Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del

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1 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del 7-- Esercizio. punti Data la funzione fx, y = log x + y x + y + x y i trovare tutti i punti critici; ii trovare massimo e minimo assoluti di f ristretta all insieme limitato D che ha come frontiera il quadrilatero di vertici Q =,, Q =,, Q =, e Q 4 =,. Esercizio. punti Data la superficie Σ = { x, y, z R : x + y = z 4 4 } i farne un disegno approssimativo; ii scrivere l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P =,, ; iii calcolare il volume del solido U = { x, y, z R : z, x + y z 4 4 } Esercizio. punti Dato il campo di vettori Fx, y = y xy+ + y+ i dire se è irrotazionale; ii dire se è conservativo; iii calcolarne il lavoro lungo la curva γ, I, con I = [, ] e parametrizzazione γ : [, ] R, γt = t t, t

2 Svolgimento Esercizio. Data la funzione i trovare tutti i punti critici; fx, y = log La funzione ha come dominio l insieme { Domf = x, y R : x + y x + y + x y } x + y x + y + x y > ed è differenziabile su tutto il suo dominio. Quindi cerchiamo i punti del dominio in cui si annulla il gradiente. Si trova fx, y = x+y +4x y x+y x+y+x y x+y x y x+y x+y+x y e quindi i punti critici liberi sono le soluzioni del sistema x+y +4x y = x+y x+y+x y x+y x y = x+y x+y+x y Supponendo che il denominatore non si annulli, e sommando e sottraendo multipli dei due numeratori, otteniamo il sistema equivalente x + y = x y = x + y x + y + x y Le soluzioni sono quindi, e,. Tuttavia la prima soluzione del sistema non è nel dominio di f, e quindi l unico punto critico della funzione è P =,. ii trovare massimo e minimo assoluti di f ristretta all insieme limitato D che ha come frontiera il quadrilatero di vertici Q =,, Q =,, Q =, e Q 4 =,. Per studiare massimo e minimo assoluto di f su D dobbiamo considerare i valori che la funzione assume sui punti critici liberi interni a D, sui punti critici vincolati al bordo di D, e sugli eventuali spigoli del bordo e punti di non derivabilità della funzione. L insieme D si può scrivere nella forma { D = x, y R : x, y, } x + y per cui si verifica che D Domf. Inoltre la funzione f non ha punti di non differenziabilità in D, ma il punto critico libero P di f sta in D, quindi è da tenere in considerazione.

3 Per studiare i punti critici vincolati al bordo di D, dividiamo il bordo in quattro parti e usiamo le parametrizzazioni γ t = t + t t =, t [, ] γ t = t + t = t t, t [, ] γ t = t + t = t, t [, ] γ 4 t = t + t = t, t [, ] t Componiamo con f e otteniamo le funzioni di una variabile g t = fγ t = log t t + t, t [, ] g t = fγ t = log g t = fγ t = log g 4 t = fγ 4 t = log e le studiamo separatamente. La funzione g ha derivata + t + t, t [, ] t t + t +, t [, ] + t t +, t [, ] g t t = + 4t t t + t Gli zeri di g sono t ± = 5 ± 7 [, ] quindi g ha nell intervallo [, ] segno costante. Quindi g non ha punti critici in, e i suoi valori di massimo e minimo sono assunti agli estremi dell intervallo. Allora, i punti da considerare sono Q = γ =,, Q = γ =, La funzione g ha derivata L unico zero di g è g t = t t + 4 t = [, ]

4 e quindi g ha nell intervallo [, ] un solo punto critico. Quindi, i punti da considerare sono Q = γ =,, Q 4 = γ = 6,, Q 5 = γ =, La funzione g ha derivata g t t + = + + t + t t + t + Gli zeri di g sono t ± = ± [, ] quindi g ha nell intervallo [, ] segno costante. Quindi g non ha punti critici in, e i suoi valori di massimo e minimo sono assunti agli estremi dell intervallo. Allora, i punti da considerare sono Q 6 = γ =,, Q 7 = γ =, La funzione g 4 ha derivata L unico zero di g 4 è g 4t = 7 t 9 4 t + t = [, ] e quindi g 4 ha nell intervallo [, ] un solo punto critico. Quindi, i punti da considerare sono Q = γ 4 =,, Q 9 = γ 4 =,, Q = γ 4 =, Gli spigoli del bordo sono già inclusi nei punti prcedenti. Quindi dobbiamo confrontare i valori fp = log fq = fq = log, fq = fq = log, fq 4 = log 4 4 fq 5 = fq 6 = log, fq 7 = fq = log, fq 9 = log 7 Quindi max f = log D 75, min f = log D Esercizio. Data la superficie Σ = { x, y, z R : x + y = z 4 4 } 4

5 i farne un disegno approssimativo; La superficie Σ è una superficie di rotazione che si ottiene facendo ruotare intorno all asse z il grafico della funzione y = z 4 4 mostrato in figura. Osserviamo che la funzione è definita per z, quindi la superficie Σ è formata da due parti disconnesse, una con z e una con z Figure : Il grafico di y = z 4 4, con y in ascissa e z in ordinata. ii scrivere l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P =,, ; La superficie Σ è anche un insieme di livello della funzione F x, y, z = x + y z 4 che è di classe C sul suo dominio. Per il corollario del Teorema delle Funzioni Implicite, se F P esiste il piano tangente e F P ne rappresenta il vettore normale. Si trova x F x, y, z = y 4z e quindi F P = F,, = 4 4 Allora l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P è data da 4 x 4 y + z = quindi da 4x 4 y z + 4 = iii calcolare il volume del solido U = { x, y, z R : z, x + y z 4 4 } 5

6 Vista la forma dell insieme U, cambiamo variabili e riscriviamo l integrale utilizzando le coordinate cilindriche x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, z = t. Si ottiene, ricordando che il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione in coordinate cilindriche è det J = ρ, VolU = dxdy = ρ dρdφdt dove Quindi si ottiene Ω = VolU = π { ρ, φ, t, [, π R : U t 4 4 ρ dρ dt + π Ω t, ρ t 4 4} t 4 4 ρ dρ dt = = π t 4 4 dt = π = 6π 5 Esercizio. Dato il campo di vettori Fx, y = y xy+ + y+ i dire se è irrotazionale; Dobbiamo calcolare il rotore di F. Per semplificare i calcoli, notiamo che la seconda componente del campo si può scrivere come Si trova allora che Quindi il campo è irrotazionale. F x, y = x x + y + y + rotfx, y = F x F y = x + y x x + y x y + y x + y = ii dire se è conservativo; Per vedere se è conservativo studiamo innanzitutto il suo dominio Ω. Si trova che Ω = R \ {, } {y = } che non è semplicemente connesso. Per l esattezza ha due componenti connesse: una data dall insieme {y < } che è semplicemente connessa, e l altra data dall insieme {y > } \ {, } che non è semplicemente connesso. 6

7 Per studiare se il campo è conservativo globalmente lo è sicuramente nella componente {y < }, dobbiamo quindi studiare il lavoro di F lungo una curva chiusa intorno all origine. Per semplificare i calcoli scegliamo la curva χt = cos t, sin t, t [, π] Si ottiene dalla formula LF, χ = π < Fχt, χ t > dt = = π π cos t + sin t + Quindi il campo non è globalmente conservativo. [ ] sin t sin t + cos t + sin t + cos t dt = dt = π t = π sin t + iii calcolarne il lavoro lungo la curva γ, I, con I = [, ] e parametrizzazione γ : [, ] R, γt = t t, t Osserviamo che l immagine della curva γ è contenuta nell insieme {y }. In particolare nella figura è disegnato il sostegno della curva, che non è chiusa, ma ha come punto iniziale P =, e come punto finale Q =, Figure : Il sostegno della curva γ, I. Per calcolare il lavoro di F lungo la curva γ, I possiamo considerare il campo ristretto all insieme semplicemente connesso {y } che è interamente contenuto nel dominio del campo. Quindi, su {y }, il campo risulta essere irrotazionale e conservativo, poiché l insieme {y } è semplicemente connesso. Ne segue che esiste una funzione fx, y definita su {y } e tale che fx, y = Fx, y x, y {y } Per trovare una tale funzione fx, y, notiamo che possiamo scrivere Fx, y = y x 7 + y+

8 e scrivere fx, y = gx, y + hx, y con gx, y = y x x, y {y } Si trova allora che hx, y = y+ x, y {y } gx, y = arctan x y e che Allora possiamo scrivere hx, y = y + LF, γ = fq fp = gq + hq gp hp = arctan + arctan + = π