ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA Commissione P. Mannucci, A. Sommariva, a.a Corsi di laurea in Scienze Statistiche

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1 ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA Commissione P. Mannucci, A. Sommariva, a.a. 4- Corsi di laurea in Scienze Statistiche 4 febbraio TEMA Esercizio 8 punti) Si consideri la funzione ) e f) = arctan e a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie o periodicità ed il segno di f; b) determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, eventuali punti in cui è possibile prolungare f per continuità; c) studiare la continuità e la derivabilità di f, studiare la monotonia e determinare gli eventuali punti di estremo massimo e minimo) relativo ed assoluto di f; d) disegnare un grafico qualitativo di f. FACOLTATIVO: i) Calcolare i iti di f se significativi; ii) Calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di concavità e convessità con eventuali punti di flesso. a) L unico punto che non appartiene al dominio è dove si annulla e, cioè =. Quindi il dominio è R\{}. Non ci sono simmetrie o periodicità. Poichè arctant) se e solo se t, deduciamo che f) se e solo se e quindi. e e b) Gli estremi del dominio sono ± e =. Da ) e + e = arctan) = π/4, ) e e = arctan) =, deduciamo che ci sono a ± due asintoti orizzontali. Osserviamo inoltre che ) e e = π/, ) e + e = π/. La funzione non si può quindi prolungare per continuità in poichè il ite sinistro e destro non coincidono. c) La funzione dove è definita è continua e derivabile. Poichè D e e = e e ) e e e e ) = e ) < la funzione e e è decrescente in, ),, + ) e ivi derivabile). Siccome la funzione arctan è crescente e derivabile in R\{}, ragionando sulle composte di funzioni monotone, deduciamo che f è decrescente in, ),, + ) e ivi derivabile). Il conto esplicito della derivata di f è: e D arctan e = e e ) e e e + e e ) e ) = e ) <. + e

2 Figura : Grafico di f in [, ]. Inoltre poichè arctan è crescente, la funzione f ha massimo o minimo dove ha massimo o minimo il suo argomento e e. Poichè e e è sempre decrescente nel dominio e è non definita in in cui ci sta un salto e f non è definita), non ha massimi e minimi. La derivata seconda di f è f e e ) = ) e ) + e quindi si annulla quando = log. La funzione quindi è convessa per ogni > e cambia concavità in = log, passando da concava a convessa. d) La funzione ha il grafico in figura. Esercizio 8 punti) a) Calcolare cos ) α + 4 per ogni valore del parametro α > reale. b) Determinare i valori del parametro α > reale affinché la funzione f) sia continua in R: { cos )+ 4 f) = α + >, 4 log + ) + 3, a) Da cost) = t + ot3 ) in un intorno di, deduciamo che posto t = il numeratore va come 4 + o6 )) Se α, 4), allora il denominatore va come α e quindi il ite vale α =. Se α = 4 allora il denominatore è 4 e quindi il ite vale = 3/4. Se α > 4 allora il denominatore va come 4 e quindi il ite vale = 3/.

3 b) Dal risultato precedente, ed essendo f) = f) = + deduciamo che la funzione è continua per α, 4). Esercizio 3 8 punti) Calcolare l integrale definito e e + 4e + 9 d. FACOLTATIVO: Studiare al variare di α > reale, la convergenza dell integrale + sin α ) +4+9 d. Calcoliamo per prima cosa l integrale indefinito. Posto t = e, da dt = e d abbiamo che e I := e + 4e + 9 d = t + 4t + 9 dt Poiche l equazione t + 4t + 9 = non ha soluzioni in R, procediamo con la tecnica del completamento dei quadrati. Osserviamo che t + 4t + 9 = t + 4t = t + ) + e quindi, per s = t + )/, ds = dt/ I = t + 4t + 9 dt = t + ) + dt = = arctans) + c = Per il teorema fondamentale del calcolo e e + 4e + 9 d = Facoltativo: la funzione sin α >. arctane +)/ ) ) α +4+9 α+ arctant + )/ ) + c = Esercizio 4 8 punti) Studiare la convergenza e la convergenza assoluta della serie t + )/ ) + dt = arctane +)/ ) = s + ) ds arctane + )/ ) + c ) arctane+)/ ) arctan3/ ) ). per +, quindi f) è integrabile se e solo se α + > cioè per ogni n= ) n tan La serie è assolutamente convergente se converge Poichè n +4 n e quindi la serie diverge. n= tan n + 4. n + 4. è infinitesimo e tan), il comportamento della serie è uguale a quello di n= Poichè l argomento a n = tan n è positivo, decrescente e infinitesimo, la serie converge per il Criterio +4 di Leibniz. Per dimostrare che la successione è decrescente si può dire che è composizione di una funzione crescente per una decrescente.altrimenti si può studiare la monotonia della funzione f) = tan +4 per grandi, studiandone il segno della derivata prima. n Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.

4 ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA Commissione P. Mannucci, A. Sommariva, a.a. 4- Corsi di laurea in Scienze Statistiche 4 febbraio TEMA Esercizio 8 punti) Si consideri la funzione ) + e f) = arctan e a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie o periodicità ed il segno di f; b) determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, eventuali punti in cui è possibile prolungare f per continuità; c) studiare la continuità e la derivabilità di f, studiare la monotonia e determinare gli eventuali punti di estremo massimo e minimo) relativo ed assoluto di f; e) disegnare un grafico qualitativo di f. FACOLTATIVO: i) Calcolare i iti di f se significativi; ii) Calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di concavità e convessità con eventuali punti di flesso. a) L unico punto che non appartiene al dominio è dove si annulla e, cioè =. Quindi il dominio è R\{}. Non ci sono simmetrie o periodictà. Poichè arctant) se e solo se t, deduciamo che f) se e solo se +e e } e quindi. b) Gli estremi del dominio sono ± e =. Da ) + e + e = arctan) = π/4, ) + e e = arctan ).7, deduciamo che ci sono a ± due asintoti orizzontali. Osserviamo inoltre che ) + e e = π/, ) + e + e = π/. La funzione non si può quindi prolungare per continuità in poichè il ite sinistro e destro non coincidono. c) La funzione dove è definita è continua e derivabile. Poichè la funzione +e e Il conto esplicito della derivata di f è: D + e e = e e ) + e ) e e ) = 3e e ) < è decrescente in, ),, + ) e ivi derivabile). D arctan + e e = + +e e ) 3 e = e + e + 3e ) e ) 3e = e ) + + e ) ) che risulta negativa per ogni punto del dominio e quindi f è decrescente in, ),, + ) e ivi derivabile). 3)

5 Figura : Grafico di f in [, ]. Alternativamente, poichè la funzione arctan è crescente e derivabile in R\{}, deduciamo, per la composizione di funzioni monotone, che f è decrescente in, ),, + ) e ivi derivabile). Inoltre poichè arctan è crescente, la funzione f ha massimo o minimo dove ha massimo o minimo il suo argomento e + e. Poichè e + e è sempre decrescente nel dominio non ha massimi e minimi. Con facili conti, la derivata seconda di f è f ) = e e > se e solo se > log/).48. 3e e ) e + e + ) 4) La funzione quindi cambia concavità in = log/), passando da concava a convessa. d) La funzione ha il grafico in figura. Esercizio 8 punti) a) Calcolare sin ) α + 6 per ogni valore del parametro α > reale. b) Determinare i valori del parametro α > reale affinché la funzione f) sia continua in R: { sin )+ 6 f) = α + >, 6 log + ) +, a) Da sint) = t t3 6 + ot3 ) in un intorno di, deduciamo che posto t = il numeratore va come o6 )) Se α, 6), allora il denominatore va come α e quindi il ite vale α =. Se α = 6 allora il denominatore è 6 e quindi il ite vale = 7/. Se α > 6 allora il denominatore va come 6 e quindi il ite vale = 7/6.

6 b) Dal risultato precedente, ed essendo f) = f) = + deduciamo che la funzione è continua per α, 6). Esercizio 3 8 punti) Calcolare l integrale definito log + 4 log + ) d. FACOLTATIVO: Studiare al variare di α > reale, la convergenza dell integrale + sin α ) +4+ d. Calcoliamo per prima cosa l integrale indefinito. Posto t = log), da dt = d abbiamo che I := log + 4 log + ) d = t + 4t + dt Poiche l equazione t + 4t + = non ha soluzioni in R, procediamo con la tecnica del completamento dei quadrati. Osserviamo che t + 4t + = t + 4t = t + ) + e quindi, per s = t + ), ds = dt I = t + 4t + 9 dt = t + ) + dt = s + ) ds = arctans) + c = arctant + )) + c = arctanlog) + )) + c. ) Per il teorema fondamentale del calcolo log d = arctanlog) + ) arctanlog) + ) = arctanlog) + ) arctan). + 4 log + ) Esercizio 4 8 punti) Studiare la convergenza e la convergenza assoluta della serie ) n log + ). n + 3 Poichè l argomento a n = log Criterio di Leibniz. n= La serie è assolutamente convergente se converge log + ) = log n + 3 e quindi se converge Poichè n+3 n n= e quindi la serie diverge. ) + n+3 è positivo, decrescente e infinitesimo, la serie converge per il n= + ) log + ). n + 3 n= log + ) n + 3 è infinitesimo e log + ), il comportamento della serie è uguale a quello di n= n = n n= Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.

7 ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA Commissione P. Mannucci, A. Sommariva, a.a. 4- Corsi di laurea in Scienze Statistiche 4 febbraio TEMA 3 Esercizio 8 punti) Si consideri la funzione f) = arctan e ) + e a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie o periodicità ed il segno di f; b) determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, eventuali punti in cui è possibile prolungare f per continuità; c) studiare la continuità e la derivabilità di f, studiare la monotonia e determinare gli eventuali punti di estremo massimo e minimo) relativo ed assoluto di f; d) disegnare un grafico qualitativo di f. FACOLTATIVO: i) Calcolare i iti di f se significativi; ii) Calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di concavità e convessità con eventuali punti di flesso. a) L unico punto che non appartiene al dominio è dove si annulla e, cioè =. Quindi il dominio è R\{}. Non ci sono simmetrie o periodictà. Poichè arctant) se e solo se t, deduciamo che f) se e solo se e + e e quindi. b) Gli estremi del dominio sono ± e =. Da e ) + + e = arctan) = π/4, e ) + e = arctan ) 7.84, deduciamo che ci sono a ± due asintoti orizzontali. Osserviamo inoltre che e ) + e = π/, e ) + + e = π/. La funzione non si può quindi prolungare per continuità in poichè il ite sinistro e destro non coincidono. c) La funzione dove è definita è continua e derivabile. Poichè D e + e = e e ) e + ) e e ) = e e ) <, la funzione e + e è decrescente in, ),, + ) e ivi derivabile). Il conto esplicito della derivata di f è, dopo qualche calcolo, D arctan e + e = e e + 6) che risulta negativa per ogni punto del dominio e quindi f è decrescente in, ),, + ) e ivi derivabile).

8 Figura 3: Grafico di f in [, ]. Alternativamente, poichè la funzione arctan è crescente e derivabile in R\{}, deduciamo, per la composizione di funzioni monotone, che f è decrescente in, ),, + ) e ivi derivabile). Inoltre poichè arctan è crescente, la funzione f ha massimo o minimo dove ha massimo o minimo il suo argomento e + e. Poichè e + e è sempre decrescente nel dominio e non è definita in =, non ha massimi e minimi. Con facili conti, la derivata seconda di f è e e > se e solo se >. f ) = e e ) e + ) 7) La funzione quindi cambia concavità in =, passando da concava a convessa. d) La funzione ha il grafico in figura. Esercizio 8 punti) a) Calcolare e α per ogni valore del parametro α > reale. b) Determinare i valori del parametro α > reale affinché la funzione f) sia continua in R: { e + 4 f) = 4 + >, α sin ) + 3, a) Da e t = + t + t + ot ) in un intorno di, deduciamo che posto t = il numeratore va come o4 )) + 4. Se α, 4), allora il denominatore va come α e quindi il ite vale + α e quindi vale per α, ), per α =, + per α, 4). Se α = 4 allora il denominatore è 4 e quindi il ite vale + 4 = +.

9 Se α > 4 allora il denominatore va come 4 e quindi il ite vale + 4 = +. b) Dal risultato precedente, ed essendo f) = f) = + deduciamo che la funzione è continua per α, ). Esercizio 3 8 punti) Calcolare l integrale definito e e + e + 4 d. FACOLTATIVO: Studiare al variare di α > reale, la convergenza dell integrale + sin α ) ++4 d. Calcoliamo per prima cosa l integrale indefinito. Posto t = e, da dt = e d abbiamo che e I := e + e + 4 d = t + t + 4 dt Poiche l equazione t + t + 4 = non ha soluzioni in R, procediamo con la tecnica del completamento dei quadrati. Osserviamo che t + t + 4 = t + t = t + ) + 4 e quindi, per s = t + ), ds = dt, dt = ds I = t + t + 4 dt = t + ) + dt = 4 = arctans) + c = arctan Per il teorema fondamentale del calcolo e e + e + 4 d = arctan = 4 t + )) + dt = 4 t + ) ) + c = arctan e + ) ) s + ) ds e + ) ) + c. 8) arctan e + ) ) arctan e + ) ) arctan + )). ) 9) Esercizio 4 8 punti) Studiare la convergenza e la convergenza assoluta della serie ) n log + ). n + 4 Poichè l argomento a n = log Criterio di Leibniz. n= ) + n+4 è positivo, decrescente e infinitesimo, la serie converge per il La serie è assolutamente convergente se converge log + ). n + 4 Poichè n+4 n+ e quindi la serie diverge. n= è infinitesimo e log + ), il comportamento della serie è uguale a quello di n= n + ) = n + ) = n n= n=

10 Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.

11 ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA Commissione P. Mannucci, A. Sommariva, a.a. 4- Corsi di laurea in Scienze Statistiche 4 febbraio TEMA 4 Esercizio 8 punti) Si consideri la funzione ) 3 + e f) = arctan e a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie o periodicità ed il segno di f; b) determinare i iti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f, eventuali punti in cui è possibile prolungare f per continuità; c) studiare la continuità e la derivabilità di f, studiare la monotonia e determinare gli eventuali punti di estremo massimo e minimo) relativo ed assoluto di f; d) disegnare un grafico qualitativo di f. FACOLTATIVO: i) Calcolare i iti di f se significativi; ii) Calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di concavità e convessità con eventuali punti di flesso. a) L unico punto che non appartiene al dominio è dove si annulla e, cioè =. Quindi il dominio è R\{}. Non ci sono simmetrie o periodictà. Poichè arctant) se e solo se t, deduciamo che f) se e solo se e +3 e e quindi. b) Gli estremi del dominio sono ± e =. Da e ) e = arctan) = π/4, e ) + 3 e = arctan 3).49, deduciamo che ci sono a ± due asintoti orizzontali. Osserviamo inoltre che e ) + 3 e = π/, e ) e = π/. La funzione non si può quindi prolungare per continuità in poichè il ite sinistro e destro non coincidono. c) La funzione dove è definita è continua e derivabile Poichè D e + 3 e = e e ) e + 3) e e ) = 4e e ) <, la funzione 3+e e è decrescente in, ),, + ) e ivi derivabile). Il conto esplicito della derivata di f è, dopo qualche calcolo, D arctan e + 3 e e = e + e +. ) che risulta negativa per ogni punto del dominio e quindi f è decrescente in, ),, + ) e ivi derivabile).

12 Figura 4: Grafico di f in [, ]. Alternativamente, essendo la funzione arctan è crescente e derivabile in R\{}, deduciamo, per la composizione di funzioni monotone, che f è decrescente in, ),, + ) e ivi derivabile). Inoltre, siccome arctan è crescente, la funzione f ha massimo o minimo dove ha massimo o minimo il suo argomento e +3 e. Poichè e +3 e è sempre decrescente nel dominio ed non è definita in, non ha massimi e minimi. Con facili conti, la derivata seconda di f è f ) = e e ) e + e + ) ) e e > se e solo se > log).847. La funzione quindi cambia concavità in = log), passando da concava a convessa. d) La funzione ha il grafico in figura. Esercizio 8 punti) a) Calcolare log + ) α + 4 per ogni valore del parametro α > reale. b) Determinare i valori del parametro α > reale affinché la funzione f) sia continua in R: { log+ ) + 4 f) = α + >, 4 sin ) +, a) Da log + t) = t t + ot ) in un intorno di, deduciamo che posto t = il numeratore va come 4 + o4 )) Se α, 4), allora il denominatore va come α e quindi il ite vale e quindi vale per α, 4) α Se α = 4 allora il denominatore è 4 e quindi il ite vale = 3/4.

13 Se α > 4 allora il denominatore va come 4 e quindi il ite vale b) Dal risultato precedente, ed essendo + deduciamo che la funzione è continua per α, 4) = 3/. f) = f) = Esercizio 3 8 punti) Calcolare l integrale definito log + log + 3) d. FACOLTATIVO: Studiare al variare di α > reale, la convergenza dell integrale + sin α ) ++3 d. Calcoliamo per prima cosa l integrale indefinito. Posto t = log), da dt = d abbiamo che I := log + log + 3) d = t + t + 3 dt Poiche l equazione t + t + 3 = non ha soluzioni in R, procediamo con la tecnica del completamento dei quadrati. Osserviamo che t + t + 3 = t + t = t + ) + e quindi, per s = t + ), ds = dt, dt = ds I = t + t + 3 dt = t + ) + dt = t + )) + dt = s + ) ds = arctans) + c = arctan t + )) + c = arctan log) + )) + c ) Per il teorema fondamentale del calcolo log + log + 3) d = arctan log) + )) arctan log) + )) = arctan log) + )) arctan ) ) Esercizio 4 8 punti) Studiare la convergenza e la convergenza assoluta della serie n= ) n tan + 3n. Poichè l argomento a n = tan 3n è positivo, decrescente e infinitesimo, la serie converge per il Criterio + di Leibniz. La serie è assolutamente convergente se converge n= tan 3n +. Poichè 3n + 3n + 3 è infinitesimo e tan), il comportamento della serie è uguale a quello di n= 3n + 3 = 3 + n= n + = + 3 n= n + )

14 e cioè a quello di Essendo n= n +. n + n, basta vedere quale sia il comportamento di Di conseguenza la serie iniziale diverge, perchè tale è il comportamento di + n= n. n= Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza. n.