PIANO CARTESIANO: un problema di programmazione lineare

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1 PIANO CARTESIANO: un problema di programmazione lineare In un laboratorio sono disponibili due contatori A, B di batteri. Il contatore A può essere azionato da un laureato che guadagna 20 euro per ora. In media il contatore A è in grado di stimare 6 campioni l ora. Il contatore B è più veloce, ma anche più perfezionato, solo una persona più esperta, che guadagni 50 euro per ora, può usarlo. Con la stessa precisione di A, il contatore B consente in media la stima di 10 campioni l ora. Si devono stimare 1000 campioni in un periodo di tempo non superiore a 80 ore. Come conviene procedere?

2 PIANO CARTESIANO: un problema di programmazione lineare Contatore Campioni stimati per ora Retribuzioni orarie in euro Numero di ore di funzionamento A 6 20 x B y Poiché il lavoro deve essere eseguito in 80 ore, si ha: 0 x 80, 0 y 80 Inoltre, 6x + 10y = 1000, con costo 20x + 50y che vorremmo minimo.

3 PIANO CARTESIANO: un problema di programmazione lineare Dobbiamo considerare i punti del piano che soddisfano a tutte le condizioni elencate. Abbiamo il quadrato[0, 80]x[0, 80], intersecato dalla retta 6x+10y=1000. Questa intersezione è data dal segmento di estremi i punti (100/3,80) e (80,52). Il costo totale 20x + 50y può essere espresso nella sola incognita x; infatti, dalla relazione 6x + 10y =1000, ricaviamo y=-0.6x + 100, quindi Costo= 20x + 50(-0.6x + 100)= -10x

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5 PIANO CARTESIANO: un problema di programmazione lineare Costo= 20x + 50(-0.6x + 100)= -10x C(x) = x, il costo diminuisce all aumentare di x Per x= 100/3 il costo C(100/3) 4667 euro Per x=80 il costo C(80)=4200 euro La spesa minima si ottiene facendo lavorare il contatore A per 80 ore e il contatore B per 52 ore A controlla 480 campioni e B ne controlla 520 (da Batschelet, pag 81)

6 Esercizio Un campo di 2000 mq viene coltivato interamente a patate e zucchine, in modo tale che le patate coprano almeno il 40%, e le zucchine almeno il 30% del totale coltivato; per ragioni di mercato inoltre la produzione di zucchine non deve superare l 80% della produzione di patate e non essere al di sotto del 60% della produzione di patate. Ogni mq di terreno produce 20 kg di patate e 12 kg di zucchine. Le patate vengono vendute a 0.50 euro/ Kg, mentre le zucchine a 1.25 euro/kg. Quanti mq di terreno devo coltivare a patate e quanti a zucchine in modo da massimizzare il profitto ottenuto dalla vendita dei prodotti? Quanto vale il profitto massimo?

7 FUNZIONI LINEARI: un problema di crescita Supponiamo di voler studiare la crescita di una radice di pianta di mais, la cui lunghezza verrà espressa in mm, in funzione del contenuto di saccarosio, espresso in gr/l, nel terreno di coltura. Per un contenuto di saccarosio (s) di 15 gr/l, si è ottenuto una lunghezza (l) di 62 mm, mentre con 25 gr/l si è ottenuto una lunghezza di 74 mm. Puoi determinare l(s), supponendo che la relazione sia lineare?

8 FUNZIONI LINEARI: un problema di crescita Vogliamo esprimere l(s)=ms +q Determiniamo m = m (25-15), da cui m=1.2 Determiniamo q q= = 44 l(s) = 1.2s + 44 Quale sarà la lunghezza della radice per un contenuto di saccarosio di 20 gr/l? l(20) = = 68 mm

9 FUNZIONI LINEARI: un problema di crescita l(s) = 1.2s + 44 Per quale contenuto di saccarosio la radice avrà una lunghezza di 80 mm? 80= 1.2s + 44, da cui s = (80-44)/1.2 = 30 gr/l

10 FUNZIONI LINEARI: un problema di crescita Le osservazioni di cui disponiamo danno per la variabile libera s i due valori 15 e 25, per cui 20 è un valore interno a questo intervallo, la predizione per l(20)=68 è frutto di una interpolazione dei dati; il valore s=30 ottenuto nella seconda domanda è esterno all intervallo dei dati, per cui la predizione l(30) =80 è frutto di una estrapolazione dei dati Attenzione! Per un contenuto 0 di saccarosio una lunghezza di 44 mm sarà ragionevole? Se mettessimo 100 gr/l la previsione di una lunghezza di 164 mm è ragionevole?

11 LIMITI Sia f: R R Se per ogni M>0, per quanto grande possiamo sceglierlo, esiste un valore x 0 tale che per ogni x x 0 si ha f(x) M, diremo che la funzione f(x) ha limite + per x che tende (x + ) a + Se per ogni M<0, per quanto grande possiamo sceglierlo in valore assoluto, esiste un valore x 0 tale che per ogni x x 0 si ha f(x) M, diremo che la funzione f(x) ha limite - per x che tende (x - ) a -.

12 Scriveremo rispettivamente: lim x + f(x) =+ lim x - f(x) =- A voi definire : lim x + f(x) =- lim x - f(x) =+ LIMITI

13 LIMITI: FUNZIONI LINEARI Se f(x) = mx +q, si ha per m>0 lim x + f(x) =+ lim x - f(x) =- Mentre, per m<0 lim x + f(x) =- lim x - f(x) =+ Dimostralo per esercizio

14 FUNZIONI QUADRATICHE Dimostra che per f(x) =x 2 lim x + f(x) =+ = lim x - f(x) =+ E per f(x) = - x 2?

15 FUNZIONI QUADRATICHE Consideriamo f(x) = a(x-h) 2 + d Avremo lim x ± f(x) =+ se a>0, lim x ± f(x) =- se a<0

16 FUNZIONI QUADRATICHE:un problema di crescita Per un contenuto di saccarosio (s) di 15 gr/l, si è ottenuto una lunghezza (l) di 62 mm, mentre con 25 gr/l si è ottenuto una lunghezza di 74 mm. Facendo un altra prova con 5 gr/l di saccarosio si è ottenuta una lunghezza di 33 mm. La funzione l(s), con la conoscenza di questo nuovo dato, potrebbe essere lineare? Puoi determinare l(s), supponendo che la relazione sia quadratica?

17 FUNZIONI QUADRATICHE:un problema di crescita Si hanno i seguenti punti non allineati: (5, 33), (15, 62), (25, 74) Supponendo una funzione quadratica, si tratta di determinare le costanti a,b,c, in modo tale che sia soddisfatto il seguente sistema di equazioni: 33 = 25a + 5b + c 62= 225a + 15b + c 74 = 625a + 25b + c Sottraiamo la prima equazione dalla seconda e la seconda dalla terza, si ottiene:

18 FUNZIONI QUADRATICHE:un problema di crescita = (225-25)a + 10b = ( )a + 10b e quindi 29=200a +10b 12=400a + 10b Sottraiamo dalla seconda equazione la prima -17 = 200a, da cui ricaviamo a = -17/200, quindi la parabola-grafico di l(s) ha la concavità rivolta verso il basso

19 FUNZIONI QUADRATICHE:un problema di crescita Da una delle due relazioni, ricaviamo b = 4.6, dunque a = -17/200 = , b = 4.6 resta da determinare c da una delle equazioni iniziali 33 = 25(-0.085) + 5(4.6) +c da cui c= Abbiamo ottenuto la funzione l(s) = s s Che ha per grafico una parabola con vertice di ascissa x v = 4.6/ , ed ordinata y v Una legge quadratica appare poco credibile per la crescita della radice di mais con questi dati!

20 Esercizio A partire dalla funzione f(x) = 3 x 2 trova quali traslazioni verso destra o verso sinistra, verso l alto o verso il basso si devono applicare al suo grafico per ottenere il grafico della funzione g(x) = 3 x 2 24 x + 11 Determina inoltre l insieme immagine di g(x). Per quali valori di x si ha g(x) 11?