Studio del grafico di una funzione

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Studio del grafico di una funzione"

Rossana Leo
5 anni fa
Visualizzazioni

1 Studio del grafico di una funzione I) Studia il grafico delle seguenti funzioni razionali fratte: ) = y [ as. v. ; as. + 4; M (0;0), m( 4;6 ) = ) [ as. v. = ± ; as. 0; F(0;0) a tg. obliqua ) 4). [ as. v. = ± ; as. obl. ; m ; ; ; ; F(0;0) a tg. orizz. [ as. v. = 4; as. ; m(; ) M (6; 9) 4 M 5) [ as. v. = 0; as. 0; M ; F; a tg. obliqua 6) = + y [. v. = ; as. ; m( 0;0) ; M ( ; 4) as 7) 4 [ as. v. = ; as. + 8) y + 4 = [ as. v. 0; as. ; m( ;) = 9) y + = = [ as. v. 0; as. ; m( ;0 ) 55

2 ) [ as. ; m ( + ) ; ; M ; + ; F 0; ; F ; ; F ; ; flessi a tg. obliqua 8 8 ) 4 + [ as. v. = 0; as. 4; M ( ; ( + 4) ); m ( ; 4) ) [ as. v. = 5; as. ; M ( ; ); m( 7;9) 5 ) 4 [ as. v. = ; as. + 4) [ as. v. = 0 as. 5) 4 + [ ; ;.. 4; ; as v = as obl M 4 6 M ; ; = = p. ti angolosi 56

3 II) Funzioni irrazionali Esempio Consideriamo la funzione irrazionale: D f : 0 Intersezioni con gli assi: 0 Per 0 = / = / / sol. Quindi non ci sono intersezioni con gli assi. Segno della funzione: y > 0 > 0 > > 0 0 > Studio dei limiti: ( ) lim f () = lim = lim + + = 0 0 asintoto orizzontale per + lim f () = Ricerca asintoto obliquo: f () - lim = lim / + = lim = / ( ) - lim f () ( ) = lim ( ) = lim + = 0 asintoto obliquo per 57

Studio della derivata / y'= / = y'= 0 = 0 = / sol. y'> 0 > < 0 0 0 > / sol. Quindi la funzione è crescente per (e decresce per ).

4 Studio della derivata / y'= / = y'= 0 = 0 = / sol. y'> 0 > < > / sol. Quindi la funzione è crescente per (e decresce per ). Osserviamo che = ± sono punti a tangente verticale con: lim f '() = + lim + f '() = NOTA: per tracciare il grafico occorre calcolare y() = e y() = ma non è necessario lo studio di y''. Il grafico è il seguente: 58

5 Studia il grafico delle seguenti funzioni irrazionali: ) [ as. per + ; as. + per ; = 0 = p. ti tg vert. ) 9 [ as. per + ; as. per ; = ± p. ti tg vert. ) [ as. v. = ± ; m0; 4 4) [ as. v. = ; as. ; = p. to tg ver + 5 ) [ as. v. = ; = p. to tg vert.; F flesso tg obl + ; 6) [ as. per + ; as. per ; = = p. ti tg vert. 7) [ as. per + ; as. per ; = ± p. ti tg vert. 8) [ as. v. = ± ; as. per + ; 5 as. per ; = ± 5 p. ti tg vert. = [ ; ; 4 9) y + m F ( ;0) F ( 0;0) flessi tg. vert = ( ) [ as. + ; M ( ; 4) 0) y + 59 ( 0;0) cuspide; F( ;0) flesso tg vert.

6 III) Funzioni goniometriche Esempio Consideriamo la funzione goniometrica Dominio: cos cos cos ± π + kπ D f = R ± π + kπ Periodo: poiché nella nostra funzione compare cos il periodo sarà quello del coseno, cioè π : quindi T = π Quindi possiamo limitare il nostro studio all intervallo I = [ 0,π. Note Se nella funzioni compaiono funzioni goniometriche di periodo diverso occorre determinare il minimo multiplo comune. Se per esempio abbiamo sen e sen il periodo sarà π poiché sen ha periodo π = π e sen periodo π. Se abbiamo insieme sen e cos il periodo sarà π cioè il primo multiplo comune tra i periodi delle due funzioni π e π. Inoltre considerare un dato intervallo di studio non vuol dire che la funzione sia definita in tutto l intervallo. Nel nostro caso studiamo la funzione in I = [ 0,π ricordando però che π 5 π (infatti ± π + kπ ). Intersezioni con gli assi e segno della funzione: = 0 0 cos = 0 = π + kπ π ;0 π;0 y > 0 cos cos > 0 cos < 0 cos > 60

7 lim f () = Appunti di Matematica 5 π lim f () = 5 π = π, = 5 π asintoti verticali Ricordiamo che non ha senso studiare lim ± f () per una funzione periodica. sen(cos ) cos (sen) sen y'= = (cos ) (cos ) y'= 0 sen = 0 = kπ = 0 = π = π y'> 0 sen > 0 Il grafico è quindi il seguente: ( ;) m ( 0;) m (π ;) M π 6

8 Studia il grafico delle seguenti funzioni goniometriche: ) sen ) cos cos cos 5 [ T = π I = 0;π ; M π ;; m π ; 6 6 π 4 F ;0 F π ;0 flessi tg [ ; [ 0; [ T = π I = π as. v. = 0; = π ; mπ ; ) sen cos sen cos [ 0 [ T = π I = ;π 4) 4sen π as. v. = ; = π ; F ; ; F ; flessi tg 6 6 π 4 π 4 [ 0 [ T = π I = ;π π m 0 ( ; ; ) m ( π; ; ) ; M ; ; π F ; ; F π ; ; flessi tg 4 4 5) sen + cos [ T = π I = [ 0;π ; π m ( ;) ; m ( π; ); m ( π ;) ; M ; ; M π; ( β ); F ( β ;...); F ( π β ;...); F ( π β ;...) flessi tg. F ;... 4 obl dove + cos β =, cos β = 8 8 6) sen. m π ; ; π M ;; F [ T = π I = [ 0; π ( 0;0) ; F ( π ;0); F ( π ;0) flessi tg.; or ( α ); F ( π α;... ); F ( π + α;... ); F ( π α;... ) flessi tg.. F4 ; obl dove = senα 6

9 IV) Funzioni esponenziali Esempio Consideriamo la seguente funzione esponenziale: : R D f y > 0 > 0 = 0 0 e H lim e = lim = lim = e + e asintoto orizzontale lim e = f ( ) ( lim = lim e = + asintoto obliquo) y' = e e y' = 0 = y' > 0 < = e ( ) M (; e ) (; 0,7) y' ' = e y' ' = 0 = y' ' > 0 > ( ) e = e + e = e ( ) F (;e ) (; 0,7) 6

10 V) Funzioni logaritmiche Esempio Consideriamo la seguente funzione logaritmica ln D f : y > 0 > 0 ln 0 ln > 0 > 0 = 0 D lim f ( ) = lim f ( ) = 0 lim f ( ) = + + H lim f () = lim + lim + f () + f = = = lim + = + H = lim + ln = lim y'= ln ln = y'= 0 ln = = e y'> 0 ln > > e + ln as. verticale = lim = + / as.obliquo + ( ln ) m ( e;e) (,64; 5,4) Il grafico quindi risulta: 64

11 Osservazione: H ln ln lim y'= lim = 0 lim = + + lim 0 0 ln ln 0 + ln e quindi la tangente in (0;0) è orizzontale. = lim 0 + ln = 0 Controlliamo anche la concavità del grafico: y''= D ln =... = ln ln + ln ln y '' = 0 nessuna soluzione (non ci sono flessi) y''> 0 ln > 0 > (concavità verso l alto) 65

12 Studia il grafico delle seguenti funzioni logaritmiche ed esponenziali: ) e [ as. v. 0; as. ; M ( ; e) ; lim y' = 0 = + 0 ) e e [ as. v. = 0; as. 0 per as. per + ) e [ as. 0 per + ; m( 0;0) 4) y ln ( ;4e ); F ( ;... ); F ( ;... ) flessi tg M + = [. v. 0; m( ; ) as = 5) ln 4 [ as. v. = ± 6) y ln = [ lim 0 m( e ; ) 0 + e 7) ln [ as. v. = 0; as. 0; m e; e Fe 4 4 ; fe flesso tg 8 ) ln ( ln + ) [ as. v. = 0; m ; ; F e; flesso tg e

Documenti analoghi

G5. Studio di funzione - Esercizi

G5. Studio di funzione - Esercizi G5 Studio di funzione - Esercizi Tracciare il grafico delle seguenti funzioni I grafici delle seguenti funzioni sono al termine degli esercizi Per gli esercizi con l asterisco non è richiesta, date le