Esercizi di Matematica Generale -C.d.L. in Economia Aziendale - per gli studenti degli a.a. 2013/14 Prof.ssa Rinauro Silvana

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1 Esercizi di Matematica Generale -C.d.L. in Economia Aziendale - per gli studenti degli a.a. 201/14 Prof.ssa Rinauro Silvana Regole per l esame: Si darà facoltà agli studenti di convalidare il voto dello scritto, se questo è compreso fra 18 e 27, senza sostenere l orale. Chi prenderà un voto superiore al 27 dovrà sostenere l orale per confermare o migliorare il voto, a meno che non si accontenti del 27. Per i voti da 15 a 17 sarà obbligatorio sostenere l orale, per poter raggiungere (o superare la sufficienza. Chi avrà un voto minore di di 15 (cio da 1 a 14 non sarà ammesso alla prova orale e dovrà ripetere la prova scritta. Chiunque abbia superato lo scritto e voglia sostenere l orale per migliorare il proprio voto potrà farlo. Ovviamente nei casi in cui ci sia il dubbio che lo studente abbia copiato il compito, sarà richiesta la prova orale per poter convalidare il voto. Sono elencati di seguito gli esercizi-tipo che bisogna saper svolgere per superare un compito scritto. Gli esercizi che saranno assegnati in un singolo scritto saranno del tipo di alcuni dei seguenti Esercizio 1: Per ciascuna delle funzioni sotto indicate: (a Si determini il dominio di f ed eventuali simmetrie ( punti; (b Si determini il segno di f ed eventuali intersezioni con gli assi ( punti; (c Si determinino gli eventuali asintoti (4 punti; (d Si determinino gli intervalli di monotonia, e i punti di massimo e minimo relativi (4 punti; (e Si determinino gli intervalli di concavità e convessità e gli eventuali flessi (4 punti; 1

2 (f Si disegni il grafico (4 punti. (d Si scriva l equazione della retta tangente al grafico di f(x nel punto x 0 indicato accanto alla funzione (4 punti; (e Si trovino il minimo e il massimo assoluti nell intervallo [a, b] indicato accanto alla funzione (4 punti. 1. f(x = x2 9 x+1, x 0 = 0, [a, b] = [0, 2]. 2. f(x = x+1 x 2 +1, x 0 = 1, [a, b] = [ 4, 2].. f(x = log(1 x, x 0 = 0, [a, b] = [ 2, 0]. 4. f(x = x2 2x+1 x 2, x 0 = 1, [a, b] = [, 6]. 5. f(x = e x e x, x 0 = 0, [a, b] = [ 1, 1]. 6. f(x = (4 x 2, x 0 = 0, [a, b] = [ 1, 1]. 7. f(x = x2 1 x 2 4, x 0 = 1, [a, b] = [ 1, 1]. 8. f(x = x 1 x 2 x 6, x 0 = 1, [a, b] = [ 1, 2]. 9. f(x = x ln x, x 0 = 1, [a, b] = [ 1 e 2, 2]. 10. f(x = e x+1 x 2 +1, x0 = 1, [a, b] = [ 1 e 2, 2]. ( 11. f(x = ln x, x x = 1, [a, b] = [ 1 2, 2]. 12. f(x = x 1 x 2 +1, x 0 = 0, [a, b] = [ 2, 2]. 1. f(x = ln(x 2 1, x 0 = 2, [a, b] = [, 5]. 14. f(x = e (1 x2, x 0 = 0. [a, b] = [ 2, ]. 15. f(x = (1 2x, x 0 = 1, [a, b] = [ 5, 0]. 2

3 Esercizio 2: Si calcolino i seguenti limiti, senza l uso del Teorema de l Hôpital (6 punti: e x 2 1 x 0 1. lim tan 2 2x, [Risp. = 1 4 ]; 2. lim 1 cos x x 0 sin x, [Risp. = 0];. lim x 0 2 cos x 1 x 2, [Risp. = 2]; sin x 4. lim x 0 log(x+1, [Risp. = ]; 5. lim x 1 tan(x 1 x 1, [Risp. = 1]; 6. lim x, [Risp. = 2]; ( x 1 x 2, [Risp. = e 2 ]. x 0 log(2x+1 7. lim x + 8. lim x + 9. lim x 10. lim x 11. lim ( x, [Risp. = 0]. x 2 +1 ( x x+5 x+1 ( 2 4x 4 2x 4 +x ( x 2 2x+1 x 1 2x lim x 2 ( x 2 +6x+8 x 2 +10x+16, [Risp. = + ]., [Risp. = 2]., [Risp. = 0]., [Risp. = 1 ]. Esercizio : Si calcoli la derivata delle seguenti funzioni (4 punti: ( 1. f(x = log x. x f(x = e x 1 x f(x = log(x f(x = x +5x 2 + x f(x = e (1 x2.

4 6. f(x = x+1 x 2 1. Esercizio 4: Si calcolino i seguenti integrali definiti (6 punti: 1. e 1 log(x x dx, [Risp. = 1 2 ]; e 2x dx, [Risp. = 1 1+e 4x 2 arctg(e2 2 4 ];. 2 0 xex2 1 dx, [Risp. = 1 2 (e 1 e ]; 4. 0 x 2 2 dx, [Risp. = 2 log 5]. x 2 +x+2 5. π 4 0 sin 2 xdx, [Risp. = π ] x + 1dx, [Risp. = ] xex dx, [Risp. = 1] x2 e x 4 dx, [Risp. = 1 (e4 e 4 ]. Esercizio 5: Si dia la definizione composta f(g(x e si calcoli f(g(x nel caso che f(x = e 1 x e g(x = x 2 + 2x + 1 (Teoria, 6 punti. Esercizio 6: Si dia la definizione di derivata e si calcoli, usando la definizione, la derivata della funzione f(x = x 2 nel punto x 0 = 2 (Teoria, 6 punti. Esercizio 7: Si dia la definizione di massimo e minimo assoluto di una funzione in un intervallo [a, b] e si enunci il teorema di Weierstrass (Teoria, 6 punti. Esercizio 8: Si spieghi il significato geometrico della derivata (Teoria, 6 punti. Esercizio 9: Si dia la definizione di funzione crescente e strettamente crescente. e si enuncino i teoremi che si conoscono su questo argomento (Teoria, 4

5 6 punti. Esercizio 10: Si dia la definizione di funzione decrescente e strettamente decrescente. e si enuncino i teoremi che si conoscono su questo argomento (Teoria, 6 punti. Esercizio 11: Si dia la definizione di massimo e minimo relativi per una funzione e si enuncino i teoremi che si conoscono su questo argomento (Teoria, 6 punti. Esercizio 12: Si dia la definizione di funzione convessa in un punto e di punto di flesso. e si enuncino i teoremi che si conoscono su questo argomento (Teoria, 6 punti. 5