Tempo a disposizione: 120 minuti. Svolgere tre dei quattro esercizi proposti. 1 Studiare, al variare del parametro reale k 0, l insieme numerico

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1 Università degli Studi di Catania Anno Accademico Corso di Laurea in Fisica Prova scritta di Analisi Matematica 1[A-L](12 CFU) 8 Settembre 214 Tempo a disposizione: 12 minuti. Svolgere tre dei quattro esercizi proposti. 1 Studiare, al variare del parametro reale k, l insieme numerico { } X = (log 4 k 2 n 2 π 3(n 2 + 3), n N. Giustificare i risultati. 2 Valutare Giustificare i risultati. x ln x Studiare la funzione definita dalla legge f(x) = x x e x 2 x 1 e tracciarne il grafico. Provare che f è invertibile nell intervallo ]2, + [; detta g la funzione inversa della funzione f in ]2, + [, stabilirne l insieme di definizione e calcolare g (e 9 2 ). 4 Studiare il carattere delle seguenti serie numeriche: a) b) n=2 n=1 x n n 3 ln 2, x R, x ; n ne n(x x2 +2), x R.

2 8 Settembre 214 Svolgimento della prova scritta 1 Studiamo preliminarmente la monotonia della successione di termine generale a n = n2 n Considerata la funzione f : R R definita da f(x) = x2 x 2 + 3, si ha che f (x) = 6x, per ogni x, quindi f è crescente in [, + [, ovvero la (x 2 +3) 2 successione {a n } è crescente e si deduce immediatamente che essa è limitata superiormente da 1. Quindi, la successione di termine generale b n = n 2 π 3(n 2 + 3) è monotona crescente, è limitata inferiormente da e superiormente da π. Per la monotonia 3 della funzione coseno, vale che b n b n+1 cos b n cos b n+1, n N. In definitiva, la successione di termine generale h n = cos n 2 π 3(n 2 + 3) è decrescente. Adesso distinguiamo tre casi. Se log 4 k 2 > k 2 > 1 k < 1 k > 1, allora sup X = max X = (log 4 k 2 π 3( + 3) = log 4 k 2, inf X = lim 4 k 2 n 2 π n + 3(n 2 + 3) = 1 2 log 4 k 2. Se log 4 k 2 = k 2 = 1 k = ±1, allora sup X = inf X =. Se log 4 k 2 < k 2 < 1 k 1 < k < < k < 1, allora sup X = 1 2 log 4 k 2, inf X = min X = log 4 k 2. 2 Studiamo a priori l integrabilità della funzione f(x) = x ln x + 2 nell intervallo [, 1]. La funzione f ammette come unico punto singolare l estremo. Osservato che lim x 1 2 f(x) =, x +

3 si conclude che f è integrabile in [, 1]. Calcoliamo, adesso, l integrale assegnato integrando per parti. [ ] x 2 1 x 2 f(x) = lim ln lim ɛ + 2 x + 2 ɛ ɛ + ɛ x 2 x 3 x 3 (x + 2) = 1 2 ln lim ln ɛ3 ɛ+2 ɛ + 1 ɛ 2 x 2 + 3x x + 2 = 1 2 ln (x + 1)(x + 2) 2 x + 2 = 1 2 ln (x + 1) + 2 x + 2 = ln ln = ln , quindi l integrale proposto vale ln Di seguito si riportano i risultati principali dello studio di funzione. È opportuno definire la funzione per casi, come segue: {e x2 x 1 se x > f(x) = e x2 x 1 se x <. Si ha D f = R \ {, 1}. Data la struttura della funzione f, conviene studiare ad esempio f 1 (x) = e x2 x 1 per ogni x Df ; il ramo di funzione f per x < si ottiene per simmetria rispetto all asse x dal grafico della funzione f 1. Si segnala l ovvia discontinuità di prima specie nel punto x = con salto pari a 2. Si ha: lim f 1(x) =, lim f 1(x) = +, lim f 1(x) =, lim f 1(x) = +. x x + x 1 x 1 + Si vede facilmente che non vi sono asintoti obliqui. La retta y = è asintoto orizzontale sinistro e la retta x = 1 è asintoto verticale. Risulta: f 1(x) x(x 2) = (x 1) e x 2 2 x 1, f 1 (x) = x4 4x 3 + 4x 2 + 2x 2 e x 2 (x 1) 4 x 1, quindi, tralasciando lo studio del segno della derivata seconda, si ha f 1(x) > x < x > 2. Nella pagina seguente è riportato il grafico della funzione f, dedotto come indicato prima, da quello della funzione f 1.

4 Nell intervallo ]2, + [, f è continua e mono Denotato con domg l insieme di definizion dove e 4 = f(2) e + = f(x). Ricer lim x +

5 4 a) Osserviamo che se x = la serie è convergente e ha somma. Supponiamo, dunque, x >. La serie è a termini positivi e quindi possiamo applicare il criterio del rapporto. Denotato con a n, n 2, il termine generale della serie assegnata, si ha: a n+1 x n+1 lim = lim n + a n n + (n + 1) 3 ln 2 (n + 1) n3 ln 2 n = x. x n Se x > 1, la serie diverge a + e se x < 1, la serie converge. Esaminiamo il caso x = 1; la serie diventa: n=2 1 n 3 ln 2 n. Poiché 1 lim n + n2 n 3 ln 2 n =, per il criterio degli infinitesimi, la serie converge. In definitiva, la serie converge se x 1 e diverge se x > 1. b) La serie è a termini positivi. Denotato con a n il suo termine generale, applichiamo il criterio del rapporto: a n+1 (n + 1)e (n+1)(x x2 +2) lim = lim n + a n n + ne n(x x2 +2) = e x2 x 2. Allora, se e x2 x 2 > 1, ovvero x < 1 x > 2, la serie diverge e se e x2 x 2 < 1, ovvero 1 < x < 2, la serie converge. Stabiliamo il carattere della serie per x = 1 e x = 2; in entrambi i casi la serie assegnata si riduce a n n=1 che diverge a +. In definitiva, la serie converge se x < 1 x > 2 e diverge se 1 x 2.