MATEMATICA. a.a. 2014/15

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1 MATEMATICA a.a. 2014/15 3. DERIVATE E STUDIO DI FUNZIONE (II parte): Massimi, minimi e derivata prima. Flessi e derivata seconda. Schema per lo studio qualitativo completo di una funzione y=f(x)

2 Crescenza e decrescenza. Minimi e massimi L uso delle derivate è molto utile per lo studio delle funzioni e, in particolare, per la ricerca di eventuali punti di minimo e di massimo. Consideriamo una funzione derivabile f(x) e la sua derivata prima f (x). Dalla definizione di derivata come limite del rapporto incrementale segue che nei tratti in cui f (x) è positiva, la funzione è crescente, mentre nei tratti in cui f (x) è negativa la funzione è decrescente. Che cosa succede nei punti in cui la derivata si annulla? Occorre distinguere vari casi, come si vedrà a breve. Tuttavia, è importante introdurre una definizione. Data una funzione derivabile y=f(x)e un suo punto x= x 0 in cui f (x 0 )=0 viene detto punto stazionario (o punto critico o estremo) della funzione f. Ci sono due categorie particolarmente importanti di punti critici: i punti di minimo e di massimo locale (o minimo e massimo relativo, definiti sulla base di tutti gli x sufficientemente vicini a x 0 ). Minimi e massimi locali sono sempre punti critici. I punti critici che non sono né minimi né massimi locali sono chiamati punti di flesso (e a volte si aggiunge orizzontale, per ricordare che la retta tangente in quel punto è orizzontale).

3 Crescenza e decrescenza. Minimi e massimi TEOREMA: Data una funzione y=f(x) definita in un intervallo [a,b] e derivabile in (a,b), se f(x) ha un massimo o un minimo relativo nel punto x 0, interno ad [a,b], la derivata della funzione in quel punto si annulla, cioè f (x)=0. Se in un punto x 0 si ha f (x 0 )=0 e se inoltre: f (x) è negativa a sinistra di x 0 e positiva a destra di x 0, la funzione ha un minimo in x 0 x 0 Minimo locale Se in un punto x 0 si ha f (x 0 )=0 e se inoltre: f (x 0 ) è positiva a sinistra di x 0 e negativa a destra di x 0, la funzione ha un massimo in x 0 ; x 0 Massimo locale

4 Crescenza e decrescenza. Minimi e massimi Occorre studiare il segno della derivata I: f ( x) = 2x ( ) f x = 2x < 0 per x<0 f decrescente ( ) f x = 2x > 0 per x>0 f crescente x=0 è un punto di minimo relativo ( x) Si ha che f = 0 f ( x) 0 > 2x > 0 x > min

5 Crescenza e decrescenza. Minimi e massimi Consideriamo la funzione: 3 y = f ( x) = x 3x ( ) 2 f x = 3x 3 Studiamo il segno di f (x): 2 3x 3 > MAX min I corrispondenti valori della funzione sono Max=f(-1)=2 e m=f(1)=-2

6 Crescenza e decrescenza. Minimi e massimi TEOREMA. Data la funzione y=f(x) definita e continua in un intorno completo I x0 del punto x 0 e derivabile nello stesso intorno, x 0 è un punto di flesso orizzontale se sono soddisfatte le seguenti condizioni: f (x 0 )=0 Il segno della derivata prima è lo stesso per ogni x x 0 dell intorno I x0 In altri termini: se in un punto x 0 si ha f (x 0 )=0 e se inoltre f (x) ha il medesimo segno sia a sinistra, sia a destra di x 0, la funzione ha un flesso orizzontale in x 0. La nozione di flesso orizzontale rientra in quella «più generale» di flesso (non necessariamente orizzontale): si dice che x 0 è un punto di flesso per la funzione y=f(x) se la retta t, tangente al grafico nel punto P(x 0 ;f(x 0 )), attraversa il grafico stesso, nel senso che, in prossimità di P 0, i punti del grafico che precedono P 0 e quelli che seguono P 0 stanno da parti opposte rispetto a t.

7 Crescenza e decrescenza. Minimi e massimi Criterio di monotonia Se f è una funzione derivabile in (a,b) si ha: ( ) ( ) ( ) ( ) f x 0 x a, b f è debolmente crescente in (a,b) f x 0 x a, b f è debolmente decrescente in (a,b) Nota: per quanto riguarda la monotonia stretta si può dimostrare che: ( ) ( ) ( ) ( ) f x > 0 x a, b f è strettamente crescente in (a,b) f x < 0 x a, b f è strettamente decrescente in (a,b)

8 Riassumendo (studio della derivata prima): Per una funzione f(x) continua lo studio del segno della derivata prima (punto vi. dello schema proposto per lo studio di funzioni) è fondamentale per la ricerca dei massimi e dei minimi relativi e dei flessi orizzontali. Si procede nel seguente modo: Si calcola la derivata prima f (x) e si determina il suo dominio per trovare gli eventuali punti in cui la funzione non è derivabile Si risolve l equazione: f (x)=0 Si studia il segno di f (x) per trovare massimi e minimi relativi e i flessi a tangente orizzontale - se f (x)<0 per x<x 0 sufficiente vicino a x 0 e f (x)>0 per x>x 0 sufficientemente vicino a x 0, allora f è decrescente prima di x 0 e crescente dopo x 0, per cui x 0 è un punto di minimo locale; - se f (x 0 )>0 per x<x 0 sufficientemente vicino a x 0 e f (x)<0 per x>x0 sufficientemente vicino a x 0, allora f è crescente prima di x 0 e decrescente dopo x 0, per cui x 0 è un punto di massimo locale; - se f (x) ha lo stesso segno da entrambi i lati di x 0, allora x 0 è un punto di flesso (a tangente orizzontale).

9 Flessi e derivata seconda TEOREMA. Sia y=f(x) una funzione definita e continua in un intervallo I, insieme con le sue derivate prima e seconda, e sia x 0 un punto interno a questo intervallo. Se in x 0 è f (x 0 ) 0, il grafico della funzione volge in x 0 : - la concavità verso l alto se f (x 0 )>0 - la concavità verso il basso se f (x 0 )<0 Esempio y = x y = 6x y = 12x Studiamo il segno della derivata seconda: f ( x) > 0 12x > 0 per x > 0 quando x<0 la concavità è rivolta verso il basso, quando x>0 la concavità è rivolta verso l alto.

10 Flessi e derivata seconda TEOREMA. Sia una funzione y=f(x) definita in un intervallo [a,b] e in tale intervallo esistano le sue derivate prima e seconda. Se f(x) ha un flesso nel punto x 0 interno ad [a,b], la derivata seconda della funzione in quel punto si annulla, cioè: f ( x ) = 0 0 Il teorema fornisce una condizione necessaria ma non sufficiente per l esistenza di un flesso in un punto. Se nel punto x 0 la funzione non è derivabile, non è possibile applicare il teorema precedente, ma nel punto può ugualmente essere presente un flesso. Per trovare i punti di flesso possiamo studiare il segno della derivata seconda. Vale infatti il seguente teorema: TEOREMA. Sia data la funzione y=f(x) definita e continua in un intorno completo I x0 del punto x 0 e in tale intorno esistano le sue derivate prima e seconda per ogni x x 0. Se per ogni x x 0 si ha: i oppure i 0 ( ) ( ) f x > 0 per x<x e f x < 0 per x>x ( ) ( ) f x < 0 per x<x e f x > 0 per x>x allora x è un punto di flesso.

11 Flessi e derivata seconda ESEMPIO La funzione: ( ) 3 2 f x = x 2x + x definita e continua in R presenta derivate: ( ) 2 f x = 3x 4x + 1 ( ) 6 4 f x = x Studiamo il segno di f (x): 6x 4 > 0 per x > 2/ In x=2/3 la funzione ha un flesso (di tipo ascendente)

12 Schema per lo studio qualitativo di funzioni A questo punto abbiamo sufficiente conoscenza e padronanza delle tecniche per effettuare quello che si chiama studio qualitativo delle funzioni. In altre parole, siamo in grado (almeno per funzioni che ammettono due derivate) di ottenere un idea piuttosto precisa, anche se qualitativa, dell andamento del grafico della funzione. Tipicamente si procede nel modo seguente: - Si identifica il campo di esistenza della funzione, trovando eventuali punti singolari e gli estremi degli intervalli che compongono il dominio di definizione; - Si vede se la funzione è pari, dispari o nessuna delle due; - Si studia il segno della funzione, in modo da capire in quali intervalli è positiva e in quali è negativa (e in quali punti si annulla); - Si studia l intersezione della funzione con gli assi; - Si calcola il limite (se esiste) della funzione nei punti singolari, negli estremi degli intervalli di definizione e all infinito (quando ha senso farlo); - Si studia il segno della derivata prima, in modo da capire in quali intervalli la funzione è crescente e in quali è decrescente; inoltre si calcolano i punti critici (cioè gli zeri della derivata) e il valore della funzione in questi punti, in modo da poter porre sul grafico tutti i minimi, massimi e punti di flesso; - Si studia il segno della derivata seconda, in modo da capire in quali intervalli la funzione è convessa e in quali è concava, e da distinguere minimi e massimi locali dai punti di flesso. - Disegno (schizzo) del grafico