di massimo relativo (D) nessuna delle precedenti 1

2 Analisi Matematica 2 (Corso di Laurea in Informatica) Soluzione dei test: Test 1: Si ha da cui Quindi La risposta esatta è pertanto la (A). x (x, y) = 5y2 e 5x + 2x sin(5y) y (x, y) = 10ye 5x + 10x cos(5y). (0, 2) = 20. y Test 2: Il campo è convervativo (viene data l espressione esplicita del potenziale) quindi la quantità γ F dγ dipende solo dal punto finale e dal punto iniziale, non dal cammino percorso. In particolare Calcoliamo dunque da cui γ F dγ = U(γ(1)) U(γ( 1)). γ(1) = (0, 1, e) γ( 1) = (0, 1, e 1 ) γ F dγ = U(γ(1)) U(γ( 1)) = sin( e) + e ( sin( e 1 ) + e 1 ) = sin e + e sin e 1 e 1. La risposta esatta è pertanto la (A). Test : Si vede immediatamente che il campo F non soddisfa la condizione delle derivate in croce e pertanto non è conservativo. Allora il lavoro si calcola con la definizione. Si ha J = C F dr = Allora 5J = 17 e la risposta esatta è la (C). Test 4: Si ha C (z 2 x 2 y 2 ) dx dy dz = 0 a 0 1 b c 0 0 (5t 2, t ) (t 2, 2t) dt = 0 1 (15t 4 + 2t 4 ) dt = (z 2 x 2 y 2 ) dx dy dz = a b c a b c a b c = 1 a b c [c2 a 2 b 2 ]. Supponendo che banalmente a, b, c 0, allora affinché la precedente espressione sia nulla è sufficiente che sia zero la quantità nella parentesi quadra, cioè si abbia a 2 +b 2 = c 2. Questo è equivalente a chiedere che la terna di valori (a, b, c) sia una terna pitagorica. Quindi la risposta esatta è la (D). Test 5: La superficie data può essere esplicitata rispetto a z nel modo seguente z = 2x 2 + sin y + 2. A questo punto, posto f(x, y) = 2x 2 + sin y + 2, l equazione del piano tangente alla superficie proposta è data dalla formula z = z 0 + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ), dove (x 0, y 0, z 0 ) = (1, 0, 4). Dunque l equazione del piano tangente alla superficie diventa z = 4 + 4(x 1) + 1(y 0) = 4x + y. Allora, posto g(x, y) = 4x + y si ha che g(2, 1) = 9. La risposta esatta è pertanto la (B). Test 6: La funzione f(x, y) = y + e y (x 2 12) è infinitamente differenziabile, quindi andiamo a vedere quali valori annullano il gradiente, al fine di cercare i punti stazionari. Si ha f(x, y) = (2xe y, 1 + e y (x 2 12) = (0, 0) (x, y) = (0, ln(1/12)). Quindi il punto richiesto non annulla nemmeno il gradiente, perciò non è un punto critico. La risposta esatta pertanto è la (D). 2

3 Analisi Matematica 2 (Corso di Laurea in Informatica) Esercizio (8 punti) Sia data la funzione f(x, y) = (i) La funzione è continua in (0, 0)? (ii) La funzione ammette derivate parziali in (0, 0)? (iii) La funzione è differenziabile in (0, 0)? (i) Si deve dimostrare che Si ha, per (x, y) (0, 0) Quindi xy sin 2 (x + y) x 2 + y 2 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) lim f(x, y) = f(0, 0) = 0. (x,y) (0,0) sin 2 (x + y) (x + y)2 x 2 + y 2 x 2 + y = x2 + y 2 + 2xy xy = x 2 + y 2 x 2 + y lim f(x, y) lim (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) 2 xy = 0 pertanto dal teorema del confronto anche il limite proposto esiste e fa 0. Allora la funzione data è continua in (0, 0). (ii) Si ha e analogamente f(h, 0) f(0, 0) 0 0 (0, 0) = lim = lim x h 0 h h 0 h = 0 f(0, k) f(0, 0) 0 0 (0, 0) = lim = lim = 0. y k 0 k k 0 k Quindi le derivate parziali di f nell origine esistono e sono nulle. (iii) Dovremmo verificare che f(h, k) f(0, 0) hf x (0, 0) kf y (0, 0) lim = 0. (h,k) (0,0) h2 + k 2 Dai risultati dei punti precedenti si ottiene che il limite precedente è equivalente a mostrare che hk sin 2 (h + k) lim = 0 (h,k) (0,0) (h 2 + k 2 ) /2 ma questo è falso; infatti considerando la restrizione alla retta y = x (equivalente a considerare h = k) si ottiene hk sin 2 (h + k) 2 h sin 2 (2h 2 ) = (h 2 + k 2 ) / h quindi la funzione data non è differenziabile nell origine.

4 Analisi Matematica 2 (Corso di Laurea in Informatica) Esercizio (8 punti) Sia data la funzione f(x, y) = x 2 + 2y 2 + xy + 4x (i) Si determinino i punti stazionari di f(x, y) in R 2 e se ne studi la natura; (ii) Si dica, giustificando la risposta sulla base della teoria, se f(x, y) ammette massimo assoluto e minimo assoluto sul triangolo di vertici (0, 2), (, 0), (0, 1), e, in caso di risposta affermativa, determinare punti e valore di massimo assoluto e di minimo assoluto. (i) La funzione data è infinitamente differenziabile, quindi ha senso calcolarne il gradiente. Si ha f(x, y) = (2x + y + 4, 4y + x) = (0, 0) (x, y) = ( 16 7, 4 7 ). Andiamo a studiare la natura di quest unico punto stazionario attraverso il metodo della matrice Hessiana. Si ha H f (x, y) = ( ) quindi il punto critico trovato è un punto di minimo relativo per f. (ii) La funzione è continua, il triangolo (che d ora in avanti chiameremo T ) è un insieme chiuso e limitato, quindi il massimo e il minimo assoluto di f su T esistono per il teorema di Weierstrass. La funzione è di classe C quindi non ci sono punti di non differenziabilità; l unico punto stazionario trovato al punto precedente non appartiene a T quindi il massimo e il minimo assoluto di f su T si troveranno sul bordo di T. Si ha dove T = T 1 T 2 T T 1 = {(x, y) R 2 x = 0, 1 y 2} T 2 = {(x, y) R 2 y = 2 2 x, 0 x } A questo punto T = {(x, y) R 2 y = 1 x 1, 0 x }. f T1 (x, y) = g(y) = 2y 2 e dunque g(y) = 0 solo se y = 0. Quindi eventuali punti candidati ad essere massimo o minimo assoluto sono (0, 0), (0, 2) e (0, 1). D altra parte f T2 (x, y) = x (2 2 x) 2 + x (2 2 x) + 4x = x x2 16 x + 2x 2 x2 + 4x = x 2 ( ) + (6 ) x + 8 = 11 9 x2 + 2 x + 8 = h(x). Quindi h (x) = 0 solo in un punto x < 0 che si vede subito (anche senza calcolarlo esplicitamente) non appartiene a T. Quindi gli unici punti candidati ad essere massimo o minimo per f su T sono (0, 2) e (, 0). Infine f T (x, y) = x ( 1 x 1) 2 + x ( 1 x 1) + 4x = x x2 4 x x + 1 x2 + 4x = x 2 ( ) + (4 7 ) x + 2 = 14 9 x2 + 5 x + 2 = l(x) e anche in questo caso l (x) = 0 solo in un punto x < 0 che si vede subito (anche senza calcolarlo esplicitamente) non appartiene a T. Quindi gli unici punti candidati ad essere massimo o minimo per f su T sono (0, 1) e (, 0). Riassumendo: f(0, 0) = 0 f(0, 1) = 2 f(0, 2) = 8 f(, 0) = 21. Allora il massimo assoluto di f su T vale 21 e il punto di massimo è (, 0); il minimo assoluto di f su T vale 0 e il punto di minimo è (0, 0). 4

5 Analisi Matematica 2 (Corso di Laurea in Informatica) Tema: Rotore e divergenza: si richiamino le definizioni e le principali proprietà; in particolare si enunci e si illustri almeno uno tra i teoremi detti del rotore e della divergenza. Sia F Ω R R un campo vettoriale di classe C 1 (Ω). Si definisce rotore di F il campo rotf = F = ( F y F 2 z ) i + ( F 1 z F x ) j + ( F 2 x F 1 y ) k = i j k x y z F 1 F 2 F Il simbolo F rappresenta il prodotto vettoriale formale tra l operatore e il campo F. Se F = 0 il campo F si dice irrotazionale. Nel caso particolare di un campo piano F(x, y) = if 1 (x, y) + jf 2 (x, y) si ottiene F = ( F 2 x F 1 y ) k; in questo caso dunque il vettore F è perpendicolare al piano in cui si trova F; è bene notare che la nozione di rotore ha senso solo se ambientata in R. Sia F Ω R n R n un campo vettoriale di classe C 1 (Ω), F = (F 1, F 2,..., F n ). Si definisce divergenza di F il campo scalare F i divf = F = x i Per esempio se F = F 1 (x, y, z)i + F 2 (x, y, z)j + F (x, y, z)k è un campo vettoriale in R si ha n n=1 F = F 1 x + F 2 y + F z. Si ha inoltre che F è un campo scalare, cio una funzione reale di variabili. Il simbolo F denota il prodotto scalare formale dell operatore e del campo F. L operatore rotore gioca un ruolo fondamentale nello stabilire se un campo è conservativo. Infatti vale il seguente importante teorema. Teorema (condizione delle derivate in croce) Se F R R è un campo di classe C 1 (A) conservativo in A, allora soddisfa le relazioni: y F 1 = x F 2 z F 1 = x F Per un campo bidimensionale le relazioni precedenti si riducono a una sola: z F 2 = y F (1) y F 1 = x F 2. Ricordando la definizione dell operatore rotore appena introdotto, ci si accorge che la condizione delle derivate in croce altro non è che richiedere che F = 0 cio che il campo F sia irrotazionale. In tal caso il teorema precedente si enuncia dicendo che un campo conservativo è irrotazionale. Ciò si vede anche osservando che se un campo è conservativo, allora è il gradiente di un certo potenziale U e si ha la seguente identità ( U) = rotgradu = 0. Il rotore entra anche nel seguente risultato fondamentale: (qui di seguito per semplicità assumiamo note le definizioni di superficie regolare orientata e dotata di bordo orientato positivamente) Teorema (teorema del rotore o di stokes) Sia Σ una superficie regolare orientata con versore normale n, dotata di bordo + Σ orientato positivamente. Supponiamo inoltre che + Σ sia una curva regolare (o l unione di più curve regolari); sia T il versore tangente a + Σ. Se F = P i + Qj + Rk è un campo vettoriale regolare definito in un intorno di Σ allora vale la formula Σ ( F) n ds = + Σ F T ds (2) Il precedente teorema si può riassumere dicendo: il flusso del rotore di un campo vettoriale attraverso una superficie Σ uguaglia la circuitazione del campo lungo il bordo della superficie stessa, se orientato positivamente. Un caso particolare del precedente teorema è il seguente: 5

6 Teorema Sia D un dominio limitato di R 2 semplice rispetto a entrambi gli assi. Se F = P i + Qj è un campo vettoriale di classe C 1 (D) allora vale la formula D (Q x P y ) dx dy = + D P dx + Q dy Invece l operatore divergenza entra nel seguente importante risultato: Teorema (teorema della divergenza o di Gauss) Sia D R un dominio limitato, semplice rispetto a tutti e tre gli assi cartesiani, la cui frontiera è una superficie regolare e orientabile; indichiamo con n e il versore normale esterno a D e sia F = F 1 i + F 2 j + F k un campo vettoriale di classe C 1 (D). Allora vale la formula dove ricordiamo che D F dx dy dz = D F n e ds F = F 1 x + F 2 y + F z Il teorema della divergenza si può dunque riassumere come: il flusso di un campo vettoriale uscente da una superficie chiusa uguaglia l integrale della divergenza del campo nella regione racchiusa dalla superficie stessa. Il teorema rappresenta un equazione di bilancio tra le due quantità. 6