Fondamenti di Analisi Matematica 2 - a.a. 2016/2017 Primo appello

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Adelaide Carrara
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1 Fondamenti di Analisi Matematica 2 - a.a. 216/217 Primo appello Esercizi senza svolgimento - Tema 1 Ω = { x, y, z) R 3 : 4x 2 + y 2 + z 2 1, z }. x = ρ/2) sen ϕ cos ϑ, 1. y = ρ sen ϕ sen ϑ, ρ [, 1], ϕ [, π/2], ϑ [, 2π] ; 2. ρ 2 /2) sen ϕ; 3. π/3; 4.,, 3/8); data l equazione differenziale y 5y + 25y = e 5t. 1. l integrale generale dell equazione omogenea associata a ; 2. l integrale generale dell equazione differenziale. 1. yt) = c 1 e 5t/2 cos 75t/2) + c 2 e 5t/2 sen 75t/2); 2. yt) = c 1 e 5t/2 cos 75t/2) + c 2 e 5t/2 sen 75t/2) e5t. 1

2 Esercizi senza svolgimento - Tema 2 Ω = { x, y, z) R 3 : x 2 + 9y 2 + z 2 1, z }. x = ρ sen ϕ cos ϑ, 1. y = ρ/3) sen ϕ sen ϑ, ρ [, 1], ϕ [, π/2], ϑ [, 2π] ; 2. ρ 2 /3) sen ϕ; 3. 2π/9; 4.,, 3/8); data l equazione differenziale y 4y + 4y = e 2t. 1. l integrale generale dell equazione omogenea associata a ; 2. l integrale generale dell equazione differenziale. 1. yt) = c 1 e 2t + c 2 te 2t ; 2. yt) = c 1 e 2t + c 2 te 2t + t2 2 e2t. 2

3 Esercizi senza svolgimento - Tema 3 Ω = { x, y, z) R 3 : x 2 + 4y 2 + z 2 1, z }. x = ρ sen ϕ cos ϑ, 1. y = ρ/2) sen ϕ sen ϑ, ρ [, 1], ϕ [π/2, π], ϑ [, 2π] ; 2. ρ 2 /2) sen ϕ; 3. π/3; 4.,, 3/8); data l equazione differenziale y + 6y + 9y = e 3t. 1. l integrale generale dell equazione omogenea associata a ; 2. l integrale generale dell equazione differenziale. 1. yt) = c 1 e 3t + c 2 te 3t ; 2. yt) = c 1 e 3t + c 2 te 3t + t2 2 e 3t. 3

4 Esercizi senza svolgimento - Tema 4 Ω = { x, y, z) R 3 : 9x 2 + y 2 + z 2 1, z }. x = ρ/3) sen ϕ cos ϑ, 1. y = ρ sen ϕ sen ϑ, ρ [, 1], ϕ [π/2, π], ϑ [, 2π] ; 2. ρ 2 /3) sen ϕ; 3. 2π/9; 4.,, 3/8); data l equazione differenziale y + 8y + 16y = e 4t. 1. l integrale generale dell equazione omogenea associata a ; 2. l integrale generale dell equazione differenziale. 1. yt) = c 1 e 4t + c 2 te 4t ; 2. yt) = c 1 e 4t + c 2 te 4t + t2 2 e 4t. 4

5 Esercizi con svolgimento - Tema 1 dato il campo vettoriale Fx, y, z) = [ 2x 2 + y 2 x)2x 1) 2x ] i + 2y2x 2 + 2y 2 2x 1) j + 2z k, x, y, z) R Dimostrare che F è conservativo. 2. Verificare che è un potenziale U di F. Ux, y, z) = x 2 + y 2 x) 2 x 2 y 2 + z 2 ora Γ = { x, y, z) R 3 : Ux, y, z) =, z = }. 3. Trovare gli eventuali punti singolari di Γ. 4. Trovare i punti di Γ di coordinata x massima. Svolgimento 1. Il campo vettoriale è definito su tutto R 3 che è insieme semplicemente connesso. Inoltre i j k rot F = det x y z 2x 2 + y 2 x)2x 1) 2x 2y2x 2 + 2y 2 2x 1) 2z = [ x 2y2x 2 + 2y 2 2x 1) ) y 2x 2 + y 2 x)2x 1) 2x )] k =,, ), come si verifica facilmente. 2. Si verifica facilmente che x Ux, y, z) = 2x 2 + y 2 x)2x 1) 2x y Ux, y, z) = 2y2x 2 + 2y 2 2x 1) z Ux, y, z) = 2z, da cui la conclusione. 3. Bisogna trovare i punti di Γ per i quali la matrice che ha per righe il gradiente di U e quello della funzione gx, y, z) = z ha rango minore di 2. Si trova che sono tutti e soli i punti le cui coordinate sono soluzione del sistema 2x 2 + y 2 x)2x 1) 2x = 2x 2 + y 2 x)2x 1) 2x = 2y2x 2 + 2y 2 2x 1) = 2y2x 2 + 2y 2 2x 1) = x 2 + y 2 x) 2 x 2 y 2 + z 2 = x 2 + y 2 x) 2 x 2 y 2 = z = z =. 5

6 Dalla seconda equazione si ricava che deve essere y = oppure 2x 2 + 2y 2 2x 1 =. Se y =, si ha 2x 2 x)2x 1) 2x = 2x 2 + y 2 x)2x 1) 2x = y = y = x 2 x) 2 x 2 = x = o x = 2 z = z =, da cui si ricava x, y, z) =,, ). Se, invece, 2x 2 + 2y 2 2x 1 =, si ottiene 2x 2 + y 2 x)2x 1) 2x = x 2 + y 2 x = 1/2 x 2 + y 2 x) 2 x 2 y 2 = z =, da cui, sostituendo 1/2 al posto di x 2 + y 2 x nella prima equazione, 1 =, che è falsa. Quindi l unico punto singolare di Γ è,, ). 4. Si tratta di trovare il punto di massimo di fx, y, z) = x vincolato a Γ. Applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, bisogna trovare i punti diversi da,, ) le cui coordinate sono soluzione del sistema 1 λ [ 2x 2 + y 2 x)2x 1) 2x ] = 2λy2x 2 + 2y 2 2x 1) = 2λz µ = x 2 + y 2 x) 2 x 2 y 2 + z 2 = z = Dall ultima e dalla terza equazione si ricava µ = z =, e quindi ci si riconduce a trovare le soluzioni del sistema 1 λ [ 2x 2 + y 2 x)2x 1) 2x ] = 2λy2x 2 + 2y 2 2x 1) = x 2 + y 2 x) 2 x 2 y 2 =. Dalla seconda equazione ricaviamo λ = o y = o x 2 + y 2 x = 1/2. λ = possiamo escluderlo grazie alla prima equazione. Se y =, il sistema diventa 1 λ [ 2x 2 x)2x 1) 2x ] = 1 λ [ 2x 2 x)2x 1) 2x ] = y = y = x 2 x) 2 x 2 = x = o x = 2, 6

7 da cui la soluzione 2,, ) con λ = 1/8. Se x 2 + y 2 x = 1/2, il sistema diventa 1 λ [ 2x 2 + y 2 x)2x 1) 2x ] = 1 + λ = x 2 + y 2 x = 1/2 x 2 + y 2 x = 1/2 x 2 + y 2 x) 2 x 2 y 2 =. x 2 + y 2 = 1/4, da cui x, y, z) = 1/4, ± 3/4, ). Allora il punto cercato è 2,, ). γ = r, Γ) la curva semplice parametrizzata da rt) = 1 + cos t) cos t i 1 + cos t) sen t j, t [, 2π]. 1. Provare che γ è chiusa e regolare a tratti. 2. Calcolare la lunghezza di γ 3. Calcolare l area della regione del piano xy racchiusa dalla curva γ. 4. Calcolare la circuitazione del campo vettoriale Gx, y, z) = Fx, y, z) 2y i + x j lungo γ, dove F è il campo vettoriale dell esercizio 1. Svolgimento 1. Si ha r) = r2π) = 2, ), e quindi γ è chiusa. Inoltre r t) = sen t sen2t) ) i cos t + cos2t) ) j, da cui r t) 2 = 21 + cos t). Allora r è di classe C 1 e r t) = se e solo se t = π, da cui la regolarità a tratti di γ. 2. Si ha lγ) = 2π r t) dt = 2π 2π π cos t dt = 2 cost/2) dt = 4 cos s ds = Detta Σ la regione di cui dobbiamo calcolare l area e una volta notato che γ è percorsa in senso orario se guardata dall alto, si ha 2π [ )] 2π Σ 2 = x dy = 1 + cos t) cos t cos t + cos2t) dt = 2 cos 4 t dt 4. Si noti che = 1 2 γ 2π 1 + cos2t) ) 2 dt = 1 2 2π 1 + cos 2 2t) ) dt = 3 2 π. rot Gx, y, z) = rot Fx, y, z) + 3 k = 3 k. Detta Σ la superficie del piano xy racchiusa da γ e orientata con normale k, tenuto conto dell orientazione di γ, grazie al teorema del rotore si ottiene G dr = Φrot G; Σ) = 3 Σ 2 = 9 2 π. γ 7

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