Esame del 24 Giugno Per lo svolgimento di questa prova è concesso un tempo massimo di tre ore. (4x 1) log(x x 2 ) dx

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1 Esame del 4 Giugno 004 Per lo svolgimento di questa prova è concesso un tempo massimo di tre ore. Esercizio n. Calcolare il seguente integrale: /4 0 (4x (x x dx. Soluzione. Calcoliamo innanzitutto una primitiva della funzione (4x (x x. Integrando per parti, si ha: (4x (x x dx = (x x (x x (x x x x x dx 4x = (x x (x x 4x + dx x = (x x (x x 4x + x dx dunque (ricordando che ε ε = 0: /4 0 (4x (x x dx = = (x x (x x x x + C /4 ε (4x (x x dx = (x x (x x x x = = /4 ε (ε ε (ε ε ε ε NOTA BENE! Una primitiva di 4x NON È (4x, ma x x!! Esercizio n. Mostrare che l equazione ha un unica soluzione nell intervallo, 0. soluzione con un errore inferiore a 0. x 4 + 4x + = 0 Determinare un valore approssimato di tale Soluzione. La funzione f(x = x 4 + 4x + è continua in R, e in particolare su, 0. Siccome f( = e f(0 =, in virtù del Teorema degli zeri, l equazione considerata ha almeno una

2 soluzione in, 0. Dato che f (x = 4(x 3 + e f (x 0 in, 0, f è strettamente crescente. Vi è quindi un unica soluzione (vi è un altra soluzione in,. Per calcolare un valore approssimato della soluzione, usiamo il metodo di bisezione, e poichè si richiede una precisione di ovvero n 4., occorre effettuare n iterazioni, dove n verifica: 0 n+ b a, ε n a n b n c n f(a n f(b n f(c n 0 0 = 0, < 0 > 0 = 0, 937 < = 0, < 0 > 0 = 0, > = 0, 37 < 0 > = 0, < = 0, 3 < 0 > 0 79 = 0, < = 0, 8 3 Esercizio n. 3 Studiare la seguente funzione: ( x f(x =. x Soluzione. La funzione aritmo è definita quando il suo argomento è definito e strettamente x positivo; la funzione è definita quando il denominatore è non nullo. Occorre x dunque risolvere il sistema di disequazioni: x x > 0, x 0 da cui si ottiene: x < 0 e 0 < x <. Insieme di definizione: D f =, 0 0, =, \ {0} La funzione aritmo è positiva se, e solo se, il suo argomento è > : occorre risolvere la disequazione: x x >, x D f. Osservando che su D f si ha x > 0, tale disequazione è equavalente a: ovvero: x > x, x + x > 0,

3 da cui x < e x > +. f(x > 0 x, +, f(x = 0 x =, x = + f(x < 0 x, 0 0, Intervalli in cui il grafico di f è al di sopra dell asse delle x:,, ( ( + Punti comuni al grafico ed agli assi coordinati:, 0,, 0 Intervalli in cui il grafico di f è al di sotto dell asse delle x:, 0, + 0, +, Dato che Dato che Dato che x x = + e y = + si ha: f(x = +. x x x x 0 ± x = 0 e y = y 0 + x = + e y = + x x si ha: f(x =. ± x 0 si ha: f(x = +. x Limiti significativi per f: f(x = +, f(x =, f(x = x x 0 ± x Le rette x = 0, x = sono asintoti verticali. Per quel che riguarda l eventuale asintoto obliquo a, posto y = x, si ha: ( x f(x x x = x x x Usando le proprietà dei aritmi: y y Siccome y si ottiene: = 0 e = y y + = y ( =, quindi y = 0. y = y y = = 0,.

4 Oppure si puó usare il teorema di De L Hôpital e quindi: f(x x x = f (x = x x x x(x = 0. La funzione non ammette dunque asintoto obliquo. Equazione degli asintoti del grafico di f: x = 0, x = (asintoto a sinistra f (x = x x(x f (x > 0 x 0, f (x = 0 MAI f (x < 0 x +, Punti angolosi o cuspidali per il grafico di f: NO Intervalli in cui f è strettamente crescente: 0, Intervalli in cui f è strettamente descrescente:, Punti di minimo o di massimo relativo per f: NO Punti di minimo o di massimo assoluti per f: NO f (x = x 4x + x (x f (x > 0 < x < f (x = 0 x = f (x < 0 x < 0 oppure 0 < x < Intervalli in cui il grafico di f volge la concavità verso l alto:, Intervalli in cui il grafico di f volge la concavità verso il basso:, 0, 0,... Punti di flesso per f: x = f è biunivoca?: NO Indicare l insieme dei valori di f:,

5 x = 0 asintoto verticale x = asintoto verticale a sinistra F (, ( flesso F Esercizio n. 4 Sia A = 0 k, si studi, al variare di k R, il sistema A x x = 0. k 0 Soluzione. Si ha det A = 4k + 0k + 4, quindi per k e k il sistema possiede una, e una sola soluzione. La regola di Cramer ci dà: 0 k 0 x = 4k + 0k + 4 = k + 4k + 0k + 4 = k +, 0 0 k k x = 4k + 0k + 4 = k +, 0 0 k 0 x 3 = 4k + 0k + 4 = k +. NOTA BENE! Il fatto che det A = 4k + 0k + 4 non vuol dire che sia possibile SEMPLIFICARE, e scrivere det A = k + k +!! x 3

6 Se k =, il rango della matrice incompleta è, dato che 0 0. La matrice completa ha rango, poiché i minori orlanti 0 0 A =, 0 ( 0 sono nulli: = = 0. Il sistema è dunque compatibile. Scelta la variabile x 3 come parametro, e considerando il sistema formato dalle prime due equazioni, si ottiene il sistema: x + t = 0 x + x t = da cui: x = t +, x = t, x 3 = t. Se k =, la matrice diventa: A = 0, 4 0 e il suo rango è ancora, poiché, 0 0. Il rango della matrice completa è 3, dato che: = 4 = 6 0. Il sistema è dunque incompatibile. Esercizio n. Dire per quali valori di α R la serie risulta convergente. n= n 3n + n 3 + n α

7 Soluzione. Se α 3 la serie diverge. Infatti la successione risulta infinitesima di ordine, in quanto Se α > 3 si ha : n n 3n + n + n 3 + n α = n + nα n 3n + n 3 + n α = n(n 3n + n + n 3 + n α = n + n 3 ( 3 n + n n 3 ( + n α 3 n 3 = n α (n 3n + n + n 3 + n α = n + se α < 3 se α = 3. n α ( 3 n + n ( n α + n α 3 =, n α La successione risulta infinitesima di ordine α e α >, quindi la serie converge. Esercizio n. 6 Determinare lo sviluppo di Mac-Laurin, con resto di Lagrange, arrestato al secondo ordine della funzione f(x = e sen x. Soluzione. Ricordiamo che lo sviluppo di Mac-Laurin, con resto di Lagrange, arrestato al secondo ordine di una funzione f due volte derivabile è: f(x = f(0 + f (0x + f (0 x + f (ξ x 3, 6 con ξ 0, x, se x > 0 e ξ x, 0, se x < 0. Ora: quindi: f(x = e sen x f(0 = e sen 0 = e 0 = f (x = cos x e sen x f (0 = cos 0 e sen 0 = f (x = (cos x sen x e sen x f (0 = (cos 0 sen 0 e 0 = f (x = (cos 3 x 3 sen x cos x cos x e sen x, f(x = + x + x + (cos3 ξ 3 sen ξ cos ξ cos ξ e sen ξ.