Soluzione Traccia A. 14 febbraio 2013

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1 Soluzione Traccia A 1 febbraio 21 ESERCIZIO 1. Dopo aver disegnato il grafico della circonferenza di equazione x 2 + y 2 2x = trovare le eventuali intersezioni con la retta di equazione 2x y + 2 =. Per disegnare la circonferenza serve il centro e un punto. Le coordinate del centro di una circonferenza di equazione x 2 + y 2 + ax + by + c = sono date da ( a 2, b 2 ) e quindi il centro è il punto C = (1, ). Se si pone x = nell equazione della circonferenza,, si trova y = (basta un punto, quindi solo un valore di y). Pertanto la circonferenza passa per A = (, ), così abbiamo elementi sufficienti per disegnarla. Per trovare le intersezioni, bisogna risolvere il sistema x 2 + y 2 2x = 2x y + 2 = Dalla seconda equazione si trova y =2x + 2, e quindi sostituendo nella prima si trova x 2 + (2x + 2) 2 2x =, e quindi x 2 +6x 1 =. Le radici sono x 1 = 1 (in corrispondenza della quale si trova y 1 = 2( 1 ) + 2 = 2 1 ) e x 2 = + 1 (in corrispondenza della quale si trova y 2 = 2( + 1 ) + 2 = +2 1 ). Quindi le due intersezioni fra retta e circonferenza sono i punti A 1 = ( 1, 2 1 )ea 2 =( + 1, +2 1 ). ESERCIZIO 2. Si consideri la funzione f(x) = ln( x 2 ). (a) Si determini il dominio di f ed eventuali simmetrie. Deve essere x 2 >, e quindi <x<. Il dominio di f(x) è quindi D =(, ). Per verificare se f è una funzione pari dobbiamo vedere se f( x) =f(x). f( x) = ln( ( x) 2 ) = ln( x 2 )=f(x), 1

2 quindi la funzione è pari, ossia il suo grafico è simmetrico rispetto all asse y. Si effettuerà lo studio della funzione solo per x, e poi si estenderà per simmetria il grafico. (b) Determinare il segno di f ed eventuali intersezioni con gli assi. Si ha f(x) > se e solo se ln( x 2 ) >. Applicando ad entrambi i membri della diseguaglianza l inversa della funzione ln x, cioè la funzione esponenziale e x, che è strettamente crescente, si ottiene e ln( x2) >e, cioè x 2 > 1. Quindi x 2 2 <. Ricordiamo che forniamo le soluzioni solo per x. Pertanto f(x) > per x< 2. f(x) < per 2 <x<. Analogamente f(x) = per x = 2, quindi il grafico di f(x) interseca il semiasse positivo delle ascisse nel punto A =( 2, ). Poichè f() = ln, l intersezione con l asse y è il punto C = (, ln ). (c) Calcolare i iti e il comportamento asintotico della funzione. Ricordiamo che forniamo le soluzioni solo per x. L unico ite da calcolare è x ln( x 2 )=, in quanto x ( x 2 ) = e ln x =. x Quindi la retta di equazione x = è asintoto verticale. (d) Determinare gli intervalli di monotonia di f ed eventuali punti estremali. Andiamo a calcolare la derivata prima della funzione f (x) = 2x x 2 = 2x x 2 e studiamo il segno per capire gli intervalli in cui la funzione risulta crescente o decrescente. Ricordiamo che forniamo le soluzioni solo per x (cioè, dato il dominio, per x [, + )), quindi 2

3 f (x) < per x (, ), e dunque f(x) è strettamente decrescente nell intervallo (, ) f (x) = per x =, che risulta essere un punto estremale e, data la simmetria, f(x) è strettamente crescente nell intervallo (, ). Dunque C = (, ln ) è punto di massimo relativo. (e) Determinare gli intervalli di convessità di f ed eventuali punti di flesso. Andiamo a calcolare la derivata seconda della funzione f (x) = 2(x2 ) (2x)(2x) (x 2 ) 2 = 2x2 6 (x 2 ) 2. Poichè f (x) < in tutto (, ), che è il dominio di f(x), dunque la funzione è concava e non ha punti di flesso. (f) Disegnare il grafico di f(x). (Vedi ultima pagina) (g) Si trovino il massimo e il minimo assoluti di f(x) nell intervallo [ 1, 1]. Come si può osservare dal grafico della funzione essa ha massimo assoluto uguale a ln, valore assunto per x =, e appartiene all intervallo [ 1, 1]. Per il Teorema di Weierstrass, f(x) ha anche minimo assoluto in [ 1, 1]. Poichè in tale intervallo non ci sono altri punti estremali, e poichè f( 1) = f(1) = ln 2, si ha che ln 2 è proprio il minimo assoluto di f(x) in [ 1, 1] e i punti x = 1 e x = 1 sono i punti di minimo assoluto, come si evince anche dall osservazione del grafico. ESERCIZIO. l Hôpital: Si calcoli il seguente ite senza l uso della regola di de 1 cos 2x. Ricordando i seguenti iti notevoli 1 cos t t t 2 = 1 2, tgt =1 t t

4 basta moltiplicare numeratore e denominatore per x 2 = (2x) 2 e quindi si ottiene 1 cos 2x = 1 cos 2x (2x)2 x 2 (2x) 2 = x x 2 1 cos 2x 1 ( ) 2 tgx (2x) 2 = x x 1 cos 2x 1 = = 1 2. ESERCIZIO. Si calcoli il seguente integrale definito: xe x2 +1 dx Considerando l integrale indefinito, si può facilmente riportare l integrale nella forma f (x)e f(x) dx = e f(x) + c, con f(x) =x e quindi f (x) =2x. Perciò si ha xe x2 +1 dx = 1 2 2xe x2 +1 dx = 1 [e ] 2 x2 +1 = (e e).

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