Attenzione: i programmi sono cambiati negli anni. Non tutti gli esercizi nella presente raccolta riguardano argomenti trattati ora.

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1 Si raccolgono qui temi d esame, esercizi e domande di teoria dati negli anni 3-5 nei corsi di Analisi Matematica I presso il DTG di Vicenza. Il materiale è stato reso disponibile dai docenti che hanno tenuto i corsi. Si inseriscono prima esercizi di autovalutazione. I temi d esame sono poi ordinati dai più recenti ai meno recenti. Ci sono alcune tracce di soluzione. Attenzione: i programmi sono cambiati negli anni. Non tutti gli esercizi nella presente raccolta riguardano argomenti trattati ora. Contenuto : Test autovalutazione 8 Pag. Test autovalutazione 7 Pag. 5 Test autovalutazione 6 Pag. 8 Esercizi d autovalutazione Pag. Temi d esame 6-7 Pag. 9 Temi d esame 5-6 Pag. 66 Temi d esame 4-5 Pag. 94 Temi d esame 3-4 Pag. 5 Temi d esame -3 Pag. 49 Temi d esame - Pag. 73 Temi d esame - Pag. 95 Temi d esame 9- Pag. 3 Temi d esame 8-9 Pag. 36 Temi d esame 7-8 Pag. 49 Temi d esame 6-7 Pag. 53 Temi d esame 5-6 Pag. 6 Temi d esame 4-5 Pag. 7 Temi d esame 3-4 Pag. 73

2 Università degli Studi di Padova Facoltà di Ingegneria Prof. F. Albertini, P. Mannucci, C. Marchi, M. Motta Prova di autovalutazione di Analisi Matematica, parte A Vicenza, 4 dicembre 8 ATTENZIONE: l Es. 4 è facoltativo (la valutazione complessiva dei primi 3 esercizi è 8/3) Tempo assegnato: ore e / per svolgere gli esercizi,,3; 3 ore per svolgere gli esercizi,, 3 e 4. Esercizio Si consideri la funzione f(x) = arccos e x (a) Determinare il dominio e il segno di f. (b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f. (c) Studiare la continuità e la derivabilità di f; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f. (d) Calcolare i iti di f, se significativi. (e) Studiare convessità e flessi di f. (e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio. Esercizio Si consideri la successione a n = n arctan ( n ) 4n arctan n + n log( + n) n cos n 3n

3 (a) Calcolare n + a n (b) Determinare, se esiste, l ordine di infinitesimo (o infinito) di a n. Esercizio 3 Calcolare per ogni valore reale del parametro α il ite x x x x + (log )x + x 3 sin ( ) x. sin(αx ) + (cos x ) + e 3/x Esercizio 4 (Facoltativo) Determinare il valore dei parametri a, b reali affinchè la funzione seguente: f(x) = (a) sia continua in IR; (b) sia di classe C in IR. { sin x+cos x e x / x x >, ae x 3bx x

4 Università degli Studi di Padova Facoltà di Ingegneria Prof. F. Albertini. P. Mannucci, C. Marchi e e M. Motta Prova di autovalutazione di Analisi Matematica, orale TEMA Vicenza, 4 dicembre 8. [] Dare le definizioni precise di massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore ed enunciarne le proprietà principali. [] Enunciare e dimostrare il Teorema di esistenza degli zeri. [3] Definizione di massimo e minimo relativo. Teorema di Fermat (enunciato e dimostrazione). TEMA [] Definizione di x f(x) = [] Dare la definizione di funzione derivabile in un punto. Enunciare e dimostrare il Teorema di derivazione della funzione composta. [3] Definizione di polinomio di Taylor ed enunciato e dimostrazione della Formula di Taylor con il resto di Peano.

5 Università degli Studi di Padova Facoltà di Ingegneria Prof. F. Albertini e M. Motta Prova di autovalutazione di Matematica A, parte A Esercizio Si consideri la funzione Vicenza, 5 novembre 7. f(x) = log ( e x 5e x + 6 ) x (a) Determinare il dominio di f, eventuali simmetrie e periodicità (non è richiesto lo studio del segno). (b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f. (c) Studiare la continuità e la derivabilità di f; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f. (d) Calcolare i iti di f, se significativi. (e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio. richiesto lo studio di f ) (Non è Esercizio Si consideri il seguente polinomio P (z) = z 3 + (4 + 3i)z + (i + 3)z + 9i (a) Verificare che z = è radice di P (z) (b) Determinarne le altre radici. (c) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l insieme A C di tutti i numeri complessi che soddisfano la seguente disequazione: P (z) z + Im(z) + 3i. (z + )(z + 3)

6 Esercizio 3 (a) Calcolare il ite x + 8 log(+x) x 6 x 7 sin (x) x 8 log 6 ( + x ). (b) Calcolare per ogni valore reale del parametro α il ite e 3x 6 tan(x) + αx x 6 arcsin(x + x 3 ) 6x 6x. 3 (c) Determinare il valore del parametro reale α per cui la funzione e 3x 6 tan(x)+αx per x < 6 arcsin(x+x f(x) = 3 ) 6x 6x 3 8 x 6 log(+x) x 7 per x > sin (x) x 8 log 6 (+ x) risulta prolungabile per continuità in x =.

7 Università degli Studi di Padova Facoltà di Ingegneria Prof. F. Albertini e M. Motta Prova di autovalutazione di Matematica A, parte B Vicenza, 5 novembre 7. TEMA [] Dare la definizione di funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva e di insieme immagine e insieme antimmagine di un dato insieme tramite f. Fornire qualche esempio. [] Dare la definizione di primitiva di una funzione f e di funzione integrale di f. Enunciare con precisione e dimostrare il fatto che tutte le primitive differiscono al più per una costante. [3] Enunciare e dimostrare il Teorema (o Criterio) di monotonia per le funzioni derivabili. TEMA [] Definizione di ite di successione (finito e infinito) e di successione indeterminata. Enunciare e dimostrare il Teorema sul ite di una successione infinitesima per una itata. [] Dare la definizione di ite finito di una funzione per x tendente ad x reale tramite le successioni e con gli intorni (ε, δ). Enunciare il Teorema di equivalenza tra le due definizioni (senza dimostrazione). [3] Enunciare e dimostrare il Teorema fondamentale del calcolo integrale.

8 Esercizi di autovalutazione di Matematica A, 5 novembre 6.. i) Risolvere la seguente equazione in C: ( z i)(z z + 6i 7)(z + ) =. ii) Determinare, al variare di α R, l insieme di definizione della seguente funzione di variabile complessa. Considerando f(z) = z α ( z i)(z z + 6i 7)(z + ). { ax + b se x f(x) = sin(x 4 x) x se x <, determinare i parametri reali a e b in modo che la funzione sia continua e derivabile nel proprio dominio. 3. Data la funzione f(x) = log x + arctg x, determinarne il dominio e l immagine; si assuma f definita su tali insiemi. i) Provare che la funzione f è invertibile. ii) Denotata con f la relativa funzione inversa, calcolare Df (π/4). 4. Trovare dominio, segno, asintoti, intervalli di monotonia della funzione f(x) = 4x + 3x x. 5. Calcolare il ite seguente, al variare di a R: e ax ax + x log(cos x) x + x 5 sin ( ) x + x x sin x.

9 Cognome Nome Matricola Prova di autovalutazione per l orale di Matematica A TEMA Vicenza, novembre 6. [] Massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore: definizioni e proprietà. Teorema di esistenza dell estremo superiore (con dim.) [] Definizione di massimo e minimo relativo. Teorema di Fermat (con dim.). [3] Enunciato e dimostrazione del Teorema sul ite di funzioni composte. TEMA [] Successioni monotone e loro proprietà (con dim.) [] Enunciare e dimostrare il Teorema di esistenza degli zeri. [3] Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.

10 Alcuni esercizi sui primi argomenti di Matematica A.. Siano date due funzioni g : A B e f : B C. Dimostrare che se f g è iniettiva, allora g è iniettiva. Dimostrare anche che se f g è iniettiva e g è suriettiva, allora f è iniettiva.. Si consideri la funzione f(x) = x + x. Dimostrare che f(x) è dispari, strettamente crescente e f(r) = (, ). Dimostrare che f : R (, ) è biiettiva. Trovare la funzione inversa di f. 3. Trovare, se esistono, massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore degli insiemi seguenti: { } n n + n N, { p p Z }, { arcsin { n + ( )n n N ( ) } n n N, + }, { } n n + n N, { n 4n+ n N }. 4. Trovare la funzione inversa di h(x) = sin(x + π) (x [ π, π ] ). 5. Trovare il dominio di g(x) = arccos x 3 /. Esercizi sui numeri complessi. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = ( i) 3.. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = ( + i)( i). 3. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = i. 4. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = + i Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = ( i) Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = ( + i 3). 7. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = + 4 i + i. 8. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = i( i) 5i. 9. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = ( i) 5 ( +i 3).. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = ( i) 5 /( + i 3).. Esprimere in forma algebrica il numero complesso { ( ( cos 3 π) + i sin ( 3 π))} 3 α = 3 ( cos ( π 6 ) + i sin ( π 6 )).. Esprimere in forma algebrica il numero complesso { ( ( ) ( ))} 3 ( ( π ) ( π )) α = cos 3 π + i sin 3 π 3 cos + i sin. 6 6

11 3. Esprimere in forma algebrica il numero complesso (/i) 4. ( 3. +i 4. Esprimere in forma algebrica il numero complesso i) 5. Risolvere l equazione complessa z 3 = Risolvere l equazione complessa iz 3 + =. 7. Risolvere l equazione complessa z = i Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa z = 3 i. 9. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa iz z + 3i =.. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa z ( + 4i)z + 4i =.. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa iz + z =.. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa z z + 6( i) =. 3. Determinare un numero complesso z tale che e z = i Esprimere in forma algebrica il numero complesso z = e log +i 3 4 π. 5. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa z 3 = ( + 3i) Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa z 4 = (3 + 4i) 4. Gli esercizi sui numeri complessi sono tratti da (e, in parte, svolti in): C. Zanella, Geometria Teoria ed Esercizi, Esculapio, Bologna,.

12 MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, (giustificare le risposte) Funzioni e numeri complessi Vicenza, ottobre 7.. Determinare dominio e segno della funzione f(x) = arccos( x + 6) π/3.. Determinare ( dominio, ) segno, eventuali simmetrie e periodicità della funzione f(x) = arcsin. cosh(sin x) 3. Determinare dominio e segno della funzione f(x) = arctan ( 4e x 9e x + e x). 4. Determinare dominio, segno, eventuali simmetrie e periodicità della funzione f(x) = log ( 4 sinh x 5 sinh x + ). 5. Determinare dominio, segno, eventuali simmetrie e periodicità della funzione f(x) = log(sin x) sin x. 6. Data la funzione f(x) = x x: a) determinare f(r), f([/, + [), f ([, + [), b) dire se f è iniettiva; c) dire se f è suriettiva; d) dire se f ha una restrizione biunivoca sull immagine e determinarla in caso affermativo. 7. Risolvere le equazioni: nell insieme dei numeri complessi. iz z i = iz z i = 8. Determinare e rappresentare nel piano di Gauss l insieme E = { z C : (Re(z) + 3) 3 ( z + ( + i) 5) = }. 9. Determinare e rappresentare nel piano di Gauss l insieme { z i } 5 E = z C : z + i >.. (a) Determinare al variare di a IR le soluzioni complesse di z + z z + i(z z) + z = i a. (b) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l insieme A = { z C : z (z) } + zz 8. (c) Determinare i valori di a IR per i quali risulta non vuota l intersezione tra l insieme delle soluzioni trovate nel punto (a) e l insieme A del punto (b).

13 . Determinare l insieme A dei numeri complessi z che soddisfano la seguente disequazione: z z + irez. Disegnare A nel piano complesso.

14 MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 3 (giustificare le risposte) Complessi e iti di successione. Determinare l insieme degli z complessi tali che z i z + + i z + + i z i Re (iz i z ) 4. Vicenza, ottobre 7.. Determinare l insieme degli z complessi tali che { log (log( z + 3 z z)) > z+ z = z i. z+i 3. Determinare l insieme degli z complessi tali che z 3 = z 3 i log( z ). 4. Calcolare i iti seguenti: ( ) n cos n + (a )n 3 n sin n + n sin(/n). ;. n n n log 4 n + n + (a ); 3. n n n n n! ( usare: a n n+ 4 n + a n a n = se il secondo); 4. (a > ); n n a n n n n + 5n n log ( ) + n + e n sin n + 3 n log n ( ) n 5. ; 6. n n 5 n 5 sin n + n n3/ n ( ) n.

15 MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 4 (giustificare le risposte) Limiti di successione e di funzione Vicenza, ottobre 7.. Calcolare: n n n e n.. Calcolare: per a = e per a = 3. n n a cos n 3n n sin(n 3 ) + sin( n) 3. Calcolare: n n n + ( n) n. n+ n 4. Calcolare: n ( + n ) (n/3 sin n+( )n ). 5. Calcolare: 6. Calcolare: 7. Calcolare: x π + sin x sin x. cos x ( 3x x 3x + x + ). x x sin x x sin(x). x

16 . Calcolare il ite seguente: Limiti di successione e di funzione (da appelli) n + 5n! 5n ( ) +n3 n 3 log + n n log( + n) n n3.. Per ogni valore di α IR, determinare il seguente ite: x sin(αx) + x 3 sin x x + cos( x) log(x + ). 3. Calcolare il ite della successione a n = + ( ) tan3 n e sin 3 ( n) ) e sin ( n) e n n 3+α ( per n + al variare del parametro α IR. 4. Calcolare il ite seguente al variare di a IR: ( ) /x x e /x + cos ( x ( x + + sinh ( ) x ) + a log ( ) x x ) ). /3 + sin ( x

17 MATEMATICA A, Cenni sulle soluzioni degli esercizi di autovalutazione bis, 4 (ATTENZIONE: in un compito non basta scrivere come nel seguito, vanno giustificati tutti i passaggi!) Limiti di successione e di funzione Vicenza, novembre 7.. n n n n log n n = e =. e n n. n n a cos n 3n n sin(n 3 ) + sin( n) = n n a n (3 sin(n 3 )) = n n a (3 sin(n 3 )). Poichè 3 sin(n 3 ) 4, e dunque /4 /(3 sin(n 3 )) /3, per a = il ite è e per a = 3 è (Svolto a lezione) n n n + ( n) n n+ n = ( + ) (n/3 sin n+( )n ) = e (n/3 sin n+( ) n ) log + n, n n n dove per le asintoticità n ( n /3 sin n + ( ) n) log ( + ) ( = n /3 sin n + ( ) n) n = n n Quindi, risulta e =. ( ) sin n ( )n + =. n n/ /3 n / 5. (Svolto a lezione) x π + sin x sin x cos x = (Svolto a lezione) ( 3x x 3x + x + ) = x sin x x sin(x) x + x x sin(x) = =. x + x

18 Limiti di successione e di funzione (da appelli). Usando le scale (e giustificando gli o-piccolo usati..) n + 5n! 5n ( ) +n3 n 3 log + n n log( + n) n n3 = n + 5n +n3 n n3 n 3 log ( ) = + n n + 5n =. n 3 n. (Svolto a lezione: si una Mac-Laurin) x sin(αx) + x 3 sin x x + cos( x) log(x + ). Risulta: + se α < log ; se α > log ; 5 log se α = log. 3. (Usando Mac-Laurin) + tan ( ) 3 n e sin 3 ( n) ) = n e sin ( n) e n n n 3+α ( 3 n 5 ( 3 ) = n nα, n 3+α n perchè ( ) ( tan 3 = n n + ( )) 3 3 n + o = 3 n 3 n + ( ) 3 n + o, 5 n 5 ( ) ( sin 3 = n n ( )) 3 6 n + o = 3 n 3 n ( ) 3 n + o, 5 n 5 ( ) ( ( )) sin = n n + o = 4 ( ) n n + o, n e n = + n + ( ) n + o, 4 n 4 ( ) e sin3 ( n) = + sin 3 + ( ) ( ( )) n sin6 + o sin 6 = + n n n ( ) 3 n + o. 5 n 5 ( ) ( ( )) e sin ( n) = + sin + o sin = + 4n ( ) n n n + o. Risulta: + se α > ; se α = ; se α <. 3. modificato Se si considera al posto dell es. 3 l esercizio seguente + tan ( ) 3 n e sin 3 ( n) 3 ) = ( n 5 ) = 9 n e sin ( n) e n n n n n+α, 3+α 3 n 4 n 3+α ( usando Mac-Laurin si ha quanto sopra, perchè ( ) ( tan 3 = n n + ( )) 3 3 n + o = 3 n 3 n + ( 3 n + o 5 ( ) ( sin 3 = n n ( )) 3 6 n + o = 3 n 3 n 3 n + o 5 n 5 ( n 5 ), ),

19 ( ) ( sin = n n ( )) 6 n + o = 3 n 3 e n = + n + ( n + o 4 ( ) e sin3 ( n) = + sin 3 + ( ) n sin6 + o n ( ) e sin ( n) = + sin + ( ) n sin4 n Risulta: se α > ; 9 ( sin 6 ( n ( ( )) + o sin 4 n se α = ; se α <. 4. (Si usa Mac-Laurin, dopo la sost. y = /x) L = x + ( ) /x x e /x + cos ( x ( + sinh ( ) x ) + a log ( ) x x + sin ( x ) ) /3 = y + n 3 n + o 4 ), n 4 ( ), n 4 )) = + n ( 3 n + o 5 n 5 = + n 3 n + 4 n + o 4 ). ( n 4 ). y y e y + cos (y) + ay log (y) ( ) /3 + sinh (y) + sin (y) dove y y = e y log y = + y log y + y log y + o(y log y) ( perchè y log y..), + sinh (y) = + sinh y 8 sinh y+ 6 sinh3 y+o(sinh 3 y) = + (y + 6 ) y3 8 y + 6 y3 +o(y 3 ) + sin (y) = + sin y 8 sin y+ 6 sin3 y+o(sin 3 y) = + (y 6 ) y3 8 y + 6 y3 +o(y 3 ). Quindi ( + a)y log y y + o(y) L = ( y + y3 + y3 + o(y 3 ) ) = ( + a)y log y y /3 y y e risulta se a > ; + se a < ; 3 6 se a =.

20 MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 5 (giustificare le risposte) Studi di funzione Vicenza, novembre 7.. Studiare la funzione f(x) = xe x (Dominio, segno, eventuali simmetrie, iti alla frontiera, eventuali asintoti, continuità e derivabilità, crescenza e decrescenza, eventuali minimi e massimi relativi ed assoluti, eventuali attacchi di f, abbozzo del grafico. Non è richiesto lo studio di f.). Studiare la funzione f(x) = x 4 e x x+ (Dominio, segno, eventuali simmetrie, iti alla frontiera, eventuali asintoti, continuità e derivabilità, crescenza e decrescenza, eventuali minimi e massimi relativi ed assoluti, eventuali attacchi di f, abbozzo del grafico. Non è richiesto lo studio di f.) 3. Si consideri la funzione f(x) = log ( x + + e x+ ) (a) Determinare il dominio di f, il segno di f ed eventuali simmetrie. (b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f. (c) Studiare la continuità e la derivabilità di f; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f. (d) Calcolare i iti di f, se significativi e disegnare un grafico qualitativo di f. (e) (facoltativo) Studiare concavità e convessità della funzione f. 4. Si consideri la funzione f(x) = (cos x)3 cos x (a) Determinare il dominio, il segno, eventuali simmetrie e periodicità di f. (b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti. (c) Studiare la continuità e la derivabilità di f; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f. (d) Calcolare i iti di f se significativi. (e) Disegnare un grafico qualitativo di f (in tutto IR). (Non è richiesto lo studio di f ) 5. Si consideri la funzione ( π ) f(x) = sin x e tan x (a) Determinare il dominio di f, il segno di f, eventuali simmetrie e periodicità.

21 (b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f. (c) Studiare la continuità e la derivabilità di f; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f. (d) Calcolare i iti di f, se significativi. (e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio. (Non è richiesto lo studio di f ) 6. Si consideri la funzione ( ) x + f(x) = arctan x + log(x ). (a) Determinare il dominio di f, il segno di f ed eventuali simmetrie. (b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f. (c) Studiare la continuità e la derivabilità di f; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f. (d) Calcolare i iti di f, se significativi. (e) Disegnare un grafico qualitativo di f. (Non è richiesto lo studio di f ) 7. Completare lo studio delle funzioni da. a 5. assegnate nel foglio di autovalutazione (dove erano richiesti solo lo studio del dominio e del segno).

22 MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 6 (giustificare le risposte) Esercizi sugli integrali e sugli integrali impropri. Per x > si consideri la funzione integrale F (x) = x + sin t t /3 dt. Vicenza, novembre 7. i) Dire se F si prolunga per continuità in x =. ii) Calcolare il x + F (x). iii) Calcolare F (). iii) Dire se F è invertibile in ], + [ e in caso affermativo calcolare D[F ]().. Data la funzione integrale g(x) = x sinh(t 3 ) 5 + t 4 dt i) determinare l ordine di infinitesimo di g per x + (significa: determinare α IR tale che g(x) x + = L, con L numero reale non nullo.) x α ii) Calcolare il x + g(x) e il x g(x). iii) Scrivere due termini non nulli dello sviluppo di Mac-Laurin di g. 3. Determinare i valori del parametro reale α per i quali converge il seguente integrale: x α e x dx. 4. Determinare i valori del parametro reale α per i quali converge il seguente integrale: + log α (x + ) x dx. Raccolta di esercizi da appelli (a) Dire per quali α IR esiste finito l integrale seguente: e giustificare la risposta. π/ x α sin(x ) + log(x α ) ( cos(x )) 7 8 α dx (b) Calcolare l integrale per α =. Determinare la primitiva F : IR IR della funzione f(x) = cos x x (+sin x) x+ x >, x +5x+

23 tale che F () =. 3 Determinare tutti gli α IR e β > per i quali è convergente l integrale generalizzato + sinh x α sin x x β x dx. 4 Data la funzione integrale F (x) = x [ log( + t ) arctan(t a ) ] dt, (a) calcolare al variare del parametro a > il ite seguente (b) Calcolare il valore F () per a =. F (x). x + x 3

24 MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 7 (giustificare le risposte) Esercizi sulle serie Vicenza, novembre 7.. Determinare il carattere della serie n= ( 3 n ) n 5/. n 3/. Dire per quali α converge la seguente serie n= n n + 5 n α n + 3 n. 3. Data la serie n= ( ) n n arctan 3, α n dire per quali α IR converge assolutamente; discutere la convergenza per α = /. 4. Dire se la serie converge assolutamente e se converge. + n= e /n (cosh n 3 ) sin n 4/3 n 4/3 5. Studiare la convergenza della serie n= ( ) 5n. n 6. Discutere la convergenza della serie [ ( 9n 3 n n)] sin n. n=

25 MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 8 (giustificare le risposte). Si consideri l equazione differenziale Esercizi sulle equazioni differenziali αy (t) + y (t) + α y(t) =. Vicenza, novembre 7. i) Determinare l integrale generale per ogni valore del parametro α. Dire per quali valori dei parametri le soluzioni sono tutte: i) periodiche; ii) itate in [, + [. iii) Determinare, se esistono, i valori di α per cui esiste almeno una soluzione dell equazione differenziale tale che e t 3 y(t) risulta ilitata in [, + [.. Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y (t) + y(t) sin(t) = sin t + cos t. 3. Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y (t) + ty(t) = te t. 4. Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y (t) + y (t) = t + sin t. 5. Determinare i valori del parametro reale α per i quali l equazione differenziale y (t) αy (t) = sin t ammette almeno una soluzione y tale che t y(t) =. Determinare l insieme di tali soluzioni. 6. Per quali valori del parametro λ > la soluzione y(t) di { y (t) = λy(t) y() =, y () = λ verifica la condizione y(π) =? Fra queste soluzioni ne esiste una strettamente positiva in ], π[? 7. Si consideri il problema di Cauchy y (t) + y (t) + y(t) = sin t y() = α, y () = β i) Trovare una soluzione nel caso α = β =. ii) Dire se esistono α, β reali tali da rendere la soluzione periodica.

26 8. Risolvere il problema di Cauchy y (t) = y() = +y(t) +t 9. Determinare i valori del parametro reale α per i quali l equazione differenziale y (t) + y (t) + α y(t) = te t ammette almeno una soluzione y(t) tale che t + y(t) = +. Determinare l insieme di tali soluzioni. Raccolta di esercizi da appelli Si consideri l equazione differenziale y (x) y (x) αy(x) = cos x e x/ sin x. (a) Determinare l integrale generale dell equazione differenziale α IR (Non si richiede di calcolare esplicitamente le costanti delle soluzioni particolari). (b) Determinare i valori di α IR per cui esiste una soluzione y(x) dell equazione differenziale tale che la funzione e x/ y(x) sia ilitata in [, + [. Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y (x) + x + x y (x) = x. 3 (a) Risolvere al variare del parametro a IR l equazione differenziale y (x) ay (x) + 4y(x) = e x. (b) Dire per quali valori di a IR si ha per ogni soluzione y(x) dell equazione data. y(x) = x 4 Per ogni α IR si consideri la seguente equazione differenziale: αy 3y = xe x. (a) Determinare la soluzione per ogni valore di α. (b) Dire per quali valori del parametro α esistono soluzioni y(x) tali che y(x) x + xe x IR.

27 ) Calcolare la soluzione del problema di Cauchy y = y 9 t sin(4t) 6 y() = ) Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy y = y() =. 6 x 4 x 4 + x y, 3)Data l equazione differenziale y = (y + )(y + ) tan x, a) se ne trovino tutte le soluzioni costanti, b) se ne trovi (esplicitamente) la soluzione che soddisfa la condizione iniziale y(π) =. 4) Trovare la soluzione del problema di Cauchy y = y 3y 4 3x + y() = 5 5)Calcolare l integrale generale della seguente equazione differenziale y + 4y + 4y = 4t. 6) Date l equazione differenziale () y + y + y = e x e la funzione ϕ(x) = ax e x (a IR), a) si determini a in modo che ϕ sia soluzione di (); b) si determini la soluzione che soddisfa le condizioni y() = e y () =. 7) Trovare l integrale generale di y y + 4y = sin( 3t).

28 8)Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy: y + x y = x sin x( + tan x) 3 sin x + 4 cos x y( π/4) = 9) Determinare α IR tale che la funzione ϕ(x) = α tan x sia soluzione dell equazione differenziale y + y y = tan 3 x + tan x + ; () Determinare poi la soluzione di () che soddisfa le condizioni y() =, y () =.

29 ANALISI MATEMATICA - Parte B Commissione F. Albertini, L. Caravenna e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 4 settembre 7 TEMA Esercizio [ punti] Si consideri la funzione f(x) = log cosh (x) sinh(x). (a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie e periodicità ed il segno di f; (b) determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, discutere la continuità e gli eventuali prolungamenti per continuità di f; (c) studiare la derivabilità, si calcoli la derivata e si studi la monotonia di f; si determinino gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto e si calcolino i iti significativi di f (non è richiesto lo studio della derivata seconda di f); (d) scrivere l equazione del piano tangente al grafico della funzione di due variabili nel punto (,, ). G(x, y) =yf(x)+ y Esercizio [ punti] Si consideri l integrale: Z + x log x x ( + x) dx. Discutere la convergenza al variare di IR.. Calcolarlo per =. Esercizio 3 [ punti] Si consideri al variare del parametro IR la serie X n= a n dove a n =( ) n +n n ( + ) n. (a) Determinare per quali valori di IR la serie converge assolutamente. (b) Determinare per quali valori di IR la serie converge semplicemente. Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

30 ANALISI MATEMATICA - Parte B Commissione F. Albertini, L. Caravenna e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 4 settembre 7 TEMA Esercizio [ punti] Si consideri la funzione f(x) = log cosh (x) sinh(x). (a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie e periodicità ed il segno di f; (b) determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, discutere la continuità e gli eventuali prolungamenti per continuità di f; (c) studiare la derivabilità, si calcoli la derivata e si studi la monotonia di f; si determinino gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto e si calcolino i iti significativi di f (non è richiesto lo studio della derivata seconda di f); (d) scrivere l equazione del piano tangente al grafico della funzione di due variabili nel punto (,, ). Traccia della soluzione. (a) Dominio: G(x, y) =yf(x)+ y cosh (x) sinh(x) =+sinh (x) sinh(x) >, che posto t =sinh(x) diventa t t + >, verificato 8t IR. Alternativa: cosh è sempre a valori e quindi cosh (x) cosh(x) > sinh(x) sempre. Quindi il dominio è tutto IR, dove f risulta continua e derivabile perché composizione di funzioni continue e derivabili. f non presenta simmetrie o periodicità evidenti. Segno: f(x) > se e solo se cosh (x) sinh(x) =sinh (x) sinh(x)+>, quindi, risolvendo via t =sinh(x) se e solo se sinh(x) < o sinh(x) >, cioè se e solo se x ], [ [ ]settsinh(), +[ = ], [ [ ] log( + p ), +[. (b) I iti alla frontiera del dominio sono: f(x) =+. x!± Asintoti obliqui a ±: dalla definizione delle funzioni iperboliche, si ha: e log cosh x (x) sinh(x) = log 4 + e x e x e x, quindi, raccogliendo e x (infinito di ordine maggiore) a + e e x (infinito di ordine maggiore) a, dalle proprietà del logaritmo si ottengono, rispettivamente, le relazioni: log cosh (x) sinh(x) = log(e x )+log 4 + e 4x + e x e x 4 + e 3x =x+log 4 + o(),

31 log cosh (x) sinh(x) = log(e x )+log 4 + e4x 4 + e 3x ex + ex = x+log 4 + o() (o() significa funzione infinitesima al ite considerato), per cui y =x log(4) è asintoto obliquo a + e y = x log(4) è asintoto obliquo a. Questo si verifica anche facilmente calcolando, ad esempio a +, e q = m = f(x) x!+ x = x + log 4 + o() x!+ x = (f(x) x) = log x!+ x!+ 4 + o() = log(4). (c) Come già osservato, f è derivabile in IR e vale f (x) = cosh(x)sinh(x) cosh(x) cosh(x) cosh = (x) sinh(x) cosh ( sinh(x) ). (x) sinh(x) Il primo fattore è sempre >, quindi f (x) > se e solo se sinh(x) > /, cioè p! 5 x>settsinh(/) = log + >. Quindi f è strettamente decrescente in ], settsinh(/)[ e strettamente crescente in ]settsinh(/), +[, per cui x = settsinh(/) è punto di minimo assoluto, dove vale f(settsinh(/)) = log + = log(3/4) <. 4 La funzione non ha massimi relativi ed è superiormente ilitata. Il grafico è tracciato in Fig.. 5,5 7,5 5,5 7,5 5, Figure : Grafico qualitativo di f (d) La funzione è differenziabile in IR, perché composizione di funzioni C. Quindi l equazione del piano tangente al suo grafico in (,, ) è z = G(, ) + G x (, )x + G y (, )y =+x log()y = log()y.

32 Esercizio [ punti] Si consideri l integrale: Z + (a) Discutere la convergenza al variare di IR. (b) Calcolarlo per =. x log x x ( + x) dx Traccia della soluzione. Ricordiamo che Z + x log x x ( + x) dx = Z x log x x ( + x) dx + Z + x log x x ( + x) dx. (a) L integrale è generalizzato a + e in +, perché la funzione integranda f(x) = x log x è x (+x) definita, continua in ], +[ ma diverge a +. È positiva in (, +), negativa in (, ). Studiamo l integrabilità a +. Siccome vale la relazione di asintoticità ( + x) = x +x + x si ha: f(x) x log x x x = x + log (x) per x! +. Per confronto asintotico con g(x) = quindi f(x) risulta integrabile a + se e solo se x a log b (x) +>, cioè >. Studiamo ora l integrabilità in +. Siccome ( + x)! per x! si ha: f(x) x log x x = x log (x) per x! +. Per confronto asintotico con g(x) = quindi f(x) risulta integrabile a x a log b (x) + se e solo se <, cioè <. Conclusione: l integrale generalizzato assegnato converge se (, ). (b) Per =, calcoliamo dapprima l integrale indefinito, per parti: Z Z log x log x dx = ( + x) +x + dx x( + x) = log x Z +x + x +x dx = log x +x +log x +x +c, dove usiamo x( + x) = A x + B (A + B)x + A = +x x( + x) che vale per A + B =ea =, da cui si ha la scomposizione x(+x) = x L integrale richiesto è +x. = b!+ " Z b Z f(x) dx + f(x) dx b!+ a! + a log b b # " +b + log log +b + log a! + + log a +a log a (+a) log a +(+a) log( + a) = [ + ] + = a! + +a a log a a! + # a log +a + =. 3

33 Esercizio 3 [ punti] Si consideri al variare del parametro IR la serie X ( ) n +n n ( + ) n. n= (a) Determinare per quali valori di IR la serie converge assolutamente. (b) Determinare per quali valori di IR la serie converge semplicemente. (a) Poniamo a n = +n ( + ) n > 8n IN: siccome l esponente della potenza é pari, lo n studio della convergenza assoluta coincide con lo studio della convergenza di P n= a n. Per = si ha a n =per ogni n, quindi la serie converge. Per 6=, si può usare il criterio del rapporto: a n+ ( + n)( + ) n+ n = n!+ a n n!+ (n + ) =( + ) ( + n)( + ) n Alternativamente si poteva usare il criterio della radice, r r n +n n!+ n ( + ) n n +n = n!+ n ( + ) =( + ) Quindi la serie converge assolutamente quando ( + ) <, cioè < <. Se invece ( + ) >, cioè < o >, la serie non converge, perché a n tende a infinito e quindi è violata la condizione necessaria per la convergenza. Per = e =, si ha a n = +n n n serie armonica di esponente, per cui non converge assolutamente. (b) Per studiare la convergenza della serie alternata P n= ( )n a n, osserviamo che converge per < <in quanto la convergenza assolta implica la convergenza, e non converge per < o >, perché dal punto (a) segue che in questo caso a n 6=. Per = e n!+ =, siccome la serie è a termini di segno alterno possiamo usare il Criterio di Leibniz per verificare che converge: a +n n = n!+ n!+ n =, e a n = +n n = + n n è decrescente perché somma di funzioni decrescenti. 4

34 ANALISI MATEMATICA - Parte B Commissione F. Albertini, L. Caravenna e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 4 luglio 7 TEMA Esercizio [ punti] Si consideri la funzione f(x) = p x e x. (a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie ed il segno di f; (b) determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, discutere la continuità e gli eventuali prolungamenti per continuità di f; (c) studiare la derivabilità, si calcoli la derivata e si studi la monotonia di f; si determinino gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto e si calcolino i iti significativi di f (non è richiesto lo studio della derivata seconda di f). (d) Disegnare un grafico qualitativo di f. Esercizio [ punti] Si consideri la seguente funzione: g(x) =x 5 sin x 4 arctan x x + log(x 4 + ). (a) Calcolare: (b) Calcolare: x!+ g(x) x e x + cos(x 3 ) e y g(x). (x,y)! 3x Esercizio 3 [ punti] Per ogni IR, calcolare il seguente ite: sinh p 4n n!+ n + n. Studiare il carattere della seguente serie: +X n= (cos(3 n ) + 3) sinh p 4n n + n. Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.

35 ANALISI MATEMATICA - Parte B Commissione F. Albertini, L. Caravenna e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 4 luglio 7 TEMA Esercizio [ punti] Si consideri la funzione f(x) = p x e x. (a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie ed il segno di f; (b) determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, discutere la continuità e gli eventuali prolungamenti per continuità di f; (c) studiare la derivabilità, si calcoli la derivata e si studi la monotonia di f; si determinino gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto e si calcolino i iti significativi di f (non è richiesto lo studio della derivata seconda di f). (d) Disegnare un grafico qualitativo di f. Traccia della soluzione (a) La funzione è definita se e solo se x e x 6=, quindi si ha x apple e x 6=. Il dominio D è quindi l intervallo D =[, ). La funzione non è simmetrica. La funzione essendo prodotto di una radice e un esponenziale è maggiore o uguale a zero. Possiamo anche osservare che siccome f( ) =, x = è punto di minimo assoluto per f. Possiamo anche osservare che la funzione è prodotto di due fatto riminori o uguali a, considerato che l argomento dell esponenziale è negativo nel dominio di definizione. (b) La funzione è continua in D, poichè composta da funzioni continue. L unico ite da calcolare è quello per x che tende a da sinistra, si ha: x! p x e x =, infatti entrambi i termini tendono a zero, la radice poichè l argomento va a zero e l esponenziale poichè se x! allora x!. La funzione può quindi essere prolungata per continuità in x =, con f() =, e anche x =sarà punto di minimo assoluto per il prolungamento per continuità di f. La funzione non presenta asintoti verticali, e, visto il dominio itato, nemmeno asintoti orizzontali od obliqui. (c) Calcoliamo f per x (, ) perché in x =non si applicano le regole di calcolo a causa

36 della non derivabilità della radice nell origine. Per <x<si ha: f (x) = x p e p x + x e x x (x ), p! = e x x x p + x ( x) = e x p x( x) ( x)( + x) x ( x) = e x x p x x = e x ( x) x ( + x) ( x) 3 x x Quindi f (x) p se e solo se p x x. Risolvendo la disequazione p si ottiene che f (x) > per x (, ), f ( ) = e f (x) < per x (, ). p Quindi il punto x = è punto di massimo assoluto per f. Studiamo ora la derivabilità in x = ±. Derivabilità in x =. f (x) = e x! + 3 x! + ( + x) quindi la funzione non è derivabile in x =. Derivabilità in x =del prolungamento per continuità di f. =+, f (x) = x! e x x! ( x) 3 = Infatti, ponendo y = x, si ha che se x! allora y! + e il ite diventa y 3 e y y 3 = y!+ y!+ e y =. Quindi la funzione è derivabile in x =con derivata nulla. (d) Per il grafico qualitativo di f, vedere la figura. Figure : Grafico qualitativo di f.

37 Esercizio [ punti] Si consideri la seguente funzione: g(x) =x 5 sin x 4 arctan x x + log(x 4 + ). (a) Calcolare: (b) Calcolare: x!+ g(x) x e x + cos(x 3 ) e y g(x). (x,y)! 3x Traccia della soluzione (a) Consideriamo prima la funzione g(x), per x! + si ha che /x! + e quindi: sin = + o, arctan x x x x = x + o x, da cui otteniamo, sempre per x! + g(x) =x 5 + o x x x 4 x + o x + log(x 4 + ), g(x) = x 4 + o(x 4 ) x + o(x ) + log(x 4 + ) = x 4 + o(x 4 ), infatti per x! + si ha x = o(x 4 ) e anche log(x 4 + ) = o(x 4 ). Studiamo ora il denominatore, si ha, per x! +: x e x x, cos(x 3 )=o(x ), x = o(x ), quindi Da cui ricaviamo: x e x + cos(x 3 ) 3x = x + o(x ). x!+ g(x) x e x + cos(x 3 ) 3x = x 4 + o(x 4 ) x!+ x + o(x ) =+. (b) Calcoliamo il ite in due variabili. Se poniamo (x, y) =(x, ), si ha: x!+ e g(x) = g(x) =+, x!+ infatti g(x) = x 4 + o(x 4 ) (vedi punto (a)). Se poniamo (x, y) =(,y), abbiamo: e y g() = g() e y = y!+ y!+ log =. 4 Quindi il ite nelle due variabili non esiste perché è diverso lungo le rette x =e y =.

38 Esercizio 3 [ punti] Per ogni IR, calcolare il seguente ite: sinh p 4n n!+ n + n. Studiare il carattere della seguente serie: +X n= (cos(3 n ) + 3) sinh p 4n n + n. Traccia della soluzione: Calcolo del Limite: Per prima cosa trattiamo il fattore p 4n + n, razionalizzando si ha: p 4n + n = 4n + 4n p 4n ++n = q n + + n Quindi, per n! +,: p 4n + n n, per cui questo termine tende a zero. Trattiamo ora il fattore sinh n : quando >allora n! e possiamo usare gli sviluppi asintotici, altrimenti usiamo semplicemente la definizione di seno iperbolico. 8 >< n + o n > ) n convergente a sinh n = sinh() = ) costante >: e n e n < ) en divergente a +, siccome n!. Distinguiamo quindi i tre casi >, =e <. Caso >: In questo caso entrambi i termini del prodotto sono infinitesimi per n! +, quindi il ite è zero. Caso =: In questo caso il primo termine è costante, sinh(), il secondo infinitesimo, quindi il ite è di nuovo zero. Caso <: In questo caso il primo termine tende a + per n! +, quindi si ha una forma indeterminata. Tuttavia poichè sinh(x) = ex +e x, abbiamo che il sinh(n ) (si noti che in questo caso >) tende a infinito come un esponenziale, mentre il secondo fattore abbiamo visto essere asintotico a /n, quindi il ite del prodotto è +. Carattere della serie: p4n Sia a n = (cos(3 n ) + 3) sinh n + n, termine generale della serie. Per prima cosa osserviamo che a n >, inoltre, poichè apple cos(3 n ) apple ) apple cos(3 n )+3apple 4,

39 abbiamo p p sinh 4n n + n apple a n apple 4sinh 4n n + n. Quindi, per il teorema del confronto, il carattere della serie data è uguale a quello della serie +X n= Distinguiamo i tre casi >, =e <. Caso >: In questo caso abbiamo: quindi p sinh 4n n + n. sinh n n p sinh 4n n + n n n = n +. Poichè ( + ) è maggiore di, la serie è convergente. Caso =: In questo caso p sinh () 4n + n sinh () n, quindi la serie si comporta come la serie armonica, quindi è divergente. Caso <: In questo caso, il termine generale tende +, quindi non è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza e di nuovo la serie è divergente.

40 ANALISI MATEMATICA - Parte B Commissione F. Albertini, L. Caravenna e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 4 luglio 7 TEMA Esercizio [ punti] Si consideri la funzione f(x) = x e x. (a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie ed il segno di f; (b) determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, discutere la continuità e gli eventuali prolungamenti per continuità di f; (c) studiare la derivabilità, si calcoli la derivata e si studi la monotonia di f; si determinino gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto e si calcolino i iti significativi di f (non è richiesto lo studio della derivata seconda di f). (d) Disegnare un grafico qualitativo di f. Esercizio [ punti] Si consideri la seguente funzione: ( π ) ( ) g(x) = x 5 sin x 4 arctan x x + log(x 4 + ). (a) Calcolare: (b) Calcolare: x + g(x) x e x + cos(x 3 ) 3x (x,y) e y g(x). Esercizio 3 [ punti] Per ogni α IR, calcolare il seguente ite: ( ) ( sinh 4n n + n α + n). Studiare il carattere della seguente serie: + n= (cos(3 n ) + 3) sinh ( ) ( 4n n α + n). Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.

41 ANALISI MATEMATICA - Parte B Commissione F. Albertini, L. Caravenna e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 6 febbraio 7 TEMA Esercizio [ punti] Si consideri la funzione 3 f(x) = sin(x) ecos(x) (a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie, periodicità ed il segno di f. (b) Determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, discutere la continuità e gli eventuali prolungamenti per continuità di f. (c) Studiare la derivabilità. Si studi la monotonia di f. Si determinino gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto. Non è richiesto lo studio della derivata seconda di f. (d) Disegnare un grafico qualitativo di f (in IR). (e) Calcolare il gradiente nel punto ( π 4, ) della funzione F (x, y) = f(x) + y e scrivere l equazione del piano tangente al grafico di F nel punto ( π 4,, F ( π 4, )). Esercizio [ punti] Si consideri la serie + ( ) a + 6 n ( ) arcsin a nlog n n= a. (a) Discutere la convergenza assoluta della serie al variare del parametro a. (b) Discutere la convergenza semplice della serie al variare del parametro a. Esercizio 3 [ punti] Data la funzione 3(e x ) 3 x + x 3 g(x) = 3 + x 3e x + x 4 cos ( ) 6, x (a) calcolare g(x); x (b) calcolare il ite x x x + è prolungabile per continuità in x =. e determinare per quali a IR la funzione a x x x > f(x) = g(x) x < Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.

42 ANALISI MATEMATICA - Parte B Commissione F. Albertini, L. Caravenna e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 6 febbraio 7 TEMA Esercizio [ punti] Si consideri la funzione f(x) = 3 ( x ) sin e cos ( ) x (a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie, periodicità ed il segno di f. (b) Determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, discutere la continuità e gli eventuali prolungamenti per continuità di f. (c) Studiare la derivabilità. Si studi la monotonia di f. Si determinino gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto. Non è richiesto lo studio della derivata seconda di f. (d) Disegnare un grafico qualitativo di f (in IR). (e) Calcolare il gradiente nel punto (π, ) della funzione F (x, y) = f(x) + y e scrivere l equazione del piano tangente al grafico di F nel punto (π,, F (π, )). Esercizio [ punti] Si consideri la serie + ( ) a n ( ) 5 tan a + 5 nlog n n= a 5. (a) Discutere la convergenza assoluta della serie al variare del parametro a. (b) Discutere la convergenza semplice della serie al variare del parametro a. Esercizio 3 [ punti] Data la funzione (a) calcolare x g(x); (b) calcolare il ite x + x x5 è prolungabile per continuità in x =. g(x) = x3 sin ( x) + x e x + (e x ) + x x, e determinare per quali a IR la funzione a x x5 x > f(x) = g(x) x < Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.

43 ANALISI MATEMATICA - Parte B Commissione F. Albertini, L. Caravenna e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 6 febbraio 7 TEMA3 Esercizio [ punti] Si consideri la funzione f(x) = ( x ) sin e cos ( ) x (a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie, periodicità ed il segno di f. (b) Determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, discutere la continuità e gli eventuali prolungamenti per continuità di f. (c) Studiare la derivabilità. Si studi la monotonia di f. Si determinino gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto. Non è richiesto lo studio della derivata seconda di f. (d) Disegnare un grafico qualitativo di f (in IR). (e) Calcolare il gradiente nel punto (π, ) della funzione F (x, y) = f(x) + y e scrivere l equazione del piano tangente al grafico di F nel punto (π,, F (π, )). Esercizio [ punti] Si consideri la serie + ( ) a + 4 n ( ) 4 sin a 8 nlog n n= a 8. (a) Discutere la convergenza assoluta della serie al variare del parametro a. (b) Discutere la convergenza semplice della serie al variare del parametro a. Esercizio 3 [ punti] Data la funzione g(x) = 3 3ex + x + x 4 cos ( ) 6 x x 3(e x ) x, (a) calcolare x g(x); (b) calcolare il ite x + x x è prolungabile per continuità in x =. e determinare per quali a IR la funzione a x x x > f(x) = g(x) x < Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.

44 ANALISI MATEMATICA - Parte B Commissione F. Albertini, L. Caravenna e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 6 febbraio 7 TEMA4 Esercizio [ punti] Si consideri la funzione f(x) = sin(x) ecos(x) (a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie, periodicità ed il segno di f. (b) Determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, discutere la continuità e gli eventuali prolungamenti per continuità di f. (c) Studiare la derivabilità. Si studi la monotonia di f. Si determinino gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto. Non è richiesto lo studio della derivata seconda di f. (d) Disegnare un grafico qualitativo di f (in IR). (e) Calcolare il gradiente nel punto ( π 4, ) della funzione F (x, y) = f(x) + y e scrivere l equazione del piano tangente al grafico di F nel punto ( π 4,, F ( π 4, )). Esercizio [ punti] Si consideri la serie + n= ( ) a 5 n ( ) 3 arctan a + 3 nlog n a 3. (a) Discutere la convergenza assoluta della serie al variare del parametro a. (b) Discutere la convergenza semplice della serie al variare del parametro a. Esercizio 3 [ punti] Data la funzione (a) calcolare x g(x); (b) calcolare il ite x + x x è prolungabile per continuità in x =. g(x) = x + (ex ) x x 3 sin ( ) x + x e x +, e determinare per quali a IR la funzione a x x x > f(x) = g(x) x < Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.

45 ANALISI MATEMATICA - Parte B, soluzioni Commissione F. Albertini, L. Caravenna e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 6 febbraio 7 TEMA Esercizio [ punti] Si consideri la funzione 3 f(x) = sin(x) ecos(x) (a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie, periodicità ed il segno di f. (b) Determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, discutere la continuità e gli eventuali prolungamenti per continuità di f. (c) Studiare la derivabilità. Si studi la monotonia di f. Si determinino gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto. Non è richiesto lo studio della derivata seconda di f. (d) Disegnare un grafico qualitativo di f (in IR). (e) Calcolare il gradiente nel punto ( π 4, ) della funzione F (x, y) = f(x) + y e scrivere l equazione del piano tangente al grafico di F nel punto ( π 4,, F ( π 4, )). Traccia di svolgimento (a) La funzione è definita nei punti tali che cos(x), quindi x kπ con k Z. La funzione è pari, ed e è periodica di periodo T = π, infatti sin((x + π)) = sin(x + π) = sin(x), analogo per il coseno. La funzione è sempre maggiore o uguale a zero. Essendo periodica di periodo π e pari la studiamo nell intervallo [, π ], poi il grafico si estende per periodicità e simmetria. (b) L unico ite da calcolare è quello a. Abbiamo: sin(x) e cos(x) =, x in quanto entrambi i fattori tendono a zero, nel secondo l esponente della funzione esponenziale diverge a. Concludiamo che la funzione si può estendere per continuità nei punti kπ con f(kπ) =. L estensione risulta continua in ogni punto dell asse reale. La funzione non ha asintoti verticali ed essendo una funzione periodica non ha nemmeno asintoti orizzontali o obliqui. Dato che la funzione è, possiamo già dire che i punti del tipo kπ, in cui f vale sono punti di minimo assoluti. 3

46 (c) Consideriamo l estensione continua di f nell intervallo [, π ], dove il modulo si può togliere, visto che il seno è, e si ha: 3 f(x) = sin(x) ecos(x) se < x π e f() =. Quindi per x (, π ), si ha: 3 3 f (x) = cos(x)ecos(x) + sin(x)e cos(x) 3 ( sin(x)) = (cos(x) ) 3 = ecos(x) 3 = ecos(x) ( cos(x) + ) 3(sin (x)) (cos(x) ) ( cos(x) + 3( cos (x)) (cos(x) ) 3 ( ) = ecos(x) cos(x) 3(cos(x) + ) (cos(x) ). (cos(x) ) 3 f (x) = cos(x) e cos(x) (cos (x) cos(x) 3 3 cos(x)), quindi f > se e solo se cos (x) 4 cos(x) 3 <. Poniamo z = cos(x). Il polinomio z 4z 3 ha due radici ± 7, la maggiore è maggiore di uno e 7 >, quindi cos (x) 4 cos(x) 3 < quando cos(x) > 7. Chiamando α = arccos( 7), avremo cos(x) > 7 se x α, quindi f > per x (, α ). Quindi la funzione presenta dei massimi assoluti nei punti α + kπ e α + kπ. Inoltre abbiamo che i punti π + kπ sono punti angolosi siccome ) f (x) = e 3, x π e quindi per periodicità e parità avremo x π + f (x) = x ( π f (x) = e 3 )+. Mentre si ha: 3 f 3 (x) = 6 x + x + cos(x) e cos(x), ponendo y = 3 cos(x) se x +, allora y +, f (x) = 6 x + y + ye y =. Quindi anche x f (x) = per parità, per cui la funzione è derivabile nei punti kπ. (d) Si riporta in figura un grafico qualitativo di f tra π e π.