ESERCITAZIONE 16 : STUDIO DI FUNZIONI

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1 ESERCITAZIONE 16 : STUDIO DI FUNZIONI tommei@dm.unipi.it web: tommei Ricevimento: su appuntamento Dipartimento di Matematica, piano terra, studio Marzo 2013

2 Esercizio 1 A partire dalla conoscenza del grafico di g(x) = ln x, disegna il grafico di Determina poi per f(x): a) campo di esistenza; f(x) = 1 x ln x b) eventuali intersezioni con gli assi coordinati; c) per quali x R si ha f(x) < 0; d) limiti agli estremi del campo di esistenza; e) insieme immagine.

3 Esercizio 1 f(x) = x ln x

4 Esercizio 1 f(x) = x ln x

5 Esercizio 1 f(x) = 1 x ln x

6 Esercizio 2 A partire dalla conoscenza del grafico di g(x) = 2 x, disegna il grafico di Determina poi per f(x): a) campo di esistenza; f(x) = x b) eventuali intersezioni con gli assi coordinati; c) per quali x R si ha f(x) 0; d) limiti agli estremi del campo di esistenza; e) insieme immagine.

7 Esercizio 2 f(x) = 4 2 x

8 Esercizio 2 f(x) = x

9 Esercizio 3 Trova l espressione analitica di una funzione reale di variabile reale f(x) definita e continua su tutto R e tale che: lim f(x) = 4 f(0) = 2 f(2) = 0 x

10 Esercizio 3 Una possibile funzione è la seguente: f(x) = 4 2 x/2+1

11 Esercizio 4 Calcola la derivata prima delle seguenti funzioni: a) f(x) = ex (x 4) x + 1 c) f(x) = cos x sin2 x ln(x 3 3 x) b) f(x) = (x 2) ln 1 x d) f(x) = 2 x 1 + x2 + 2 x

12 Esercizio 5 Studia la seguente funzione reale di variabile reale: f(x) = x + ln 1 x x 1

13 Esercizio 5 CAMPO DI ESISTENZA La funzione f(x) non è definita su tutto l insieme dei numeri reali. Per prima cosa il denominatore deve essere diverso da 0 quindi x 1. Inoltre l argomento del logaritmo naturale deve essere maggiore di 0: poiché è presente un valore assoluto l argomento è sicuramente non negativo, quindi dobbiamo solo escludere quando è uguale a 0, che si verifica per x = 1. Di conseguenza il campo di esistenza della funzione è {x R : x 1} SEGNO Se x < 1 allora 1 x > 0, possiamo eliminare il valore assoluto e quindi la funzione diventa x + ln(1 x) f(x) = x 1 Per studiare il segno di questa funzione devi studiare il segno del numeratore e del denominatore (sempre nel caso x > 1) e fare poi il prodotto dei segni. Per studiare il segno del denominatore può essere utile un approccio grafico: x + ln(1 x) > 0 ln(1 x) > x Si disegnano i grafici di y = ln(1 x) e y = x e si guarda dove il primo sta sopra al secondo. Se invece x > 1 allora 1 x, 0, possiamo eliminare il valore assoluto cambiando di segno l argomento e quindi la funzione diventa x + ln(x 1) f(x) = x 1

14 Esercizio 5 LIMITI lim = + x 1 lim = 1 x lim = x 1 + lim = 1 x + La funzione presenta quindi due asintoti, uno verticale x = 1 ed uno orizzontale y = 1. DERIVATA PRIMA E PUNTI STAZIONARI Se x < 1 f ln(1 x) (x) = (x 1) 2 e f (x) = 0 ln(1 x) = 0 x = 0 Studiando il segno della derivata si capisce che x = 0 è un punto di minimo relativo. Se x > 1 f ln(x 1) (x) = (x 1) 2 e f (x) = 0 ln(x 1) = 0 x = 1 Studiando il segno della derivata si capisce che x = 1 è un punto di massimo relativo.

15 Esercizio 5 - Grafico

16 Esercizio 6 Determina i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: a) f(x) = x 1 x b) f(x) = (x 5) e x c) f(x) = 2 x x 2 d) f(x) = 1 (x 2) 4 5 e) f(x) = x f) f(x) = (1 x ) 2

17 Esercizio 7 Determina gli eventuali massimi e minimi assoluti delle seguenti funzioni negli intervalli a fianco indicati: a) f(x) = 3 x 4 8 x 3 6 x x [0, 3] b) f(x) = sin x cos x + cos x [0, 2 π] c) f(x) = x ln 2 x [0, + ] d) f(x) = x 1 + x 2 [, + ]

18 Esercizio 8 Determina per quali valori del parametro reale a la seguente funzione f(x) ammette un massimo o un minimo per x = 0: f(x) = (a 2 2) x 2 + (a 3) x cos x.

19 Esercizio 9 Determina per ciascuna delle seguenti funzioni gli eventuali flessi e gli intervalli di convessità: a) f(x) = x x 6 b) f(x) = e x2 c) f(x) = ex + e x 2 d) f(x) = x sin x ln x

20 Esercizio 10 Determina gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni: a) f(x) = x2 4 x + 1 b) f(x) = x e 1 x c) f(x) = e x sin 2 x d) f(x) = 1 + x x

21 Esercizio 11 Studia (campo di esistenza, segno, limiti, simmetrie, periodicità, asintoti, derivate, punti stazionari, convessità, grafico) le seguenti funzioni reali di variabile reale: a) f(x) = x 4 6 x 2 b) f(x) = x2 + 1 x 1 c) f(x) = x2 x 2 (x + 1)3 d) f(x) = (x 3) 2 x 2 x 3 e) f(x) = (1 x 2 ) x g) f(x) = x 4 f) f(x) = x2 x 2 1 (x3 1) h) f(x) = x i) f(x) = ex 3 x l) f(x) = e2 x x 2 4