Analisi Matematica 1 Secondo appello

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1 Analisi Matematica 1 Secondo appello 11 febbraio 219 Testo A1 Consegnare solo questo foglio Prima parte: 2 punti per risposta corretta, 1 per ogni errore. Soglia minima 12/2. Seconda parte: Domande A e B, rispondere sul retro del foglio che si consegna. ANNOTARE LE RISPOSTE E LA TRACCIA (A1, A2, B1, B2) SU UN FOGLIO A PARTE. 1. Sia P l insieme dei numeri naturali pari (incluso ) e D l insieme dei numeri naturali dispari. Allora a n P m D : n m = 1 b n P : m D, n m = 1 c nessuna delle precedenti 2. Siano A, B insiemi, allora A B = Ø se e solo se. La funzione f : (, + ) R: x x 2 + x La funzione f : (, + ) R: x x + 2 sin x 5. L equazione 2x sin x x = a a A b B : b a b b B, b / A c nessuna delle precedenti a è iniettiva b è suriettiva c nessuna delle precedenti a è noncrescente b è nondecrescente c nessuna delle precedenti a ha esattamente una soluzione b ha esattamente tre soluzioni c nessuna delle precedenti 6. L insieme di soluzioni di log x 1 x è a un intervallo b vuoto c nessuna delle precedenti 7. La successione ( ) n 2 n 8. La successione 2n + 1 2n La funzione x log x2 + 1 x per x + 1. La funzione x arctan 2 1 x per x 11. Se f è derivabile, allora f è sicuramente a continua b limitata c nessuna delle precedenti 12. Se f è continua su [, 1], allora x x f(t) dt è sicuramente a continua b monotona c nessuna delle precedenti 1. La serie k= 14. La serie k+1 k 2 a converge per il criterio degli infinitesimi b converge per il criterio del rapporto c diverge k= k! k k a converge per il criterio degli infinitesimi b converge per il criterio del rapporto c diverge 15. Il quadrato di i è a i b i c nessuna delle precedenti 16. L equazione z 2 + z + 1 = ha in C a due soluzioni distinte b due soluzioni coincidenti c nessuna delle precedenti

2 Analisi Matematica 1 Secondo appello 11 febbraio 219 Testo A2 Consegnare solo questo foglio Prima parte: 2 punti per risposta corretta, 1 per ogni errore. Soglia minima 12/2. Seconda parte: Domande A e B, rispondere sul retro del foglio che si consegna. ANNOTARE LE RISPOSTE E LA TRACCIA (A1, A2, B1, B2) SU UN FOGLIO A PARTE. 1. Sia P l insieme dei numeri naturali pari (incluso ) e D l insieme dei numeri naturali dispari. Allora a n P m D : m n = 1 b n P : m D, m n = 1 c nessuna delle precedenti 2. Siano A, B insiemi, allora A B = Ø se e solo se a a A b B : b a b a A, a / B c nessuna delle precedenti. La funzione f : (, + ) R: x 1 x x 2 a è suriettiva b è iniettiva c nessuna delle precedenti 4. La funzione f : (, + ) R: x x 2 sin x a è nondecrescente b è noncrescente c nessuna delle precedenti 5. L equazione x sin x x =, per x [, 2π] a ha esattamente una soluzione b ha esattamente tre soluzioni c nessuna delle precedenti 6. L insieme di soluzioni di log x 1 x è a vuoto b un intervallo c nessuna delle precedenti 7. La successione ( ) n n 8. La successione 2n + 1 n 1 9. La funzione x log x + 1 x 2 per x + 1. La funzione x arctan 1 x per x 11. Se f è derivabile, allora f è sicuramente a limitata b continua c nessuna delle precedenti 12. Se f è continua su [, 1], allora x x f(t) dt è sicuramente a monotona b continua c nessuna delle precedenti 1. La serie k= 14. La serie k+1 k 4 a converge per il criterio del rapporto b converge per il criterio degli infinitesimi c diverge k= k! k k a converge per il criterio del rapporto b converge per il criterio degli infinitesimi c diverge 15. Il quadrato di i è a 2 i 1 2 b i c nessuna delle precedenti 16. L equazione z 2 z + 1 = ha in C a due soluzioni distinte b due soluzioni coincidenti c nessuna delle precedenti

3 Analisi Matematica 1 Secondo appello 11 febbraio 219 Testo B1 Consegnare solo questo foglio Prima parte: 2 punti per risposta corretta, 1 per ogni errore. Soglia minima 12/2. Seconda parte: Domande A e B, rispondere sul retro del foglio che si consegna. ANNOTARE LE RISPOSTE E LA TRACCIA (A1, A2, B1, B2) SU UN FOGLIO A PARTE. 1. Sia P l insieme dei numeri naturali pari (incluso ) e N l insieme dei numeri naturali (incluso ). Allora a n N m P : m = 2n b n N m P : m = 2n c nessuna delle precedenti 2. Siano A, B insiemi, allora A B = Ø se e solo se. La funzione f : (, + ) R: x x 2 x La funzione f : (, + ) R: x x + sin x a a A b B, b a b b B : b / A c nessuna delle precedenti a è iniettiva b è suriettiva c nessuna delle precedenti a è strettamente crescente b è crescente, non strettamente c nessuna delle precedenti 5. L equazione x sin x 2x = a ha esattamente una soluzione b ha esattamente tre soluzioni c nessuna delle precedenti 6. L insieme di soluzioni di cos x 1 x è a un intervallo b vuoto c nessuna delle precedenti 7. La successione ( ) n 2 n 8. La successione 2n n La funzione x log x x per x + 1. La funzione x arctan 1 x per x 11. Se f è derivabile, allora f è sicuramente a monotona b limitata c nessuna delle precedenti 12. Se f è continua su [, 1], allora x x f(t) dt è sicuramente a derivabile b monotona c nessuna delle precedenti 1. La serie k= 14. La serie k+1 k a converge per il criterio degli infinitesimi b converge per il criterio del rapporto c diverge k= k k k! a converge per il criterio degli infinitesimi b converge per il criterio del rapporto c diverge 15. Il quadrato di i è a i b i c nessuna delle precedenti 16. L equazione z 2 + 2z + 1 = ha in C a due soluzioni distinte b due soluzioni coincidenti c nessuna delle precedenti

4 Analisi Matematica 1 Secondo appello 11 febbraio 219 Testo B2 Consegnare solo questo foglio Prima parte: 2 punti per risposta corretta, 1 per ogni errore. Soglia minima 12/2. Seconda parte: Domande A e B, rispondere sul retro del foglio che si consegna. ANNOTARE LE RISPOSTE E LA TRACCIA (A1, A2, B1, B2) SU UN FOGLIO A PARTE. 1. Sia P l insieme dei numeri naturali pari (incluso ) e N l insieme dei numeri naturali (incluso ). Allora a n N m P : m = 2n b n N m P : m = 2n c nessuna delle precedenti 2. Siano A, B insiemi, allora A B = Ø se e solo se a a A b B, b = a b a A b B : b / a c nessuna delle precedenti. La funzione f : (, + ) R: x x(x 2 1) 4. La funzione f : (, + ) R: x x sin x a è iniettiva b è suriettiva c nessuna delle precedenti a è strettamente decrescente b è strettamente crescente c nessuna delle precedenti 5. L equazione 2x sin x x =, per x [, 2π] a ha esattamente una soluzione b ha esattamente tre soluzioni c nessuna delle precedenti 6. L insieme di soluzioni di e x + 1 x è a un intervallo b vuoto c nessuna delle precedenti 7. La successione ( n) n 8. La successione 2n + 1 n La funzione x log x x 2 per x + 1. La funzione x arctan per x x 11. Se f è derivabile, allora f è sicuramente a limitata b monotona c nessuna delle precedenti 12. Se f è continua su [, 1], allora x x f(t) dt è sicuramente a monotona b derivabile c nessuna delle precedenti 1. La serie k= 14. La serie k 2 +1 k a converge per il criterio del rapporto b converge per il criterio degli infinitesimi c diverge k= k k k! a converge per il criterio del rapporto b converge per il criterio degli infinitesimi c diverge 15. Il quadrato di i è a i b ( i) c nessuna delle precedenti 16. L equazione z 2 2z + 1 = ha in C a due soluzioni distinte b due soluzioni coincidenti c nessuna delle precedenti

5 SOLUZIONI A1) a: b: c: A2) a: b: c: B1) a: b: c: B2) a: b: c:

6 A. Dare la definizione di serie numerica convergente e menzionare esempi di serie convergenti, divergenti, senza limite. Risposta: Data una successione di numeri reali (a k ) k N, si dice che la serie successione delle ridotte n-esime s n := Esempi di serie convergenti: Esempi di serie divergenti: Esempi di serie senza limite:, k= 1, k= n a k. k= q k con q < 1, k= q k con q > 1, k= ( 1) k, k= k p con p > 1. k=1 k p con p 1. k=1 q k con q < 1. k= a k converge se converge la k= B. Scrivere la formula di Taylor di punto iniziale per la funzione esponenziale, al primo ordine (cioè con resto o(x)). Scrivere il resto in forma di Lagrange. Utilizzare la formula per calcolare approssimativamente e dare una stima del resto. e 1 2 Risposta: Si ha e x = 1 + x + o(x) = 1 + x + eξ 2 x2 con ξ compreso tra e x. Quindi per x = 1 2 e e , ovvero e ± 8. Si può migliorare la stima osservando che dalla formula di Taylor si ottiene quindi e 1 2 [ 1 8, 12 7 ]. 1 8 e e 1 2 8, Altra versione: B. Scrivere la formula di Taylor di punto iniziale per la funzione coseno, al secondo ordine (cioè con resto o(x 2 )). Scrivere il resto in forma di Lagrange. Utilizzare la formula per calcolare approssimativamente cos( 1 2 ) e dare una stima del resto. Risposta: Si ha cos x = x2 + o(x ) = x2 + cos ξ x 4 con ξ compreso tra e x. 4! Quindi per x = 1 2, ricordando che la funzione coseno è decrescente in [, 1 2 ], cos cos 16 4! = 1 84, ovvero cos ± Si osserva che, essendo cos ξ positivo nella formula di sopra, cos 1 2 ( 7 8, ].

7 Analisi Matematica 1 Secondo appello SOLUZIONI 11 febbraio 219 Scrivere le risposte su questo foglio motivandole brevemente 1. [4 punti] Considerare la successione (a n ) n, dove a n = ( n 1+n )n se n è dispari, a n = n Trovarne estremo superiore e inferiore, dire se esiste il limite e in tal caso calcolarlo. 1+n se n è pari. Soluzione: Osserviamo che ( n 1+n )n = (1 + 1 n ) n n è decrescente e converge a 1/e, mentre 1+n è crescente e converge a 1. Quindi la successione (a n ) n non ha limite, avendo due sottosuccessioni convergenti a limiti diversi. Inoltre si ha: ( ) n n a = < lim = 1 < a 1 = 1 n < lim n 1 + n e 2 n 1 + n = 1, perciò, a causa delle monotonie, sup n a n = 1 e inf n a n =. In una seconda versione del compito, il primo esercizio era il seguente: 1. [4 punti] Considerare la successione (a n ) n N, dove a n = ( n 1+n )n se n è dispari, a n = n Trovarne estremo superiore e inferiore, dire se esiste il limite e in tal caso calcolarlo. 1+en se n è pari. Soluzione: Osserviamo che ( n 1+n )n = (1 + 1 n ) n n è decrescente e converge a 1/e, mentre 1+en è crescente e converge allo stesso limite 1/e. Quindi la successione (a n ) n converge a 1/e. Inoltre si ha: a = < lim n a n = 1 e perciò, a causa delle monotonie, sup n a n = 1/2 e inf n a n =. < a 1 = 1 2, 2. [6 punti] Nel piano cartesiano considerare il triangolo di vertici (, ), (l, ) e (x, h), con l e h costanti positive fissate e x R. Scrivere la formula del perimetro Π(x) del triangolo in funzione di x. Determinare il triangolo di perimetro Π minimo tra quelli con base l e altezza h assegnate. Soluzione: La formula del perimetro (valida in tutti i casi: x <, x l, x > l) è: Π(x) = l + x 2 + h 2 + (l x) 2 + h 2. Poiché Π è continua e diverge a + per x ±, ha senz altro minimo assoluto per il Teorema di Weierstrass. Da considerazioni geometriche si vede immediatamente che Π(x) > Π() per ogni x < e Π(l) < Π(x) per ogni x > l, perciò, nella ricerca del minimo assoluto, ci possiamo restringere a x [, l]. Siccome Π è derivabile (in tutti i punti, perché gli argomenti delle radici sono maggiori di h 2 > ), il punto di minimo assoluto x deve soddisfare Π (x ) =. Mostriamo che c è un solo punto con questa proprietà. Si ha Π (x) = x x 2 + h 2 l x (l x) 2 + h 2. Dovendo risolvere Π (x) =, conviene riscriverla nella forma equivalente x 2 (l x)2 x 2 = + h2 (l x) 2 + h 2. (Attenzione: è importante osservare che le due equazioni sono equivalenti perché x [, l]). Elementari semplificazioni mostrano che l unica soluzione è x = l/2, che è quindi il punto di minimo assoluto. Il triangolo di perimetro minimo è isoscele. In alternativa, senza invocare il Teorema di Weierstrass, si poteva studiare la monotonia di Π studiando il segno della derivata (con lo stesso metodo di sopra per la disequazione con le radici); oppure, si poteva calcolare la derivata seconda in x (ma questo è poco conveniente perché richiede più calcoli).

8 . [1 punti] Considerare le funzioni di R in R definite da { t 2 sin 2 1 f(t) := t se t, se t =, Rispondere alle seguenti domande senza calcolare l integrale: F (x) := ˆ x f(t) dt. a) Mostrare che f è continua. Mostrare che F è dispari e F (x) x. Indicare il segno di F. b) Calcolare F usando il teorema fondamentale del calcolo. Discutere la monotonia di F. c) Elencare tutti i punti dove F si annulla e dire se sono punti di estremo o di sella per F. ) 1 ( ) 1, d) Calcolare F e dire se F è positiva o negativa nei punti ((k )π e (k )π per k Z. e) Il punto x = è di sella? Soluzione: È di flesso? Usare quanto trovato nei punti c) e d), senza ulteriori calcoli. a) In R\{} la funzione f risulta continua in quanto prodotto di funzioni continue; è continua anche in, perché f() = lim x f(x) (prodotto di infinitesima per limitata). Quindi F è ben definita essendo f integrabile. La sostituzione s = t (con ds = dt) porge F ( x) = ˆ x f(t) dt = ˆ s=x s= f( s) ( ds) = ˆ x f(s) ds = F (x), dove in = si è usato che f è pari; perciò F è dispari. Inoltre F ha lo stesso segno di x (per x >, è un integrale di una funzione positiva su [, x]; per disparità, è negativa quando x < e ovviamente nulla in ). Inoltre, siccome sin 1 t 1, per x > si ha quindi F (x) x per disparità. F (x) = F (x) ˆ x t 2 dt = x, b) Il Teorema fondamentale del calcolo assicura che F = f, quindi F è strettamente crescente avendo derivata nonnegativa e nulla solo in punti isolati. c) I punti dove F si annulla sono {} {(kπ) 1 : k Z, k } e sono tutti selle, essendo F crescente. d) Si ha F (x) = f (x) = 2 sin 1 x (x sin 1 x cos 1 x ) per x (mentre F () = f () = ). Si ha { F ( ) 1 ( ) 1 (k )π = 2 (k )π > per k, F ( ) 1 ) 1 (k < per k <, )π = ((k )π 1 <. e) Come osservato sopra, è di sella. Non è di flesso, perché F non è monotona in nessun intervallo (non banale) di estremo : infatti, come visto in c), c è una successione infinitesima di punti dove F si annulla, intervallati da regioni dove F è strettamente positiva; quindi F oscilla, alternando regioni di crescenza e decrescenza intorno a. In alternativa, si può osservare che la derivata seconda non ha segno costante in nessun intervallo (non banale) di estremo : infatti, come visto in d), ci sono una successione infinitesima di punti dove F > e una successione infinitesima di punti dove F <. Ne consegue che non è di flesso. In generale, non tutti i punti di sella sono flessi a tangente orizzontale. Nella seconda versione del compito, il terzo esercizio era il seguente:. [1 punti] Considerare le funzioni di R in R definite da { t 2 cos 2 1 f(t) := t se t, se t =, Rispondere alle seguenti domande senza calcolare l integrale: F (x) := ˆ x f(t) dt. a) Mostrare che f è continua. Mostrare che F è dispari e F (x) x. Indicare il segno di F. b) Calcolare F usando il teorema fondamentale del calcolo. Discutere la monotonia di F. c) Elencare tutti i punti dove F si annulla e dire se sono punti di estremo o di sella per F. ) 1 ( ) 1, d) Calcolare F e dire se F è positiva o negativa nei punti ((k )π e (k + 4 )π per k Z. e) Il punto x = è di sella? Soluzione: Imitare quanto fatto sopra. È di flesso? Usare quanto trovato nei punti c) e d), senza ulteriori calcoli.