Attenzione: i programmi sono cambiati negli anni. Non tutti gli esercizi nella presente raccolta riguardano argomenti trattati.

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1 Si raccolgono qui temi d esame, esercizi e domande di teoria dati negli anni 3-4 nei corsi di Analisi Matematica I presso il DTG di Vicenza. Il materiale è stato reso disponibile dai docenti che hanno tenuto i corsi. Si inseriscono prima esercizi di autovalutazione. I temi d esame sono poi ordinati dai più recenti ai meno recenti. Ci sono alcune tracce di soluzione. Attenzione: i programmi sono cambiati negli anni. Non tutti gli esercizi nella presente raccolta riguardano argomenti trattati. Contenuto : Test autovalutazione 8 Pag. Test autovalutazione 7 Pag. 5 Test autovalutazione 6 Pag. 8 Esercizi d autovalutazione Pag. Temi d esame 3-4 Pag. 9 Temi d esame -3 Pag. 53 Temi d esame - Pag. 77 Temi d esame - Pag. 99 Temi d esame 9- Pag. 7 Temi d esame 8-9 Pag. 4 Temi d esame 7-8 Pag. 53 Temi d esame 6-7 Pag. 57 Temi d esame 5-6 Pag. 65 Temi d esame 4-5 Pag. 74 Temi d esame 3-4 Pag. 77

2 Università degli Studi di Padova Facoltà di Ingegneria Prof. F. Albertini, P. Mannucci, C. Marchi, M. Motta Prova di autovalutazione di Analisi Matematica, parte A Vicenza, 4 dicembre 8 ATTENZIONE: l Es. 4 è facoltativo (la valutazione complessiva dei primi 3 esercizi è 8/3) Tempo assegnato: ore e / per svolgere gli esercizi,,3; 3 ore per svolgere gli esercizi,, 3 e 4. Esercizio Si consideri la funzione f(x) = arccos e x (a) Determinare il dominio e il segno di f. (b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f. (c) Studiare la continuità e la derivabilità di f; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f. (d) Calcolare i iti di f, se significativi. (e) Studiare convessità e flessi di f. (e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio. Esercizio Si consideri la successione a n = n arctan ( n ) 4n arctan n + n log( + n) n cos n 3n

3 (a) Calcolare n + a n (b) Determinare, se esiste, l ordine di infinitesimo (o infinito) di a n. Esercizio 3 Calcolare per ogni valore reale del parametro α il ite x x x x + (log )x + x 3 sin ( ) x. sin(αx ) + (cos x ) + e 3/x Esercizio 4 (Facoltativo) Determinare il valore dei parametri a, b reali affinchè la funzione seguente: f(x) = (a) sia continua in IR; (b) sia di classe C in IR. { sin x+cos x e x / x x >, ae x 3bx x

4 Università degli Studi di Padova Facoltà di Ingegneria Prof. F. Albertini. P. Mannucci, C. Marchi e e M. Motta Prova di autovalutazione di Analisi Matematica, orale TEMA Vicenza, 4 dicembre 8. [] Dare le definizioni precise di massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore ed enunciarne le proprietà principali. [] Enunciare e dimostrare il Teorema di esistenza degli zeri. [3] Definizione di massimo e minimo relativo. Teorema di Fermat (enunciato e dimostrazione). TEMA [] Definizione di x f(x) = [] Dare la definizione di funzione derivabile in un punto. Enunciare e dimostrare il Teorema di derivazione della funzione composta. [3] Definizione di polinomio di Taylor ed enunciato e dimostrazione della Formula di Taylor con il resto di Peano.

5 Università degli Studi di Padova Facoltà di Ingegneria Prof. F. Albertini e M. Motta Prova di autovalutazione di Matematica A, parte A Esercizio Si consideri la funzione Vicenza, 5 novembre 7. f(x) = log ( e x 5e x + 6 ) x (a) Determinare il dominio di f, eventuali simmetrie e periodicità (non è richiesto lo studio del segno). (b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f. (c) Studiare la continuità e la derivabilità di f; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f. (d) Calcolare i iti di f, se significativi. (e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio. richiesto lo studio di f ) (Non è Esercizio Si consideri il seguente polinomio P (z) = z 3 + (4 + 3i)z + (i + 3)z + 9i (a) Verificare che z = è radice di P (z) (b) Determinarne le altre radici. (c) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l insieme A C di tutti i numeri complessi che soddisfano la seguente disequazione: P (z) z + Im(z) + 3i. (z + )(z + 3)

6 Esercizio 3 (a) Calcolare il ite x + 8 log(+x) x 6 x 7 sin (x) x 8 log 6 ( + x ). (b) Calcolare per ogni valore reale del parametro α il ite e 3x 6 tan(x) + αx x 6 arcsin(x + x 3 ) 6x 6x. 3 (c) Determinare il valore del parametro reale α per cui la funzione e 3x 6 tan(x)+αx per x < 6 arcsin(x+x f(x) = 3 ) 6x 6x 3 8 x 6 log(+x) x 7 per x > sin (x) x 8 log 6 (+ x) risulta prolungabile per continuità in x =.

7 Università degli Studi di Padova Facoltà di Ingegneria Prof. F. Albertini e M. Motta Prova di autovalutazione di Matematica A, parte B Vicenza, 5 novembre 7. TEMA [] Dare la definizione di funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva e di insieme immagine e insieme antimmagine di un dato insieme tramite f. Fornire qualche esempio. [] Dare la definizione di primitiva di una funzione f e di funzione integrale di f. Enunciare con precisione e dimostrare il fatto che tutte le primitive differiscono al più per una costante. [3] Enunciare e dimostrare il Teorema (o Criterio) di monotonia per le funzioni derivabili. TEMA [] Definizione di ite di successione (finito e infinito) e di successione indeterminata. Enunciare e dimostrare il Teorema sul ite di una successione infinitesima per una itata. [] Dare la definizione di ite finito di una funzione per x tendente ad x reale tramite le successioni e con gli intorni (ε, δ). Enunciare il Teorema di equivalenza tra le due definizioni (senza dimostrazione). [3] Enunciare e dimostrare il Teorema fondamentale del calcolo integrale.

8 Esercizi di autovalutazione di Matematica A, 5 novembre 6.. i) Risolvere la seguente equazione in C: ( z i)(z z + 6i 7)(z + ) =. ii) Determinare, al variare di α R, l insieme di definizione della seguente funzione di variabile complessa. Considerando f(z) = z α ( z i)(z z + 6i 7)(z + ). { ax + b se x f(x) = sin(x 4 x) x se x <, determinare i parametri reali a e b in modo che la funzione sia continua e derivabile nel proprio dominio. 3. Data la funzione f(x) = log x + arctg x, determinarne il dominio e l immagine; si assuma f definita su tali insiemi. i) Provare che la funzione f è invertibile. ii) Denotata con f la relativa funzione inversa, calcolare Df (π/4). 4. Trovare dominio, segno, asintoti, intervalli di monotonia della funzione f(x) = 4x + 3x x. 5. Calcolare il ite seguente, al variare di a R: e ax ax + x log(cos x) x + x 5 sin ( ) x + x x sin x.

9 Cognome Nome Matricola Prova di autovalutazione per l orale di Matematica A TEMA Vicenza, novembre 6. [] Massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore: definizioni e proprietà. Teorema di esistenza dell estremo superiore (con dim.) [] Definizione di massimo e minimo relativo. Teorema di Fermat (con dim.). [3] Enunciato e dimostrazione del Teorema sul ite di funzioni composte. TEMA [] Successioni monotone e loro proprietà (con dim.) [] Enunciare e dimostrare il Teorema di esistenza degli zeri. [3] Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.

10 Alcuni esercizi sui primi argomenti di Matematica A.. Siano date due funzioni g : A B e f : B C. Dimostrare che se f g è iniettiva, allora g è iniettiva. Dimostrare anche che se f g è iniettiva e g è suriettiva, allora f è iniettiva.. Si consideri la funzione f(x) = x + x. Dimostrare che f(x) è dispari, strettamente crescente e f(r) = (, ). Dimostrare che f : R (, ) è biiettiva. Trovare la funzione inversa di f. 3. Trovare, se esistono, massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore degli insiemi seguenti: { } n n + n N, { p p Z }, { arcsin { n + ( )n n N ( ) } n n N, + }, { } n n + n N, { n 4n+ n N }. 4. Trovare la funzione inversa di h(x) = sin(x + π) (x [ π, π ] ). 5. Trovare il dominio di g(x) = arccos x 3 /. Esercizi sui numeri complessi. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = ( i) 3.. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = ( + i)( i). 3. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = i. 4. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = + i Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = ( i) Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = ( + i 3). 7. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = + 4 i + i. 8. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = i( i) 5i. 9. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = ( i) 5 ( +i 3).. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = ( i) 5 /( + i 3).. Esprimere in forma algebrica il numero complesso { ( ( cos 3 π) + i sin ( 3 π))} 3 α = 3 ( cos ( π 6 ) + i sin ( π 6 )).. Esprimere in forma algebrica il numero complesso { ( ( ) ( ))} 3 ( ( π ) ( π )) α = cos 3 π + i sin 3 π 3 cos + i sin. 6 6

11 3. Esprimere in forma algebrica il numero complesso (/i) 4. ( 3. +i 4. Esprimere in forma algebrica il numero complesso i) 5. Risolvere l equazione complessa z 3 = Risolvere l equazione complessa iz 3 + =. 7. Risolvere l equazione complessa z = i Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa z = 3 i. 9. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa iz z + 3i =.. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa z ( + 4i)z + 4i =.. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa iz + z =.. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa z z + 6( i) =. 3. Determinare un numero complesso z tale che e z = i Esprimere in forma algebrica il numero complesso z = e log +i 3 4 π. 5. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa z 3 = ( + 3i) Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa z 4 = (3 + 4i) 4. Gli esercizi sui numeri complessi sono tratti da (e, in parte, svolti in): C. Zanella, Geometria Teoria ed Esercizi, Esculapio, Bologna,.

12 MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, (giustificare le risposte) Funzioni e numeri complessi Vicenza, ottobre 7.. Determinare dominio e segno della funzione f(x) = arccos( x + 6) π/3.. Determinare ( dominio, ) segno, eventuali simmetrie e periodicità della funzione f(x) = arcsin. cosh(sin x) 3. Determinare dominio e segno della funzione f(x) = arctan ( 4e x 9e x + e x). 4. Determinare dominio, segno, eventuali simmetrie e periodicità della funzione f(x) = log ( 4 sinh x 5 sinh x + ). 5. Determinare dominio, segno, eventuali simmetrie e periodicità della funzione f(x) = log(sin x) sin x. 6. Data la funzione f(x) = x x: a) determinare f(r), f([/, + [), f ([, + [), b) dire se f è iniettiva; c) dire se f è suriettiva; d) dire se f ha una restrizione biunivoca sull immagine e determinarla in caso affermativo. 7. Risolvere le equazioni: nell insieme dei numeri complessi. iz z i = iz z i = 8. Determinare e rappresentare nel piano di Gauss l insieme E = { z C : (Re(z) + 3) 3 ( z + ( + i) 5) = }. 9. Determinare e rappresentare nel piano di Gauss l insieme { z i } 5 E = z C : z + i >.. (a) Determinare al variare di a IR le soluzioni complesse di z + z z + i(z z) + z = i a. (b) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l insieme A = { z C : z (z) } + zz 8. (c) Determinare i valori di a IR per i quali risulta non vuota l intersezione tra l insieme delle soluzioni trovate nel punto (a) e l insieme A del punto (b).

13 . Determinare l insieme A dei numeri complessi z che soddisfano la seguente disequazione: z z + irez. Disegnare A nel piano complesso.

14 MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 3 (giustificare le risposte) Complessi e iti di successione. Determinare l insieme degli z complessi tali che z i z + + i z + + i z i Re (iz i z ) 4. Vicenza, ottobre 7.. Determinare l insieme degli z complessi tali che { log (log( z + 3 z z)) > z+ z = z i. z+i 3. Determinare l insieme degli z complessi tali che z 3 = z 3 i log( z ). 4. Calcolare i iti seguenti: ( ) n cos n + (a )n 3 n sin n + n sin(/n). ;. n n n log 4 n + n + (a ); 3. n n n n n! ( usare: a n n+ 4 n + a n a n = se il secondo); 4. (a > ); n n a n n n n + 5n n log ( ) + n + e n sin n + 3 n log n ( ) n 5. ; 6. n n 5 n 5 sin n + n n3/ n ( ) n.

15 MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 4 (giustificare le risposte) Limiti di successione e di funzione Vicenza, ottobre 7.. Calcolare: n n n e n.. Calcolare: per a = e per a = 3. n n a cos n 3n n sin(n 3 ) + sin( n) 3. Calcolare: n n n + ( n) n. n+ n 4. Calcolare: n ( + n ) (n/3 sin n+( )n ). 5. Calcolare: 6. Calcolare: 7. Calcolare: x π + sin x sin x. cos x ( 3x x 3x + x + ). x x sin x x sin(x). x

16 . Calcolare il ite seguente: Limiti di successione e di funzione (da appelli) n + 5n! 5n ( ) +n3 n 3 log + n n log( + n) n n3.. Per ogni valore di α IR, determinare il seguente ite: x sin(αx) + x 3 sin x x + cos( x) log(x + ). 3. Calcolare il ite della successione a n = + ( ) tan3 n e sin 3 ( n) ) e sin ( n) e n n 3+α ( per n + al variare del parametro α IR. 4. Calcolare il ite seguente al variare di a IR: ( ) /x x e /x + cos ( x ( x + + sinh ( ) x ) + a log ( ) x x ) ). /3 + sin ( x

17 MATEMATICA A, Cenni sulle soluzioni degli esercizi di autovalutazione bis, 4 (ATTENZIONE: in un compito non basta scrivere come nel seguito, vanno giustificati tutti i passaggi!) Limiti di successione e di funzione Vicenza, novembre 7.. n n n n log n n = e =. e n n. n n a cos n 3n n sin(n 3 ) + sin( n) = n n a n (3 sin(n 3 )) = n n a (3 sin(n 3 )). Poichè 3 sin(n 3 ) 4, e dunque /4 /(3 sin(n 3 )) /3, per a = il ite è e per a = 3 è (Svolto a lezione) n n n + ( n) n n+ n = ( + ) (n/3 sin n+( )n ) = e (n/3 sin n+( ) n ) log + n, n n n dove per le asintoticità n ( n /3 sin n + ( ) n) log ( + ) ( = n /3 sin n + ( ) n) n = n n Quindi, risulta e =. ( ) sin n ( )n + =. n n/ /3 n / 5. (Svolto a lezione) x π + sin x sin x cos x = (Svolto a lezione) ( 3x x 3x + x + ) = x sin x x sin(x) x + x x sin(x) = =. x + x

18 Limiti di successione e di funzione (da appelli). Usando le scale (e giustificando gli o-piccolo usati..) n + 5n! 5n ( ) +n3 n 3 log + n n log( + n) n n3 = n + 5n +n3 n n3 n 3 log ( ) = + n n + 5n =. n 3 n. (Svolto a lezione: si una Mac-Laurin) x sin(αx) + x 3 sin x x + cos( x) log(x + ). Risulta: + se α < log ; se α > log ; 5 log se α = log. 3. (Usando Mac-Laurin) + tan ( ) 3 n e sin 3 ( n) ) = n e sin ( n) e n n n 3+α ( 3 n 5 ( 3 ) = n nα, n 3+α n perchè ( ) ( tan 3 = n n + ( )) 3 3 n + o = 3 n 3 n + ( ) 3 n + o, 5 n 5 ( ) ( sin 3 = n n ( )) 3 6 n + o = 3 n 3 n ( ) 3 n + o, 5 n 5 ( ) ( ( )) sin = n n + o = 4 ( ) n n + o, n e n = + n + ( ) n + o, 4 n 4 ( ) e sin3 ( n) = + sin 3 + ( ) ( ( )) n sin6 + o sin 6 = + n n n ( ) 3 n + o. 5 n 5 ( ) ( ( )) e sin ( n) = + sin + o sin = + 4n ( ) n n n + o. Risulta: + se α > ; se α = ; se α <. 3. modificato Se si considera al posto dell es. 3 l esercizio seguente + tan ( ) 3 n e sin 3 ( n) 3 ) = ( n 5 ) = 9 n e sin ( n) e n n n n n+α, 3+α 3 n 4 n 3+α ( usando Mac-Laurin si ha quanto sopra, perchè ( ) ( tan 3 = n n + ( )) 3 3 n + o = 3 n 3 n + ( 3 n + o 5 ( ) ( sin 3 = n n ( )) 3 6 n + o = 3 n 3 n 3 n + o 5 n 5 ( n 5 ), ),

19 ( ) ( sin = n n ( )) 6 n + o = 3 n 3 e n = + n + ( n + o 4 ( ) e sin3 ( n) = + sin 3 + ( ) n sin6 + o n ( ) e sin ( n) = + sin + ( ) n sin4 n Risulta: se α > ; 9 ( sin 6 ( n ( ( )) + o sin 4 n se α = ; se α <. 4. (Si usa Mac-Laurin, dopo la sost. y = /x) L = x + ( ) /x x e /x + cos ( x ( + sinh ( ) x ) + a log ( ) x x + sin ( x ) ) /3 = y + n 3 n + o 4 ), n 4 ( ), n 4 )) = + n ( 3 n + o 5 n 5 = + n 3 n + 4 n + o 4 ). ( n 4 ). y y e y + cos (y) + ay log (y) ( ) /3 + sinh (y) + sin (y) dove y y = e y log y = + y log y + y log y + o(y log y) ( perchè y log y..), + sinh (y) = + sinh y 8 sinh y+ 6 sinh3 y+o(sinh 3 y) = + (y + 6 ) y3 8 y + 6 y3 +o(y 3 ) + sin (y) = + sin y 8 sin y+ 6 sin3 y+o(sin 3 y) = + (y 6 ) y3 8 y + 6 y3 +o(y 3 ). Quindi ( + a)y log y y + o(y) L = ( y + y3 + y3 + o(y 3 ) ) = ( + a)y log y y /3 y y e risulta se a > ; + se a < ; 3 6 se a =.

20 MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 5 (giustificare le risposte) Studi di funzione Vicenza, novembre 7.. Studiare la funzione f(x) = xe x (Dominio, segno, eventuali simmetrie, iti alla frontiera, eventuali asintoti, continuità e derivabilità, crescenza e decrescenza, eventuali minimi e massimi relativi ed assoluti, eventuali attacchi di f, abbozzo del grafico. Non è richiesto lo studio di f.). Studiare la funzione f(x) = x 4 e x x+ (Dominio, segno, eventuali simmetrie, iti alla frontiera, eventuali asintoti, continuità e derivabilità, crescenza e decrescenza, eventuali minimi e massimi relativi ed assoluti, eventuali attacchi di f, abbozzo del grafico. Non è richiesto lo studio di f.) 3. Si consideri la funzione f(x) = log ( x + + e x+ ) (a) Determinare il dominio di f, il segno di f ed eventuali simmetrie. (b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f. (c) Studiare la continuità e la derivabilità di f; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f. (d) Calcolare i iti di f, se significativi e disegnare un grafico qualitativo di f. (e) (facoltativo) Studiare concavità e convessità della funzione f. 4. Si consideri la funzione f(x) = (cos x)3 cos x (a) Determinare il dominio, il segno, eventuali simmetrie e periodicità di f. (b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti. (c) Studiare la continuità e la derivabilità di f; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f. (d) Calcolare i iti di f se significativi. (e) Disegnare un grafico qualitativo di f (in tutto IR). (Non è richiesto lo studio di f ) 5. Si consideri la funzione ( π ) f(x) = sin x e tan x (a) Determinare il dominio di f, il segno di f, eventuali simmetrie e periodicità.

21 (b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f. (c) Studiare la continuità e la derivabilità di f; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f. (d) Calcolare i iti di f, se significativi. (e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio. (Non è richiesto lo studio di f ) 6. Si consideri la funzione ( ) x + f(x) = arctan x + log(x ). (a) Determinare il dominio di f, il segno di f ed eventuali simmetrie. (b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f. (c) Studiare la continuità e la derivabilità di f; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f. (d) Calcolare i iti di f, se significativi. (e) Disegnare un grafico qualitativo di f. (Non è richiesto lo studio di f ) 7. Completare lo studio delle funzioni da. a 5. assegnate nel foglio di autovalutazione (dove erano richiesti solo lo studio del dominio e del segno).

22 MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 6 (giustificare le risposte) Esercizi sugli integrali e sugli integrali impropri. Per x > si consideri la funzione integrale F (x) = x + sin t t /3 dt. Vicenza, novembre 7. i) Dire se F si prolunga per continuità in x =. ii) Calcolare il x + F (x). iii) Calcolare F (). iii) Dire se F è invertibile in ], + [ e in caso affermativo calcolare D[F ]().. Data la funzione integrale g(x) = x sinh(t 3 ) 5 + t 4 dt i) determinare l ordine di infinitesimo di g per x + (significa: determinare α IR tale che g(x) x + = L, con L numero reale non nullo.) x α ii) Calcolare il x + g(x) e il x g(x). iii) Scrivere due termini non nulli dello sviluppo di Mac-Laurin di g. 3. Determinare i valori del parametro reale α per i quali converge il seguente integrale: x α e x dx. 4. Determinare i valori del parametro reale α per i quali converge il seguente integrale: + log α (x + ) x dx. Raccolta di esercizi da appelli (a) Dire per quali α IR esiste finito l integrale seguente: e giustificare la risposta. π/ x α sin(x ) + log(x α ) ( cos(x )) 7 8 α dx (b) Calcolare l integrale per α =. Determinare la primitiva F : IR IR della funzione f(x) = cos x x (+sin x) x+ x >, x +5x+

23 tale che F () =. 3 Determinare tutti gli α IR e β > per i quali è convergente l integrale generalizzato + sinh x α sin x x β x dx. 4 Data la funzione integrale F (x) = x [ log( + t ) arctan(t a ) ] dt, (a) calcolare al variare del parametro a > il ite seguente (b) Calcolare il valore F () per a =. F (x). x + x 3

24 MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 7 (giustificare le risposte) Esercizi sulle serie Vicenza, novembre 7.. Determinare il carattere della serie n= ( 3 n ) n 5/. n 3/. Dire per quali α converge la seguente serie n= n n + 5 n α n + 3 n. 3. Data la serie n= ( ) n n arctan 3, α n dire per quali α IR converge assolutamente; discutere la convergenza per α = /. 4. Dire se la serie converge assolutamente e se converge. + n= e /n (cosh n 3 ) sin n 4/3 n 4/3 5. Studiare la convergenza della serie n= ( ) 5n. n 6. Discutere la convergenza della serie [ ( 9n 3 n n)] sin n. n=

25 MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 8 (giustificare le risposte). Si consideri l equazione differenziale Esercizi sulle equazioni differenziali αy (t) + y (t) + α y(t) =. Vicenza, novembre 7. i) Determinare l integrale generale per ogni valore del parametro α. Dire per quali valori dei parametri le soluzioni sono tutte: i) periodiche; ii) itate in [, + [. iii) Determinare, se esistono, i valori di α per cui esiste almeno una soluzione dell equazione differenziale tale che e t 3 y(t) risulta ilitata in [, + [.. Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y (t) + y(t) sin(t) = sin t + cos t. 3. Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y (t) + ty(t) = te t. 4. Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y (t) + y (t) = t + sin t. 5. Determinare i valori del parametro reale α per i quali l equazione differenziale y (t) αy (t) = sin t ammette almeno una soluzione y tale che t y(t) =. Determinare l insieme di tali soluzioni. 6. Per quali valori del parametro λ > la soluzione y(t) di { y (t) = λy(t) y() =, y () = λ verifica la condizione y(π) =? Fra queste soluzioni ne esiste una strettamente positiva in ], π[? 7. Si consideri il problema di Cauchy y (t) + y (t) + y(t) = sin t y() = α, y () = β i) Trovare una soluzione nel caso α = β =. ii) Dire se esistono α, β reali tali da rendere la soluzione periodica.

26 8. Risolvere il problema di Cauchy y (t) = y() = +y(t) +t 9. Determinare i valori del parametro reale α per i quali l equazione differenziale y (t) + y (t) + α y(t) = te t ammette almeno una soluzione y(t) tale che t + y(t) = +. Determinare l insieme di tali soluzioni. Raccolta di esercizi da appelli Si consideri l equazione differenziale y (x) y (x) αy(x) = cos x e x/ sin x. (a) Determinare l integrale generale dell equazione differenziale α IR (Non si richiede di calcolare esplicitamente le costanti delle soluzioni particolari). (b) Determinare i valori di α IR per cui esiste una soluzione y(x) dell equazione differenziale tale che la funzione e x/ y(x) sia ilitata in [, + [. Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y (x) + x + x y (x) = x. 3 (a) Risolvere al variare del parametro a IR l equazione differenziale y (x) ay (x) + 4y(x) = e x. (b) Dire per quali valori di a IR si ha per ogni soluzione y(x) dell equazione data. y(x) = x 4 Per ogni α IR si consideri la seguente equazione differenziale: αy 3y = xe x. (a) Determinare la soluzione per ogni valore di α. (b) Dire per quali valori del parametro α esistono soluzioni y(x) tali che y(x) x + xe x IR.

27 ) Calcolare la soluzione del problema di Cauchy y = y 9 t sin(4t) 6 y() = ) Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy y = y() =. 6 x 4 x 4 + x y, 3)Data l equazione differenziale y = (y + )(y + ) tan x, a) se ne trovino tutte le soluzioni costanti, b) se ne trovi (esplicitamente) la soluzione che soddisfa la condizione iniziale y(π) =. 4) Trovare la soluzione del problema di Cauchy y = y 3y 4 3x + y() = 5 5)Calcolare l integrale generale della seguente equazione differenziale y + 4y + 4y = 4t. 6) Date l equazione differenziale () y + y + y = e x e la funzione ϕ(x) = ax e x (a IR), a) si determini a in modo che ϕ sia soluzione di (); b) si determini la soluzione che soddisfa le condizioni y() = e y () =. 7) Trovare l integrale generale di y y + 4y = sin( 3t).

28 8)Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy: y + x y = x sin x( + tan x) 3 sin x + 4 cos x y( π/4) = 9) Determinare α IR tale che la funzione ϕ(x) = α tan x sia soluzione dell equazione differenziale y + y y = tan 3 x + tan x + ; () Determinare poi la soluzione di () che soddisfa le condizioni y() =, y () =.

29 ANALISI MATEMATICA Commissione F. Albertini, P. Mannucci e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 6 settembre 4 TEMA Esercizio Si consideri la funzione f(x) = log sin(x)+ (a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie o periodicità ed il segno di f; (b) determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, eventuali punti in cui è possibile prolungare f per continuità; (c) studiare la continuità e la derivabilità di f, studiare la monotonia e determinare gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f. Calcolare i iti di f se significativi; (d) disegnare un grafico qualitativo di f. (e) Facoltativo: calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di concavità e convessità con eventuali punti di flesso. Svolgimento: a) La funzione è periodica di periodo infatti f(x + ) =f(x), quindi la studieremo in [, ]. Dominio: dobbiamo risolvere la disequazione sin(x) + / > che, in[, ], ha come soluzioni [, 7 7 ) [ (, ] eintuttor il dominio è [k, + k ) [ ( + k, 7 + k ]. Da ora in poi studieremo la funzione in D =[, 7 ) [ (, ] e poi la estenderemo tenendo conto della periodicità. Segno: f(x) > sesin(x)+/ >, quindi sin(x) > /. Risolto in D si ottiene x [, 5 ]. b)i iti significativi sono x!( 7 ) =, x!( ) =. Inoltre f() = f( ) = log <. c) La funzione dove è definita è continua e derivabile. f (x) = cos(x) sin(x)+/, che si annulla in D solo se x = /4 (notare che 3 4 non appartiene al dominio). Quindi per i punti di D si ha che f è c r e s c e n t e i n, /4) ( decrescente in ( /4, 7 )ecrescente in (, ). Quindi x = /4 è un punto di massimo relativo e dal segno della funzione si deduce che è anche un punto di massimo assoluto con f( /4) = log(3/). Non ci sono iti di f significativi perché in x =einx = la funzione è derivabile e si attacca attraverso la sua periodicità. 4cos (x) (sin(x)+/) Facoltativo: f (x) = che f (x) < nel suo dominio, cioè la f è sempre concava. 4sin(x) sin(x)+/ = 4 ( + (sin(x)+/) sin(x)) da cui si osserva

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31 Esercizio Si consideri la successione a n = n (3 sin(/n ) log( + 3/n )) (a) Discutere per quali R la successione tende a zero. (b) Discutere per quali R converge la serie P + a n. Svolgimento: (cenno) Poichè per x! vale: log( + x) =x x + o(x ), sin(x) =x + o(x ), possiamo riscrivere la successione come: a n = n 3 n + o( n 4 ) 3 n + 9 n 4 + o( n 4 )), (a) Utilizzando lo sviluppo precedente abbiamo: (b) a n = n!+ n!+ a n = 9 n 4 + o( n 4 ). 9 n 4 + o( n 4 )= 8 < : <4 9 =4 + >4. Se 4 la serie non converge poichè non è infinitesima. Se <4 la serie è asintotica alla serie armonica generalizzata con esponente 4 che converge se e solo se 4 > ) <3. Esercizio 3 Data la funzione f(x) = x + e x. (a) (b) Determinarne una primitiva Calcolare l area della regione del piano definita da A = {(x, y) R x [, ], apple y apple f(x).}. Svolgimento: (cenno) (a) Per trovare una primitiva di f determiniamo R f(x)dx, che si calcola utilizzando la tecnica di integrazione per parti per due passaggi. Z x + e x = Z ex x + e x (x)dx =

32 e x x + Z Z xe x = e x x + apple x e x + apple Z xex x cost. x + e x = e x x x cost. e x dx = (b) Si ha che f() = e se x> allora x +> e anche e x >, da cui f(x) x [, ]. Quindi per ogni Area A = Z (f(x) )dx = Z f(x)dx +3 3 e 4 4 Z dx = e x x x +3 4 x = Esercizio 4 Si consideri la funzione di due variabili f(x, y) = log( y x ) = 3e 7. 4 (a) Determinare il dominio di f e disegnarlo. Dire se è chiuso e itato. (b) Determinare, se esiste, il piano tangente al grafico di f in (,e,f(,e)), giustificando la risposta. Svolgimento: (cenno) (a) Il dominio è D = {(x, y) : x 6=, y/x >, log(y/x) 6= } = {(x, y) :(x, y > ox, y < ) e y 6= x}, cioè il primo ed il terzo quadrante esclusi gli assi e la prima bisettrice, y = x. D quindi è aperto e ilitato. (b) (,e) D, dove f è continua e di erenziabile, perchè composizione di funzioni derivabili con derivate continue. Quindi esiste il piano tangente in (,e,f(,e)). Si ha: f(,e)=/ log(e) = e le derivate parziali sono: f x (x, y) = f y (x, y) = x log ( y x ) y x log ( y x ) y x Quindi l equazione del piano tangente richiesta è z =+x y x y e = x e =) f x (,e)=, =) f x (,e)= e. y e +.

33 ANALISI MATEMATICA Commissione F. Albertini, P. Mannucci e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 8 luglio 4 TEMA Esercizio (8 punti) Si consideri la funzione x f(x) = arcsin x + (a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie ed il segno di f; (b) determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, eventuali punti in cui è possibile prolungare f per continuità; (c) studiare la continuità e la derivabilità di f, studiare la monotonia e determinare gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f. Facoltativo: Calcolare i iti di f se significativi; (d) disegnare un grafico qualitativo di f. Svolgimento: (cenno) a) Il dominio si ricava ponendo x applex +, e si ha: D = {x R,xapple p, x + p }. Non ci sono simmetrie. Poiché l argomento della funzione arcsin è sempre maggiore o uguale a zero, anche f sempre. Inoltre apple f(x) apple /, e f() =, mentre f( ± p ) = /, quindi x = è punto di minimo assoluto e x = ± p sono punti di massimo assoluto per f. b) x!± f(x) =, quindi la retta y = è asintoto orizzontale per x!±. c) La funzione è continua nel suo dominio. Se x apple p oppure + p apple x apple, f(x) = arcsin x+ x +,quindi f (x) = x 4x (x + ) p (x + ) ( x + ) per x< p o + p <x<. p Si ha f (x) > perx<, quindi in questo intervallo la funzione è crescente, e f (x) < per + p <x<, dove quindi è decrescente. Inoltre p x! f (x) =+, p x! + f (x) =, x! f (x) =. Se x sihaf(x) = arcsin x,chedaperx> x + f (x) = x 4x (x + ) p (x + ) ( x + ). Si ha che <x<+ p, f (x) >, se x>+ p, f (x) <. Inoltre x! + f (x) =. Quindi x = è un punto angoloso, e x =+ p è un punto di massimo locale per f.

34 Out[6]=

35 Esercizio (8 punti) (a) Calcolare l integrale generalizzato (b) Dire per quali R l integrale converge. Svolgimento: (cenno) Z + Z + x +4x +9 dx. arctan x x +4x +9 dx (a) Si noti che x +4x +9=5+(x + ), da cui si ha: Z + x +4x +9 dx = Z + 5 = p x+ p 5 dx = 5 arctan( p 3 ). 5 p x + b 5 arctan p = b!+ 5 (b) Si deve solo discutere l integrabilità in +. Sihache: -se > allora x!+ arctan =, x -se = allora arctan = /4, -se > allora x!+ arctan = /. x Nel primo caso ( <) la funzione integranda f(x) èf(x) quindi è integrabile se x 4 4 > che, in questo caso è sempre vero. Nel secondo caso ( = ) f(x) quindi è 4x integrabile. Nel terzo caso ( >) f(x) quindi è integrabile. x OPPURE: Nel primo caso la funzione integranda della parte (b) è o-piccolo di quella della parte (a), quindi integrabile, nel secondo e nel terzo caso la funzione integranda della parte (b) è asintotica a quella della parte (a), quindi di nuovo integrabile. OPPURE: apple f(x) apple del confronto. x +4x+9 x per cui f è integrabile per ogni R per il Teorema Esercizio 3 (7 punti) Per ogni R, calcolare il ite apple n n +(n 4) log n!+ n +. Svolgimento: (cenno) Si ha: log n n+ = log + n+. Quando n! +, siha n+!, quindi possiamo usare lo sviluppo del logaritmo e scrivere: 4 log + = n + n + (n + ) + o (n + ).

36 Sostituendo lo sviluppo nel ite si ha: apple n +(n + )(n ) 4 n!+ n + (n + ) + o( (n + ) ) = apple (n ) = n (n ) n!+ (n + ) + o( n (n + ) ) = 8 apple (n ) ( )n +4 n!+ (n + ) + o( n < + > (n + ) ) = = : < (OPPURE: log n n+ = log n+ n = log + n = n + + o...) n n Esercizio 4 (7 punti) Si consideri la funzione di due variabili r xy 4 f(x, y) = x +4y (a) Determinare il dominio di f e disegnarlo. Dire se è chiuso e itato. (b) Determinare, se esiste, il piano tangente al grafico di f in (4,, f(4, )), giustificando la risposta. Facoltativo: Determinare, se ha senso ed esiste, (x,y)! f(x, y). Svolgimento: (cenno) (a) Il dominio è dato dalla condizione xy > 4, cioè il dominio sopra l iperbole del primo quadrante e sotto quella del terzo. È un insieme aperto e ilitato. (b) La funzione è di erenziabile nel suo dominio, quindi il piano tangente è definito dall equazione z = f(4, f(x, y) (x 4) f(x, y) (y ). (x,y)=(4,) Si xy f(x, y) = x +4y / y(x +4y ) x(xy 4) (x +4y f(x, y) = Da cui il piano tangente risulta: xy 4 x +4y / x(x +4y ) 8y(xy 4) (x +4y ). p f(x, y) = (x,y)=(4,) f(x, y) = (x,y)=(4,) 3. z = p 8 + p 8 p 8 (x 64 4) + (y 3 ). Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

37 ANALISI MATEMATICA Commissione F. Albertini, P. Mannucci e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 8 luglio 4 TEMA Esercizio (8 punti) Si consideri la funzione f(x) = arcsin +x +x (a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie ed il segno di f; (b) determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, eventuali punti in cui è possibile prolungare f per continuità; (c) studiare la continuità e la derivabilità di f, studiare la monotonia e determinare gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f. Facoltativo: Calcolare i iti di f se significativi; (d) disegnare un grafico qualitativo di f. Esercizio (8 punti) (a) Calcolare l integrale generalizzato Z + x +6x + 4 dx. (b) Dire per quali R l integrale converge. Z + arctan x 3 x +6x + 4 dx Esercizio 3 (7 punti) Per ogni R, calcolare il ite apple n (n 9) log n!+ n n 3. Esercizio 4 (7 punti) Si consideri la funzione di due variabili apple xy 4 f(x, y) = log 4x + y (a) Determinare il dominio di f e disegnarlo. Dire se è chiuso e itato. (b) Determinare, se esiste, il piano tangente al grafico di f in (, 4, f(, 4)), giustificando la risposta. Facoltativo: Determinare, se ha senso ed esiste, (x,y)! f(x, y). Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

38 ANALISI MATEMATICA Commissione F. Albertini, P. Mannucci e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 8 febbraio 4 TEMA Esercizio Si consideri la funzione 3 x f(x) = arctan x + x (a) Determinare il dominio ed eventuali simmetrie di f; non è richiesto lo studio del segno di f; (b) determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, eventuali punti in cui è possibile prolungare f per continuità; (c) studiare la continuità e la derivabilità di f, studiare la monotonia e determinare gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f. Calcolare i iti di f se significativi; (d) disegnare un grafico qualitativo di f; (e) (Facoltativo) calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di concavità e convessità con eventuali punti di flesso. Svolgimento: (cenno) a) Dominio={x R,x6= }. Non ci sono simmetrie. b) x! f(x) = 4, x! + f(x) = 4. La funzione non può essere prolungata per continuità in x =, dove c è un salto. x!+ f(x) = x!+ arctan 3 x x+ x =, f(x) x!+ x =, x!+ f(x)+x = x!+ arctan 3 x x+ = /. Quindi per x! + la f(x) ha l asintoto obliquo y = x /. Analogamente x! f(x) = e procedendo come sopra si ottiene che y =x / è asintoto obliquo per f(x) quando x!. c) Se x>, si ha f 5 (x) = (x+) +(3 x), che é strettamente negativa per ogni x>. Se x<, x 6=, si ha f 5 x (x) = + = x+8 che è sempre strettamente (x+) +(3 x) (x+) +(3 x) positiva. Si ha: x! f (x) = 6/3 e x! + f (x) = 36/3 Quindi x = è un punto angoloso per f. La funzione f(x) è crescente negli intervalli (, ) e (, ), ha un punto di massimo relativo in x = e poi è decrescente in (, +). La funzione non presenta minimo assoluto, mentre x = è anche massimo assoluto. Ha senso calcolare x! + f (x) = x! f (x) =8/5. d) Per il grafico si veda il disegno. 4x e) (Facoltativo) Si calcola facilmente che per x 6= ex 6=, si ha f (x) = [(x+) +(3,che x) ] risulta positiva quando x>/, quindi la funzione é concava negli intervalli (, ), (, ), e(, /), presenta un punto di flesso in x =/ ed é convessa in (/, +).

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40 Esercizio Studiare, al variare del parametro a, la convergenza della serie +X n= n + log(n 3 )+na n 3 n. + cos n + Svolgimento: (cenno) Se a> il numeratore del termine della serie è asintotico a na n,sea = il numeratore del termine della serie è asintotico a ( + n) n. Se a< (anche se a<!) il numeratore è asintotico a n. Il denominatore è asintotico a 3 n,quindisihache i) se a> il termine della serie è asintotico a nan 3 e la serie corrispondente converge (usando il n criterio della radice o del rapporto) se e solo se a<3(sea =3ilterminedellaserietendea+ e quindi la serie non converge). ii) se a = il termine della serie è asintotico a (+n)n 3 e la serie corrispondente converge (usando n il criterio della radice o del rapporto). iii) se a< il termine della serie è asintotico a n 3 e la serie corrispondente converge perché è n una serie geometrica con ragione q<. Quindi la serie converge per ogni apple a<3. Esercizio 3 (a) Calcolare Z / e arcsin(x) dx (Suggerimento: utilizzare la sostituzione t = arcsin(x)...). (b) Facoltativo: Calcolare l area della regione A = {(x, y) : x [, /], x apple y apple e arcsin(x) }. Svolgimento: (cenno) a) con la sostituzione t = arcsin(x), poiché x = sint, dx = cos tdt, integrando due volte per parti si ottiene: Z / e arcsin(x) dx = Z / e t cos tdt= (et cos t / + Z / e t sin tdt)= = (et cos t / + e t sin t / Z / e t cos tdt). Quindi si ottiene a destra lo stesso integrale (in t) che abbiamo a sinistra e quindi ( + ) Z / e t cos tdt= (et cos t + e t sin t) / da cui Z / e t cos tdt= (e / ). Quindi b) (Facoltativo) L area di A è Z / e arcsin(x) dx = 4 (e / ). Z / (e arcsin(x) + x)dx = Z / Z / e arcsin(x) dx + xdx = 4 (e / ) + x / = 4 (e / ) + 8.

41 Esercizio 4 (a) Calcolare per ogni valore del parametro a> il ite e x cos( p x)+x x! + x sin x + ap x sin (b) Determinare a > per cui la funzione seguente risulta prolungabile per continuità in x = : 8 < ( + x ) f(x) = e : x px 3 cos x x< cos( p x)+x x sin( x)+a p p x sin x. x> Svolgimento: (cenno) a) usando gli sviluppi di McLaurin il numeratore del ite è e x cos( p x)+x =+x + x 4! x + x + o(x )= 3 x + o(x). Il denominatore è x sin + a p p x x sin = x sin + a p p x x x x + o(p x) = a x + o(x). quindi il ite è uguale a x! + 3 x + o(x) a x + o(x) = 3 a. b) Calcoliamo il ite per x! della f(x) e poi lo imponiamo uguale al ite per x! + della f(x) che è proprio 3 a. Per x! dobbiamo considerare la f(x) definitaperx <, quindi dobbiamo calcolare ( + x! x ) cos x = 3 e 3log(+x ) cos x. x! Calcoliamo il ite (con McLaurin) dell esponente (si può fare anche con L Hopital) : x! 3 log( + x ) cos x = x! 3 x / x =6. quindi x! f(x) =e 6 Quindi f(x) è prolungabile per continuità in x = se e solo se 3 a = e6 cioè a =3e 6. Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la su cienza.

42 ANALISI MATEMATICA Commissione F. Albertini, P. Mannucci e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 8 febbraio 4 TEMA Esercizio Si consideri la funzione f(x) = arctan x 3 + x x + (a) Determinare il dominio ed eventuali simmetrie di f; non è richiesto lo studio del segno di f; (b) determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, eventuali punti in cui è possibile prolungare f per continuità; (c) studiare la continuità e la derivabilità di f, studiare la monotonia e determinare gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f. Calcolare i iti di f se significativi; (d) disegnare un grafico qualitativo di f; (e) (Facoltativo) calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di concavità e convessità con eventuali punti di flesso. Esercizio Studiare, al variare del parametro b Esercizio 3 (a) Calcolare +X n= 3 n + log(n )+nb n 5 n. +sinn +3 Z / e arccos(x) dx, la convergenza della serie (Suggerimento: utilizzare la sostituzione t = arccos(x)...). (b) Facoltativo: Calcolare l area della regione A = {(x, y) : x [, /], x apple y apple e arccos(x) }. Esercizio 4 (a) Calcolare per ogni valore del parametro a> il ite 3ax tan x + x 3 sin 3x x! + cosh x e x4 + x. (b) Determinare a > per cui la funzione seguente risulta prolungabile per continuità in x = : 8 < ( x) 3( e x ) x< f(x) = : 3ax tan x+x 3 sin( 3x) x> cosh x e x4 +x Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la su cienza.

43 ANALISI MATEMATICA Commissione F. Albertini, P. Mannucci e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 8 febbraio 4 TEMA Esercizio Si consideri la funzione f(x) = arctan x +3 x (a) Determinare il dominio ed eventuali simmetrie di f; non è richiesto lo studio del segno di f; (b) determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, eventuali punti in cui è possibile prolungare f per continuità; (c) studiare la continuità e la derivabilità di f, studiare la monotonia e determinare gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f. Calcolare i iti di f se significativi; (d) disegnare un grafico qualitativo di f; (e) (Facoltativo) calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di concavità e convessità con eventuali punti di flesso. Esercizio Studiare, al variare del parametro a Esercizio 3 (a) Calcolare +X n= 4 n + cos n +7 n a n + n + n. Z e 3arcsinx dx x, la convergenza della serie (Suggerimento: utilizzare la sostituzione t = arcsin x...). (b) Facoltativo: Calcolare l area della regione A = {(x, y) : x [, ], x apple y apple e 3arcsinx }. Esercizio 4 (a) Calcolare per ogni valore del parametro a> il ite x sin( x )+5ax x! + p x arcsin( p x)+e x cos( p x). (b) Determinare a > per cui la funzione seguente risulta prolungabile per continuità in x = : 8 < ( x) e x x< f(x) = x : sin( x )+5ax x> p x arcsin( p x)+e x cos( p x) Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la su cienza.

44 ANALISI MATEMATICA Commissione F. Albertini, P. Mannucci e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 8 febbraio 4 TEMA Esercizio Si consideri la funzione f(x) = arctan x +3 + x x (a) Determinare il dominio ed eventuali simmetrie di f; non è richiesto lo studio del segno di f; (b) determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, eventuali punti in cui è possibile prolungare f per continuità; (c) studiare la continuità e la derivabilità di f, studiare la monotonia e determinare gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f. Calcolare i iti di f se significativi; (d) disegnare un grafico qualitativo di f; (e) (Facoltativo) calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di concavità e convessità con eventuali punti di flesso. Esercizio Studiare, al variare del parametro b Esercizio 3 (a) Calcolare +X n= 4 n +sinn + 3 n + n 3 + n b n. Z e arccosx dx., la convergenza della serie (Suggerimento: utilizzare la sostituzione t = arccos x...). (b) Facoltativo: Calcolare l area della regione A = {(x, y) : x [, ], x apple y apple e arccosx }. Esercizio 4 (a) Calcolare per ogni valore del parametro a> il ite x sinh x cos x + e x4. x! + 5ax arcsin x + x 3 sin (b) Determinare a > per cui la funzione seguente risulta prolungabile per continuità in x = : 8 < ( + x ) cosh x, x < f(x) = : x sinh x cos x+e x4 5ax arcsin x+x 3 sin( x), x > 5 5 x Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la su cienza.

45 ANALISI MATEMATICA Commissione F. Albertini, P. Mannucci e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 7 gennaio 4 TEMA Esercizio (9 punti) Si consideri la funzione f(x) =xe x x+ (a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie ed il segno di f; (b) determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, eventuali punti in cui è possibile prolungare f per continuità; (c) studiare la continuità e la derivabilità di f, studiare la monotonia e determinare gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f (non è richiesto lo studio della derivata seconda di f). (d) Disegnare un grafico qualitativo di f. (e) (Facoltativo) Calcolare i iti di f se significativi. Esercizio (7 punti) (a) Determinare l ordine di infinitesimo di e x+x x x +sin(x )perx!. (b) Calcolare per ogni >, =e <ilite e x+x x! + x x +sin(x ) x log( + x. ) Esercizio 3 (8 punti) (a) Determinare una primitiva della funzione f(x) =( x) sinhx. (b) Calcolare l integrale definito (c) Z 4 x sinh xdx. Discutere per ogni R la convergenza dell integrale generalizzato Z 4 x sinh x x dx. Esercizio 4 (6 punti) (a) Calcolare in (, ) la derivata direzionale lungo il versore v =(/3, p /3) della funzione y f(x, y) = arctan. 3x + y (b) (Facoltativo) Calcolare il (x,y)!(,) f(x, y). Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la su cienza.

46 ANALISI MATEMATICA Commissione F. Albertini, P. Mannucci e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 7 gennaio 4 TEMA Esercizio (9 punti) Si consideri la funzione f(x) =xe x 3 3+x (a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie ed il segno di f; (b) determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, eventuali punti in cui è possibile prolungare f per continuità; (c) studiare la continuità e la derivabilità di f, studiare la monotonia e determinare gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f (non è richiesto lo studio della derivata seconda di f). (d) Disegnare un grafico qualitativo di f. (e) (Facoltativo) Calcolare i iti di f se significativi. Esercizio (7 punti) (a) Determinare l ordine di infinitesimo di log( + x + x ) x x + tan(x )perx!. (b) Calcolare per ogni >, =e <ilite log( + x + x ) x x + tan(x ) x! + x arctan(x. ) Esercizio 3 (8 punti) (a) Determinare una primitiva della funzione f(x) =(x ) sinh x. (b) Calcolare l integrale definito (c) Z 3 x sinh xdx. Discutere per ogni R la convergenza dell integrale generalizzato Z 3 x sinh x x dx. Esercizio 4 (6 punti) (a) Calcolare in (, ) la derivata direzionale lungo il versore v =( p /3, /3) della funzione x f(x, y) = arcsin. x + y (b) (Facoltativo) Calcolare il (x,y)!(,) f(x, y). Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la su cienza.

47 ANALISI MATEMATICA Commissione F. Albertini, P. Mannucci e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 7 gennaio 4 TEMA Esercizio (9 punti) Si consideri la funzione f(x) =xe 3+x x 3 (a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie ed il segno di f; (b) determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, eventuali punti in cui è possibile prolungare f per continuità; (c) studiare la continuità e la derivabilità di f, studiare la monotonia e determinare gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f (non è richiesto lo studio della derivata seconda di f). (d) Disegnare un grafico qualitativo di f. (e) (Facoltativo) Calcolare i iti di f se significativi. Esercizio (7 punti) (a) Determinare l ordine di infinitesimo di sin(x + x 3 ) x x 3 + arcsin(x 3 )perx!. (b) Calcolare per ogni >, =e <ilite sin(x + x 3 ) x x 3 + arcsin(x 3 ) x! + x 3 arctan(x. ) Esercizio 3 (8 punti) (a) Determinare una primitiva della funzione f(x) =(3 x) sinhx. (b) Calcolare l integrale definito (c) Z 5 3 x sinh xdx. Discutere per ogni R la convergenza dell integrale generalizzato Z 5 3 x sinh x x dx. Esercizio 4 (6 punti) (a) Calcolare in (, ) la derivata direzionale lungo il versore v =(/3, x f(x, y) = arctan. x +4y (b) (Facoltativo) Calcolare il (x,y)!(,) f(x, y). p 5/3) della funzione Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la su cienza.

48 ANALISI MATEMATICA Commissione F. Albertini, P. Mannucci e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 7 gennaio 4 TEMA Esercizio (9 punti) Si consideri la funzione f(x) =xe x+ x (a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie ed il segno di f; (b) determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, eventuali punti in cui è possibile prolungare f per continuità; (c) studiare la continuità e la derivabilità di f, studiare la monotonia e determinare gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f (non è richiesto lo studio della derivata seconda di f). (d) Disegnare un grafico qualitativo di f. (e) (Facoltativo) Calcolare i iti di f se significativi. Esercizio (7 punti) (a) Determinare l ordine di infinitesimo di tan(x + x 3 ) x x 3 +sinh(x 3 )perx!. (b) Calcolare per ogni >, =e <ilite tan(x + x 3 ) x x 3 +sinh(x 3 ) x! + x 3 log( + x. ) Esercizio 3 (8 punti) (a) Determinare una primitiva della funzione f(x) =(x 4) sinh x. (b) Calcolare l integrale definito (c) Z 6 x 4 sinh xdx. Discutere per ogni R la convergenza dell integrale generalizzato Z 6 x 4 sinh x x dx. Esercizio 4 (6 punti) (a) Calcolare in (, ) la derivata direzionale lungo il versore v =( p 5/3, /3) della funzione y f(x, y) = arcsin. x +5y (b) (Facoltativo) Calcolare il (x,y)!(,) f(x, y). Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la su cienza.