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1 Schema riepilogativo per lo studio di una funzione reale di una var. reale. Studio grafico-analitico delle funzioni reali di variabile reale y = f ( Sequenza dei passi utili allo studio di una funzione reale Stabilire se la funzione presenta delle simmetrie e/o è periodica. Determinare il Campo di Esistenza, o Dominio, D della funzione. (Si tratta di individuare l insieme dei punti in cui la funzione è definita ovvero di escludere, tutti i numeri reali, che originano operazioni non lecite o che non soddisfino eventuali limitazioni per la funzione). In pratica * Se y = f ( è simmetrica rispetto all asse y, deve verificarsi: f ( = f ( (funzione pari). * Se la funzione è simmetrica rispetto all origine degli assi, deve verificarsi: f ( = f ( (funzione dispari). Nel caso in cui la funzione sia simmetrica, si può restringere lo studio della funzione ai soli valori postivi e dunque costruire il grafico nel solo semipiano ; per ottenere il grafico completo basterà simmetrizzare la curva ottenuta. * Se f ( è periodica, si può limitare lo studio all ampiezza del periodo. Classificare il tipo di funzione: è una funzione razionale intera il suo dominio è costituito da tutto l'asse Reale la funzione è una razionale fratta, imporre che il denominatore sia diverso da zero. I punti x i che annullano il denominatore della funzione non appartengono a D che, pertanto è dato da { x i }; le rette verticali passanti per quei punti sono asintoti verticali per la curva; la funzione è irrazionale, di ha: - se l indice della radice è pari, s impone che il suo argomento (il radicando) sia non negativo poichè la funzione è a valori reali. - se l indice della radice è dispari, non ci sono imposizioni da fare ovvero il radicale non ha limitazioni. Se la funzione è logaritmica bisogna tener presente ricordati che il logaritmo è definito solo per valori strettamente positivi del suo argomento. Se la funzione è trigonometrica bisognerà imporre che gli argomenti della funzione tangente siano diversi da multipli dispari di angoli retti ovvero (2k + 1), k. 2 Per le funzioni arcsin( ) e arccos( ) bisogna tener presente che l argomento dev essere compreso tra 1 e +1. Tutte le altre funzioni non hanno limitazioni per i propri argomenti. Quando la funzione è composta da funzioni di tipo diverso (o ne è la somma od il prodotto) tutte le imposizioni debbono essere verificate contemporaneamente, ovvero le condizioni dovranno essere legate e condotte π

2 algebricamente come un sistema di disequazioni. Il dominio D è, dunque, l unione dei diversi intervalli in cui la funzione assume valori reali. Studio del segno della funzione ed intersezione con gli assi. Segnare graficamente gli intervalli o i punti in cui la funzione non esiste. Risolvere la disequazione f ( > 0 per determinare gli intervalli in cui la funzione è positiva e, conseguentemente, dov è negativa e nulla. In particolare i punti P i ( x i,0) costituiscono le intersezioni con l asse delle ascisse. L intersezione con l asse delle ordinate è il punto P ( 0, f (0)) se 0 D. L intersezione con l asse x si ottiene mettendo a sistema l'equazione della curva con l'equazione dell'asse delle ascisse: ovvero risolvendo l'equazione f ( = 0 come già scritto,quella con l asse y mettendo a sistema l'equazione della curva con l'equazione dell'asse delle ordinate: ovvero calcolando, se possibile, y = f (0). Studiare con i limiti il comportamento della funzione agli estremi del dominio. Ricerca degli eventuali asintoti verticali, orizzontali ed obbliqui Negli intervalli in cui la funzione risulta positiva, la curva sarà situata sopra l'asse delle ascisse. Riportare i risultati sul grafico, escludendo le zone che la curva non attraversa. Calcolare limiti della funzione nell'intorno dei punti estremi del dominio inclusi, eventualmente, gli estremi infiniti. Classificare le eventuali discontinuità della funzione. Riportare con un segno grafico il comportamento della curva nell'intorno di tali punti. Se lim f ( = ± ovvero se la funzione x c presenta una discontinuità di seconda specie per x=c, la retta x=c è un asintoto verticale. Se lim f ( = b (finito), x ± la retta y=b è un asintoto orizzontale.

3 Se la funzione non possiede asintoti orizzontale, potrebbe possederne di obliqui Calcolo delle derivate prima e seconda. Il calcolo della derivata prima serve per determinare gli intervalli in cui la funzione cresce o descresce, e per individuare i probabili punti di massimo e minimo relativi. Il calcolo della derivata seconda serve per determinare gli intervalli in cui la curva è concava o convessa, e per individuare i probabili punti di flesso. Ricerca degli eventuali punti di massi mo e di minim o relativ o. Studio della monot onia della funzio ne ovvero della forma y=mx+q dove f ( m = lim ; q = lim [ f ( mx] x ± x x ± se esiste il limite che definisce m ; in caso contrario la funzione non possiede asintoti obliqui. =... =... Condizione necessaria affinché un punto sia di massimo o di minimo relativo è che f ( = Dunque si tratta di risolvere tale equazione. I valori x i che la soddisfano sono solo probabili punti di massimo o minimo relativi, in quanto potrebbero anche essere punti di flesso. I punti in cui si annulla la derivata prima si dicono punti stazionari o punti critici. Per sapere se questi sono punti di massimo o di minimo per la curva si può procedere in due modi. 1 metodo: si studia il segno della derivata prima, ovvero si impone che f ( > Lo studio degli intervalli di monotonia, cioè dove la curva è crescente (derivata prima positiva) o decrescente (derivata prima negativa), ci fa comprendere se i punti stazionari trovati sono di massimo o di minimo. Se la derivata nell'intorno di tali punti non cambia di segno, questi non sono nè di massimo nè di minimo ma di flesso a tangente orizzontale ed in tali punti la 0 0

4 Calcolo delle ordinate degli eventuali punti di massimo, di minimo relativo o di flesso a tangente orizzontale funzione ha un cambiamento di concavità con tangente orizzontale. 2 metodo (delle derivate successive): si sostituiscono le ascisse dei punti di accumulazione x i nella derivata seconda f ''( e si guarda il segno che questa assume: se f ''( xi ) è positiva la concavità è rivolta verso l'alto perciò il punto è di minimo; se f ''( xi ) è negativa la concavità è rivolta verso il basso per cui il punto è un massimo. Se risulta f ''( x i ) = 0, calcolano le derivate successive fino alla prima non nulla in x i, sia essa f ( xi ). Se n è pari allora il punto è di minimo relativo se f ( xi ) > 0 mentre è di massimo relativo se f ( xi ) < 0 ; e n è dispari allora il punto è di flesso a tangente orizzontale ascendente se f ( xi ) > 0, discendente se f ( xi ) < 0. Basta sostituire una alla volta le ascisse dei punti di massimo, di minimo o di flesso nell'equazione della curva e ricavare l'ordinata. Studio dei punti di non derivabilt à Riportare con un segno i risultati sul grafico. Determinato il Campo di Esistenza (dominio) della derivata prima y = f (. Se x 0 è un punto appartenente al CDE della funzione, ma è un punto di non derivabilità: con allora x 0 è un punto angoloso; e

5 allora x 0 è una cuspide; Studio della concavità e della convessità della funzione: Ricerc a degli eventu ali punti di flesso allora x 0 è un flesso a tangente verticale. Le soluzioni dell equazione f ''( = 0, se appartengono al dominio ed ivi la funzione è due volte derivabile sono molto probabilmente le ascisse dei punti di flesso; sae non appartengono al dominio sono, ascisse di punti in cui la funzione cambia concavità a fronte di un salto (discontinuità). Studiando y '' = f ''( si ritrovano anche eventuali flessi a tangente orizzontale già determinati con lo studio della derivata prima e mostrati graficamente qui a sinistra. Studiando il segno della derivata seconda partendo dalla risoluzione della disequazione f ''( > 0. Negli intervalli in cui f '' risulta positiva, la curva volge la concavità verso l'alto (convessa), in caso contrario verso il basso (concava). Le soluzioni di f ''( = 0, come già accennato, sono le ascisse dei punti in cui la curva cambia la sua concavità, i punti di flesso e la tangente si dispone orizzontalmente se essi già annullavano la derivata prima, altrimenti la tangente è obliqua. Calcolo delle ordinate dei eventuali punti di flesso Basta sostituire una alla volta le ascisse dei punti diflesso trovati nell'equazione della curva e ricavare l'ordinata. Riportare con un segno i risultati sul grafico. A questo punto si dispone di sufficienti elementi per comporre l andamento della curva aiutandosi, eventualmente ed ulteriormente, ricavando altri punti dando valori alla x e ricavando la corrispondente y nell espressione y = f ( che definisce la funzione.

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