Analisi Matematica 1 per IM - 15/07/2019. Tema 1 (parte di esercizi)

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1 Analisi Matematica per IM - /07/09 Cognome e Nome: Matricola: Docente: Tempo a disposizione: due ore. Il candidato a meno che non si ritiri deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. Il solo possesso di un telefono cellulare anche spento è motivo di esclusione dalla prova. Ogni affermazione deve essere adeguatamente giustificata. Esercizio Sia f la funzione definita da Tema (parte di esercizi) f() = ( + 6) ln( + 6) ( + 6).. Studiare la funzione f determinando dominio simmetrie segno continuità iti ed eventuali asintoti derivabilità e studio di eventuali punti di non derivabilità monotonia eventuali punti di estremo relativo e assoluto. Disegnare il grafico di f. Non è richiesto lo studio della derivata seconda.. Determinare se esiste l ordine di infinito per + della funzione Soluzione ϕ() = f() ln.. Dominio: Deve essere + 6 > 0 e quindi < oppure > 3. Allora dom f =] 3 ] ]3 +. Simmetrie: banalmente f( ) = f() e quindi la funzione è pari. Ci iteremo a studiarla nell intervallo 0 + deducendo per simmetria le informazioni nella semiretta ] 0. Quindi da adesso supporremo 0. Segno: f() 0 se e solo se ln( + 6) + 6 e avendo osservato che 0 < + 4e < Per simmetria per < 0 si ha f() 0 se e solo se 0 + 4e + + 4e > 3. o + + 4e + + 4e o + 4e < 0. In particolare f() = 0 se e solo se = ± + + 4e o = ± + 4e.

2 Ricerca di asintoti: si ha da cui si deduce anche f() = + + ( + 6) ln( + 6) ] = + f() = +. e quindi la funzione non ammette asintoti orizzontali. Inoltre poiché f() + = ln( + 6) ] = + () non ha neanche asintoti obliqui. La funzione è continua nel suo dominio quindi per ricercare eventuali asintoti verticali studiamo il suo comportamento al ite in e 3. Posto t = +6 si ottiene t 0 f() = t(ln t ) = t 0 f() = t(ln t ) = e per simmetria risultati analoghi si trovano per i iti per + e 3. La funzione può essere prolungata per continuità in ± e ±3 ponendo f(±) = f(±3) = 0. Da adesso in poi considereremo questo prolungamento. In particolare f non presenta asintoti verticali. Derivata prima: a priori f è derivabile in dom f \ {0} e per > 0 vale f () = ( ) ln( + 6) + ( + 6) 6 + 6) ( ) = ( ) ln( + 6). In particolare per il teorema del ite della derivata si ha f +(0) = 0 + f () = ln 6 e per simmetria f (0) = ln 6 da cui si conclude che = 0 è punto angoloso. Inoltre essendo f () = + f () = 3 + f non è derivabile in e in 3 epersimmentria neanche in e 3. Studiamo ora il segno di f. Poiché 0 ln( + 6) < e osservato che < < 3 < sfruttando la simmetria si ottiene che + > 3 o + f è crescente negli intervalli + ] 3 ] 0 f è decrescente negli intervalli ] + ] ] ] 0 ] + + ; 3 + ] ; f ha un punti di massimo relativo in = ± = ±3 e = 0;

3 Figura : Il grafico della funzione dell esercizio (gli assi hanno scale diverse) f ha un punti di minimo relativo = ± = ± + Si verifica facilmente che tali punti sono anche di minimo assoluto Un abbozzo del grafico si trova in figura. Poiché vale = ϕ() = + ln( + 6) ln e quindi l ordine di infinito della funzione è. Esercizio ln + ln( / + 6/ ) = = + ln.. Calcolare ( + ) ln( + ) tan Sugg.: si sviluppi e y con y = ln( + ).... Al variare di α > 0 calcolare ( + α ) tan

4 Soluzione. Si ha e poiché si ottiene che vale ( + ) = + ln( + ) + ( + ) = e ln(+)) = e ln(+) ln( + ) = 0 0 ln( + ) ] + o ( ln( + ) ] ) per 0. Allora essendo anche tan = +o() per 0 con il principio di sostituzione degli infinitesimi si ottiene ] ( + ) ] ln( + ) ln( + ) ln( + ) = tan = = Essendo α > 0 procedendo in modo analogo a prima si ottiene ( + α ) = e ln(+α) = + ln( + α ) + o ( ln( + α ) ) per 0 e quindi grazie al principio di sostituzione degli infinitesimi si ha ( + α ) ln( + α ) = tan Poiché ln( + α ) = α + o( α ) per 0 + si ottiene Esercizio 3 ( + α ) α = tan = + se 0 < α < 3 se α = 3 0 se α > 3.. Calcolare l integrale indefinito d.. Calcolare la soluzione del problema di Cauchy y + y = y() =. Soluzione. Si ha e quindi ( d = ) = d = ln ln + c = ln + c.

5 . Sfruttando il lavoro fatto prima moltiplicando ambo i membri dell equazione per e ln = e tenendo conto che si ottiene che vale da cui = per > y + = ( ) d d y() = e quindi y() = + c. Sfruttando la condizione iniziale y() = si ottiene c = 3/ per cui la soluzione cercata è y() = ( 3 ).

6 Soluzione del test Test C C B A A C B D E B Test D B E A B C D C B E Test C A C E E D D B D B Test D A C B D D B A E C