FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE

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1 FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE INTERVALLI Per definire il campo di esistenza (o dominio) di una funzione reale di variabile reale y=f()si devono indicare talvolta insiemi di numeri reali che su una retta orientata e graduata sono rappresentati dagli infiniti punti di un segmento di dati estremi. Tali insiemi (di numeri reali o di corrispondenti punti) si dicono intervalli. Intervallo di estremi a e b (ab) è l insieme dei numeri reali. Tali intervalli si possono indicare: INTERVALLI LIMITATI a b intervallo aperto ] a, b [ a b intervallo chiuso [ a, b ] a b intervallo chiuso inferiormente aperto superiormente [ a, b[ a b intervallo aperto inferiormente e chiuso superiormente ] a, b ] INTERVALLI ILLIMITATI < c ] -, c[ c ] -, c] > c ]c, + [ c [c, + [ INTORNO DI UN PUNTO Ogni intervallo limitato, aperto o chiuso riferito ad un dato punto 0, in modo che 0 ne sia un punto interno oppure uno degli estremi, viene chiamato intorno del punto 0. Quando 0 è interno si dice completo e viene chiamato intorno di 0, quando 0 coincide con l estremo inferiore si tratta di intorno destro di 0, e se 0 coincide con l estremo superiore si tratta di intorno sinistro di 0. 1

2 FUNZIONI Date due variabili e y si dice che la variabile y è funzione della variabile quando fra le due variabili esiste una relazione per effetto della quale a ogni valore di corrisponde un solo valore per la variabile y. y= f () = variabile indipendente y= variabile dipendente DOMINIO DI UNA FUNZIONE E l insieme dei valori che possono essere assegnati alla variabile indipendente in corrispondenza dei quali è possibile calcolare il valore della variabile y. Determinazione del dominio di una funzione: Funzione razionale intera: è costituito dall insieme R dei numeri reali Esempio: y 5 4 dominio :R Funzione razionale fratta: è costituito dall insieme R dei numeri reali esclusi quelli che annullano il denominatore. esempio: y= dominio R/ 1 Funzioni irrazionali:una funzione è irrazionale quando la variabile indipendente figura anche sotto il segno di radice. Se l indice è pari il radicando deve essere positivo o nullo ed il dominio è costituito da tutti i numeri reali diversi da quelli che rendono negativo il radicando. Esempio: y 1 deve essere Quindi il dominio è : 1. Se l indice è dispari il radicando può essere anche negativo ed il dominio è costituito dall insieme dei numeri reali. Esempio: y 4 si ha: dominio: R Funzione esponenziale: è definita da tutti i valori per i quali è definito l esponente. Esempio: 4 4 y deve essere definita la funzione che figura come esponente quindi Dominio: R/ Funzione logaritmica: data una funzione logaritmica y= log a f ( ) (a>0 a 1) in questo caso deve essere f()>0. Esempio:

3 y log( 1) deve essere -1>0 cioè >1 quindi: dominio: >1. CODOMINIO DI UNA FUNZIONE E l insieme dei valori che, in corrispondenza all insieme dei valori di, assume la variabile dipendente y. test 1) Il Dominio o Campo di Esistenza di una funzione y f () è l insieme dei valori reali che possono essere attribuiti: alla affinché il corrispondente valore reale y non sia nullo alla affinché la corrispondenza sia biunivoca alla y affinché si possa calcolare la alla affinché il criterio per calcolare la y sia effettivamente applicabile 7 ) Il Campo di Esistenza della funzione y è costituito da: ( 5) l insieme dei numeri reali diversi da zero tutti i numeri reali l insieme dei numeri reali maggiori di 5 l insieme dei numeri reali diversi da 0 e da 5 ) Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere ad ogni elemento di A: un elemento di B uno ed uno solo elemento di B almeno un elemento di B qualche elemento di B 4) Il dominio della funzione y ln( 5 ) è: R (;5) ( 5; ) ( 0;5)

4 6) Osservare il grafico della funzione y f () a lato e stabilire quale delle seguenti affermazioni è vera: il dominio della funzione è R il dominio della funzione è,, il dominio della funzione è, il dominio della funzione è R, 7) Il dominio della funzione y 9 5 è dato da: ; 5 8) Il campo di esistenza della funzione ln( 9) f ( ) è dato dalle soluzioni del sistema: ) Il campo di esistenza della funzione y è dato da: 10)Il dominio della funzione y ln( 5 ) è: R (;5) ( 5; ) (0,5) 7 11)Il Campo di Esistenza della funzione y è costituito da: ( 5) l insieme dei numeri reali diversi da zero tutti i numeri reali l insieme dei numeri reali maggiori di 5 l insieme dei numeri reali diversi da 0 e da 1) Il Dominio o Campo di Esistenza di una funzione y f () è l insieme dei valori reali che possono essere attribuiti: alla affinché il corrispondente valore reale y non sia nullo alla affinché la corrispondenza sia biunivoca alla y affinché si possa calcolare la alla affinché il criterio per calcolare la y sia effettivamente applicabile 4

5 FUNZIONI CONTINUE Una funzione f() definita in un intervallo [ a, b] si dice continua in un punto 0 di tale intervallo se esiste finito il lim 0 f ( ) e tale valore è uguale a quello che la funzione assume in 0. F() è continua se lim 0 f ( ) = f ( 0 ) Esempio: si voglia valutare la continuità della funzione di equazione y= -1 C.E. = in = 1) si calcola il valore della funzione nel punto ; f()=6 ) si calcola il valore del limite per che tende a lim ( -1 ) = 6 ) confrontare i valori della 1 e della 6= 6 la funzione è continua in =. Può capitare che pur potendo calcolare f() non sia possibile calcolare il valore del limite per che tende a 0 ma che si possa valutare tale limite in un intervallo solo sinistro o destro di 0. Se lim 0 - f ( ) = f ( 0 ) la funzione è continua a sinistra del punto 0 se lim 0 + f ( ) = f ( 0 ) la funzione è continua a destra del punto 0 TEST 1 ) Una funzione è continua in un punto c quando: non esiste il valore della funzione nel punto c, ma esiste il limite della funzione per c esiste il valore della funzione nel punto c, ma non esiste il limite della funzione per c esiste il valore della funzione nel punto c, esiste il limite della funzione per c e il limite non coincide con il valore della funzione nel punto c esiste il valore della funzione nel punto c, esiste il limite della funzione per c e il limite coincide con il valore della funzione nel punto c )Il Dominio o Campo di Esistenza di una funzione y f () è l insieme dei valori reali che possono essere attribuiti: alla affinché il corrispondente valore reale y non sia nullo alla affinché la corrispondenza sia biunivoca alla y affinché si possa calcolare la alla affinché il criterio per calcolare la y sia effettivamente applicabile 5

6 PUNTI DISCONTINUITA PER UNA FUNZIONE Una funzione non è continua in un punto 0 quando il valore da essa assunta è diverso dal valore del limite, cioè quando : lim 0 f ( ) f ( 0 ) si dice che 0 è un punto di discontinuità o punto singolare. DISCONTINUITA DI PRIMA SPECIE Una funzione definita in un intervallo escluso 0, presenta in = 0 una discontinuità di prima specie se esistono e sono diversi i due limiti: lim 0 - f ( ) = l 1 e lim 0 + f ( ) = l l 1 l la differenza l 1 - l è il salto della funzione. Esempio: y il cui dominio prevede che sia 0 Si può quindi considerare il punto =0 come punto di discontinuità. Anche se non si può calcolare il valore del suo limite in un intorno completo dello zero si può calcolare il limite in un intorno destro e in intorno sinistro. lim 0 + = e lim 0 - = quindi la funzione non esiste nel punto 0, la funzione fa un salto nel passare da un punto che si trova a sinistra dello zero ad un punto che si trova a destra. 6

7 DISCONTINUITA DI SECONDA SPECIE 5 Se si ha ad esempio una funzione y= che presenta un punto di discontinuità in = 5 si calcola il lim = Il limite è infinito e si dice che in = la funzione presenta una discontinuità di seconda specie. Una funzione f() definita in un intervallo ecluso il punto 0, ha una discontinuità di seconda specie. In = 0 se almeno uno dei limiti dalla sinistra o destra è o non esiste. DISCONTINUITA DI TERZA SPECIE Supponendo di avere la funzione y= limite: 4 ( )( ) lim = lim ( ) 4 ha un punto di discontinuità in =.Calcolando il = lim ( ) = - 4 Il risultato dimostra che la funzione è discontinua ma che la discontinuità quasi non si vede perché rimane escluso dal grafico in un solo punto. La discontinuità è eliminabile completando la definizione così : y = 4 se y = -4 se = una funzione f() definita in un intervallo l escluso, presenta in = 0 una discontinuità di terza specie o eliminabile se esiste il limite per che tende a 0, ma in 0 la funzione non esiste o ha un valore diverso dal limite. TEST 1) Data la funzione f ( ), il punto di ascissa 0 : è un punto di discontinuità di prima specie è un punto di discontinuità di seconda specie è un punto di discontinuità di terza specie non è un punto di discontinuità 7

8 TEOREMA WEIERSTRASS Una funzione continua in tutto un intervallo, ha nell intervallo un valore minimo m e un valore massimo M. esiste un punto C la cui ordinata f(c)=m sia non maggiore delle ordinate degli altri punti. esiste un punto D la cui ordinata f(d)=m sia non minore delle ordinate degli altri punti. TEOREMA DI BOLZANO Una funzione continua nell intervallo [a,b] prende in questo intervallo almeno una volta tutti i valori compresi fra m e M. TEOREMA DELL ESISTENZA DEGLI ZERI Se agli estremi dell intervallo di definizione [a,b] una funzione continua assume valori di segno contrario, vi è almeno un punto compreso fra a e b nel quale la funzione si annulla. 8

9 TEOREMA PERMANENZA DEL SEGNO Se in un punto c interno all intervallo [a,b] di definizione, la funzione continua f() assume valore diverso da zero, esiste un conveniente intorno I di c, nel quale la funzine ha lo stesso segno che ha in c. Se : lim c f ( ) = l 0 esiste un intorno I di c, tale che in questo intorno, f() ha lo stesso segno di l. 9

10 ASINTOTI DI UNA FUNZIONE ASINTOTO VERTICALE Se lim 0 - f ( ) = + oppure lim 0 + f ( ) = + la retta = 0 è un asintoto verticale per la funzione. ESEMPIO: y = 1 se lim ½ - C.E / + = - oppure lim ½ X 1 la retta = ½ è un asintoto verticale. = + X 1 10

11 ASINTOTO ORIZZONTALE Se lim + f ( ) = l oppure lim - f ( ) = l la retta y= l è un asintoto orizzontale per la funzione f() esempio: 1 y = 1 1 H lim + lim + /1= 1 y= asintoto orizzontale ASINTOTO OBLIQUO Può capitare però che una curva, per tendente all infinito si avvicini ad una retta che non sia parallela all asse delle ascisse ma obliqua, se tale retta esiste si dice asintoto obliquo per la curva Se lim + f ( ) = oppure lim - f ( )= non vi sono né asintoti orizzontali né asintoti verticali, possono esserci asintoti obliqui, cioè rette di equazione y = m+q. Si dice che y = m+q è un asintoto obliquo se : lim + [f ( )-(m+q)] = 0 oppure lim - [f ( )-(m+q)] = 0 11

12 pertanto se la retta y=m+q è un asintoto obliquo esistono i limiti m = lim + f ( )/ e q = lim + [f ( )- m] oppure: m = lim - f ( )/ e q = lim - [f ( )- m] ESEMPIO: y = C.E / 1 se lim + = + oppure lim - X 1 = - X 1 potrebbero esistere asintoti obliqui. m = lim + / = lim H = = lim + = e q = lim + [- 1 6 ( 1) - ] = lim + = lim + = 4 4 = = H lim + = 4 4 l asintoto obliquo ha equazione y = + 4 1

13 TEST 5 1) La funzione f ( ) ammette: 9 due asintoti verticali di equazioni e ed uno obliquo di equazione y ; un asintoto verticale di equazione ed uno orizzontale di equazione y ; due asintoti verticali di equazioni e ed uno orizzontale di equazione y ; un asintoto verticale di equazione ed uno orizzontale di equazione y ; )La funzione 4 f ( ) è rappresentata dal grafico seguente: Gli asintoti della funzione sopra descritta sono le rette rappresentate dalle equazioni: 0 e y ; 1 e y ; 0 e y ; 0 e y ; ) Se lim f ( ) la retta 6, per il grafico della funzione y f () è: 6 un asintoto obliquo un asintoto orizzontale una retta tangente un asintoto verticale 4) Indicare la funzione che possiede un asintoto obliquo: y y y y 1 1 5) 6 La funzione y 4 ha come asintoti le rette y e ha asintoto obliquo non ha asintoti ha come asintoto la retta y 6) 6 La funzione y 4 ha come asintoti le rette y e ha asintoto obliquo non ha asintoti ha come asintoto la retta y 7) La retta y 1 rappresenta un asintoto orizzontale per la funzione: 1

14 y 1 1 y 1 4 y 1 1 y 1 e 8)La funzione y 1 ammette un asintoto orizzontale per. Quale? y 1 y 1 y 0 y 9) Considera la funzione f ( ) ln4 ; essa: non ammette asintoti ammette due asintoti verticali ; ammette un asintoto orizzontale y 0 ammette un asintoto obliquo y 1 10) Se risulta che lim f ( ) allora: la curva y f () può presentare asintoti obliqui la curva y f () non presenta asintoti la curva y f () non presenta asintoti obliqui la curva y f () ha un asintoto obliquo f ( ) 11) Se risulta che lim f ( ) e lim allora: nulla si può dire sull esistenza dell asintoto obliquo la curva y f () presenta un asintoto obliquo con coeff. angolare m la curva y f () non presenta asintoti obliqui la curva y f () ha un asintoto obliquo di equazione y 1)La retta y è un asintoto orizzontale per la funzione: 6 1 y y 1 y y

15 DERIVATE Sia f() una funzione definita in un intervallo [a,b] e sia 0 un punto interno ad esso. Detto un punto di [a,b] distinto da 0 si dice incremento della variabile e si indica con la differenza: = - 0. questa differenza si può indicare con h h= - 0 Risulta = 0 + h e =h da cui essendo 0 si ha h 0 Siccome la funzione f() è definita in [a,b] ad 0 corrisponde f ( 0 ) e ad 0 +h corrisponde f( 0 +h) e pertanto si dice incremento della funzione relativo all incremento =h della variabile, e si indica con f la differenza: f = f( 0 +h)- f ( 0 ) Si definisce rapporto incrementale : f f ( 0 h) f ( 0) h Definizione Si definisce derivata di una funzione f() nel punto 0 il limite quando esiste ed è finito, del rapporto incrementale, al tendere a zero dell incremento h della variabile: lim h 0 = f ( 0 h) f ( 0) h SIGNIFICATO GEOMETRICO DI DERIVATA Si consideri la funzione f(), sia P un generico punto di ascissa e ordinata f() e Q un altro suo punto di ascissa +h e ordinata f (+h). Quando Q percorre la curva avvicinandosi indefinitamente a P, la retta PQ assume la posizione limite che diremo tangente in P. dal triangolo PQR si ha : 15

16 tang = QR/PR= f ( h) f ( ) h quando h tende a zero, Q tende a P, e la secante tende alla tangente t in P, di coefficiente angolare tang quindi: f ( h) f ( ) tang = lim h 0 tang = lim h 0 h tang = f () Il coefficiente angolare della tangente ad una linea di equazione y= f() in un suo punto, è uguale alla derivata di f() in quel punto. DERIVATE DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI y =costante y =0 y= n y = n n-1 y= y =1 y= 1/ y = - 1/ y= n y = 1/ n n n-1 y= sen y = cos y= cos y = -sen y= tg y = 1/ cos = 1 + tg y= ctg y =- 1/ sen =-( 1 + ctg ) y= ln y = 1/ y= e y = e REGOLE DI DERIVAZIONE DERIVATA DEL PRODOTTO DI UNA FUNZIONE PER UNA COSTANTE y= K f() y = k f () esempio y= 4 5 y = 0 4 DERIVATA DI UNA SOMMA DI FUNZIONI y= f () + g () y = f () + g () esempio : y= +7+6 y =

17 DERIVATA DEL PRODOTTO DI DUE FUNZIONI y = f (). g () esempio : y = f (). g() + g ().f() y=(4 +1).( +) y = 8.(+) +. (4 +1)= = DERIVATA DEL QUOTO DI DUE FUNZIONI y= f()/g() f (). g() - g ().f() y = [g()] esempio: +1 y= - (-)-(+1) -7 y = = (-) (-) DERIVATA DI FUNZIONE DI FUNZIONE ( O DERIVATA COMPOSTA) La derivata di una funzione di funzione è uguale al prodotto della derivata che si ottiene considerando come variabile la funzione da cui essa dipende per la derivata di tale funzione. y= F[f()] y =F [f()].f () ESEMPIO y= log( +1) y =/ ( +1) DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE Si è visto che una funzione ha per derivata un altra funzione,applicando il procedimento di derivazione a quest ultima si ottiene una nuova funzione che si chiama derivata seconda y ; da questa per successiva derivazione un altra funzione che si dirà derivata terza y e così di seguito. ESEMPIO: y= ( 5-4 -) y =(5 4-1 ) y =(0-4) y =(60-4) y lv =(10 ) y v =(10 ) y vl =0 TEST 1)La derivata prima della funzione 1 y' y' 1 y è 1 y' 4 y' )La derivata prima della funzione y è 1 17

18 6 y ' ( 1) 1 10 y ' ( 1) y ' ( 1) 6 y' 4)La derivata prima della funzione y sen5 è y' 1 cos 5 y' 1 cos 5 y' sen5 5 cos 5 y' 1 5 cos 5 5)La derivata prima della funzione y sen5 è y' 1 cos 5 y' 1 cos 5 y' sen5 5 cos 5 y' 1 5 cos 5 5) Data la seguente funzione f ( ) 6 4 la derivata nel punto 1vale : ) La derivata della funzione y è: 4 1 y' 4 6 y' 4 5 y ' 4 1 y' 4 LIMITI DI FORME INDETERMINATE.TEOREMA DI DE L HOPITAL Per il calcolo dei limiti che si presentano sotto forma indeterminata: 0/0,, 0., -, 1, 0 0, 0 è di valido aiuto il teorema di DE L HOPITAL: Se due funzioni continue f() e g() tendono a zero per tendente ad a, il limite del loro rapporto è uguale al limite del rapporto delle derivate, se quest ultimo esiste. Il teorema sussiste anche nel caso che f() e g() tendano a infinito per tendente ad a oppure ad. TEST 1) Applicando il Teorema di De l Hopital al ) Il valore del lim è : lim ln 5 si ottiene: 18

19 5 ) Il valore del lim ) Considera il 5 6 è : lim 4 ; esso: 5 1 assume la forma indeterminata 0 0 ma vale 4 assume la forma indeterminata ma vale 4 assume la forma indeterminata 0 0 ma vale assume la forma indeterminata ma vale 4 5) Il lim 4 vale: ) Il valore del lim è: 0 7) Quale delle seguenti frazioni rappresenta una forma indeterminata: 0 0 n 0 n n 0 STUDIO FUNZIONE FUNZIONI CRESCENTI E FUNZIONI DECRESCENTI IN UN DATO INTERVALLO FUNZIONI CRESCENTI Si dice che una funzione y=f() definita in un certo intervallo, è crescente in quel intervallo se per ogni coppia dei valori 1 e con 1< risulta f(1)<f() 19

20 FUNZIONI DECRESCENTI Si dice che una funzione y=f() definita in un certo intervallo, è decrescente in quel intervallo se per ogni coppia dei valori 1 e con 1< risulta f(1)>f() FUNZIONI CRESCENTI E FUNZIONI DECRESCENTI IN UN PUNTO X 0 FUNZIONE CRESCENTE Una funzione f() è crescente in un punto 0 se è possibile fissare un intorno completo di 0 tale che essendo 0 +h un punto qualsiasi dell intorno risulta: f( 0 + h) f( 0 ) >0 se h>0 oppure <0 se h<0 f(o+h)-f(o)<o oppure f(o+h)-f(o)>o h<0 h>0 FUNZIONE DECRESCENTE Una funzione f() è decrescente in un punto 0 se è possibile fissare un intorno completo di 0 tale che essendo 0 +h un punto qualsiasi dell intorno risulta: f( 0 + h) f( 0 ) <0 se h>0 oppure >0 se h<0 f(o+h)-f(o)>o oppure f(o+h)-f(o)<o h<0 h>0 0

21 TEOREMA Consideriamo una funzione y=f() derivabile in un punto 0 se la sua derivata prima in 0 è positiva la funzione è crescente in 0, se la sua derivata prima in 0 è negativa la funzione è decrescente in 0. Tenendo presente il significato geometrico di derivata di una funzione in un punto : f ( 0 ) fornisce il coefficiente angolare della retta tangente alla curva f() nel punto 0. funzioni crescenti: funzioni decrescenti: sia che la funzione sia concava verso l alto o verso il basso. Esempio. Trovare l intervallo in cui la seguente funzione è crescente o decrescente: y 15 4 Si calcola derivata prima: y ' Trovo le due soluzioni di che sono =1 e =4 y ' 0 0 concorde è verificata per valori esterni al valore delle soluzioni <1 >4 y ' 0 0 discorde è verificata per valori interni al valore delle soluzioni 1<<4 In conclusione la funzione è crescente in (,1) (4,+ ) ; decrescente in ( 1;4). 1

22 TEST 1) Nella figura è rappresentata la funzione y ; in quale tra gli intervalli proposti la funzione risulta decrescente? ; )Determina in quali intervalli la funzione y è crescente e in quali è decrescente: 1 1 per e per 1 è crescente; per 1 è decrescente è sempre crescente 1 1 è crescente per 1; è decrescente per e per 1 è crescente per 1 e decrescente per 1 1 )La funzione y risulta crescente per : 1 1; 1 sempre 0 mai 4) La funzione f ( ) è crescente per: ) La derivata della funzione y è: ) La derivata della funzione y 1 è:

23 MASSIMI E MINIMI RELATIVI Sia f() una funzione reale definita nell intervallo [a,b] e o un punto di questo intervallo. Se esiste un intorno H [a,b] del punto o, per ogni o risulta: f() f(o) f() f(o) si dice che o è un punto di massimo relativo si dice che o è un punto di minimo relativo DETERMINARE MASSIMI E MINIMI RELATIVI Esempio 1 Data la funzione y= ) si calcola derivata prima y = -1 ) si pone y =0-1=0 risolvendo si ottiene 1 = - ) si calcola derivata seconda: y =6 Per =- y (-)=-1 <0 massimo relativo in =- per = y ()=1= >0 minimo relativo in = y (0)=0 non si può dire nulla sulla natura del punto =0 4)si calcola ordinata del massimo e minimo relativo: y(-)=(-) -1(-)+4=0 ma rel. (-;0) y()= -1.+4=-1 min.rel. (;-1) Esempio Data la funzione y= ) si calcola derivata prima y = = 10 ( + -) 4) si pone y =0 =0 + -=0 1=- =0 =1 ) si calcola derivata seconda y = = 0.( +-)

24 y (-)=-60<0 massimo relativo in =- y (1)=40 >0 minimo relativo in =1 y (0)=0 non si può dire nulla sulla natura del punto =0 5) si calcola la derivata terza y = y (0)=-60 poiché la prima derivata che non si annulla nel punto o=0 è di ordine dispari il punto 0 non è di massimo né di minimo. Esempio Data la funzione y= ) si calcola derivata prima y = = 6 ( -4) 6) si pone y =0 6 =0-4=0 1 =0 =- = ) si calcola derivata seconda y =0 4-7 = 6.(5-1) y (-)=4.(0-1)>0 minimo relativo in =- y ()=4(0-1) >0 minimo relativo in = y (0)=0 non si può dire nulla sulla natura del punto =0 4)si calcola la derivata terza y = y (0)=0 7) si calcola la derivata quarta y IV = questa risulta negativa per =0 y IV (0)= -144 <0 siccome la prima derivata che non si annulla è di ordine pari il punto (0;4) è un punto di massimo relativo. 1)La funzione y 7 ha : 7 un massimo per né massimo né minimo un minimo per 0 un massimo per 1 e un minimo per 1 4

25 )Se in 0 la funzione y f () ha un minimo relativo allora: f ' ( 0 ) 0 e f ' '( 0 ) 0 f ' ( 0 ) 0 e f ' '( 0 ) 0 f ' ( 0 ) 0 e f ' '( 0 ) 0 f ' ( 0 ) 0 e f ' '( 0 ) 0 ) La funzione y 7 ha : 7 un massimo per né massimo né minimo un minimo per 0 un massimo per 1 e un minimo per 1 4) La funzione y è: 1 ha un massimo in 1 ha un massimo in 0 ha un minimo in 0 non presenta né massimi né minimi 5)Individuare tra i seguenti gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo per la curva di equazione P ;9 P ;9 P ;9 9 y : 1 ;0 0 massimo relativo; Q minimo relativo; R ;0 0 minimo relativo; Q ; massimo relativo 0 minimo relativo e non esistono massimi relativi non esistono né minimi né massimi relativi 6) La curva di equazione un massimo M ;1 un massimo M ;1 y 10 1 ammette: 15 9; 4 minimo relativo 6 e un minimo N un massimo M 6;1 e un minimo N 9; 4 6 e un minimo N 9 ;4 un massimo M 6; 1 e un minimo N 9 ;4 7) La funzione 1 y possiede punti di massimo e/o di minimo? 15 In caso affermativo quali? massimo in 1 minimo in 1 né massimi né minimi massimo in 1 e minimo in 1 8)Si consideri la funzione y nell intervallo 5 1 ; ; nei punti 9 ; e 5 5 ; 4 4 la funzione assume valori negativi non è presente né il min. né il ma. assoluto la funzione assume rispettivamente il ma. e il min. assoluto la funzione assume rispettivamente il min. e il ma. assoluto 9)A quali coordinate corrisponde il minimo relativo della funzione (;8) (-;8) (;-8) (-;-8) 4 f ( ) : : 5

26 CONCAVITA La funzione è concava verso l alto in o se il suo grafico in un intorno di o si trova al di sopra della retta tangente in P. La funzione è concava verso il basso se il suo grafico in un intorno o si trova al di sotto Della retta tangente in P. TEOREMA Consideriamo una funzione che ammette derivata prima e seconda in un punto o Se si ha f (o)>0 la funzione è concava verso l alto di o Se si ha f (o)<0 la funzione è concava verso il basso di o ESEMPIO Determinare gli intervalli in cui la funzione y= volge la concavità verso il basso o verso l alto. 1) si calcola la derivata prima y y = 1-4 ) si calcola la derivata seconda y y = 4-4 ) si pone y >0 (per concavità verso alto) 4-4>0 >1/6 quindi per > 1/6 concavità verso alto 4) per y <0 <1/6 concavità verso basso TEST 1)La concavità di una funzione derivabile si determina: studiando il segno della derivata prima annullando la derivata prima studiando il segno della derivata seconda annullando la derivata seconda 6

27 PUNTO DI FLESSO Flessi a tangente orizzontale Consideriamo una funzione come quella sotto rappresentata, come si può vedere è una funzione sempre decrescente, essa non ha massimo o minimo relativi, ma ha un flesso in 0.In questo punto la tangente alla curva taglia la curva ed è parallela all asse delle ascisse : la sua pendenza è nulla e quindi si ha f ( 0 )=0. Il flesso di questa figura si dice discendente perché la concavità è rivolta prima verso l alto e poi verso il basso. Un flesso si dice invece ascendente quando la concavità è rivolta prima verso il basso e poi verso l alto. Un punto 0 in cui risulta f ( 0 ) =0 può essere di massimo o minimo relativo ed anche di flesso a tangente orizzontale. Tali punti in cui si ha f ( 0 ) =0 vengono detti punti stazionari. I punti di flesso sono quelli in cui la funzione cambia il verso della concavità. Teorema I: Se una funzione f() ammette derivata prima e seconda (finite) in un punto o interno ad un intervallo (a,b) ed è f ( o) 0, il diagramma della funzione volge, nel punto o, la concavità Verso l alto o verso il basso a seconda che è f () >0 oppure f () <0. In o si ha un punto di flesso se per < o si ha f ( o )>0 mentre per > o si ha f () <0 in questo caso la funzione è concava verso l alto a sinistra di o concava verso il basso a destra. (oppure se per < o si ha f () <0 mentre > o f () >0 si ha sempre un punto di flesso). 7

28 TEOREMA II Se una funzione y=f() ha un flesso in un punto o, la derivata seconda in quel punto è uguale a zero. TEOREMA III Se f ( o )=0 ed è f ( o) 0 (supposto che esista) il punto F di ascissa o è effettivamente un flesso. TEOREMA IV Se nel punto o si annullano, insieme alla derivata seconda,le derivate successive della f() e la prima derivata non nulla in o è di ordine dispari, il punto del diagramma, il punto di ascissa o è un punto di flesso, mentre se la prima derivata non nulla è di ordine pari, il diagramma nel punto o volge la concavità verso l alto o verso il basso secondo che essa è negativa o positiva. ESEMPIO Determinare i punti di flesso della funzione : y= ) Si calcola la derivata prima y y = -4-4 ) Si pone la derivata prima uguale a zero y =0-4-4=0 si risolve 1= -/ = ) Si calcola la derivata seconda y y = 6-4 4) Si sostituisce in y i valori 1 e in y y (-/)= 6.(-/)-4=-8 <0 (si avrà un massimo rel.) y ()= 6.-4=8 >0 (si avrà un minimo relativo) Se fosse stato y (o)=0 si prendono in considerazione le derivate successive alla seconda (cioè 4 grado). Se la prima derivata successiva alla seconda diversa da zero è di ordine pari,si ha un minimo se è positiva mentre si ha un massimo se è negativa. Se la prima derivata successiva alla seconda diversa da zero è di ordine dispari si ha un flesso a tangente orizzontale. 5)si pone y =0 6-4=0 = / 5) si calcola la derivata terza y y = 6 che non dipende da ed è sempre positiva, vuol dire che per =/ la funzione ha un flesso. 6)si calcola ordinata punto di flesso sostituendo =/ in y= y(/)= 6/7 F( /, 6/7) Flessi a tangente obliqua 8

29 E un flesso a tangente obliqua quello evidenziato nella figura sotto, si ha quindi f ( 0 )=0 mentre f ( 0 ) 0 Esempio 1. Determinare gli eventuali flessi della funzione seguente: y ) la derivata prima è : ) Per trovare massimi,minimi e flessi si risolve l equazione y = Si trovano le soluzioni =0 e = ' y [ 1 ] )La derivata seconda è: '' 9 9 y 1 4 4) Si sostituiscono le soluzioni =0 e = al posto di in y '' 9 y (0) '' 9 9 y () 1 0 5) si risolve l equazione y =0 per =0 si ha un massimo per = si ha un minimo di ordinata y(0)=4 di ordinata y()= e la soluzione è =1 Si sostituisce nella y il valore =1 se y sarà uguale a 0 ci sarà un asintoto orizzontale 9

30 9 y' (1) Siccome risulta y 0 non esistono flessi orizzontali. 5)la derivata terza è : y ''' 9 0 La prima derivata non nulla è di ordine dispari quindi si possono determinare i flessi obliqui e i versi della concavità di y() 6) risolvendo l equazione y = cioè si era trovato =1 Nel punto di ascissa =1 la curva ha un flesso obliquo, che è discendente perché y (1) = -9/4 <0 7) calcolo ordinata del punto di flesso 5 y 1 1 y(1) il flesso è F(1;5/). 8)L equazione della tangente in F si trova determinando il coefficiente angolare in questo punto, cioè il valore della derivata prima in quel punto. 9 9 m y' (1) L equazione della retta tangente è pertanto: y-y F = m (- F ) 5 9 y ( 1) 4 quindi : 9+4y-19=0 Esempio Determinare gli eventuali flessi della funzione seguente: 5 y 5 1) la derivata prima è : y' 5 4 ) La derivata seconda è: y' ' 0 4) Si risolve y =0 0 =0 =0 5) Siccome y (0)=5.0-= 0 non ci sarà flesso orizzontale 6) y >0 per >0 concavità verso alto y <0 per <0 concavità verso basso 0

31 7) La derivata terza è: y' '' 60 8) La derivata quarta è: y IV 10 9) La derivata quinta è: V y 10 0 la funzione ha un flesso F di ascissa 0 10) Si calcola l ordinata del punto di flesso 5 y F(0,5) 11) Si determina l equazione della tangente di flesso essendo 4 y'(0) 50 Il coefficiente angolare è quindi m=- L equazione della retta tangente è pertanto: y-y F = m (- F ) y-5=-(-0) y-5=- eq. Retta tg : y=-+5 Flessi a tangente verticale E un flesso a tangente verticale quello evidenziato nella figura sotto, la retta tangent alla curva in 0 è perpendicolare all asse delle ascisse. Per determinare gli eventuali punti di flesso a tangente verticale bisogna esaminare gli eventuali punti di infinito della derivata prima. In 0 esiste un punto di flesso a tangente verticale se risulta : lim 0 f ( ) = lim + 0 f ( )= + oppure: lim 0 f ( ) = lim + 0 f ( )= - flesso a tangente verticale crescente flesso a tangente verticale decrescente 1

32 Esempio : sia data la funzione y definita in R la derivata prima prima è 1 y' la funzione non ammette derivata in =0 mentre esistono sia il limite destro che il limite sinistro di y per tendente a 0 e tali limiti sono entrambi uguali a +. In questo caso, il flesso a tangente verticale è crescente. Cuspidi: lim + 0 f ( )= - oppure: lim 0 f ( ) =- e lim 0 f ( ) =+ cuspide con vertice in alto e lim 0 + f ( )= + cuspide con vertice verso basso Esempio 1: si abbia la funzione : y 4 1) C.E. =R Calcolo la derivata prima: y'

33 ) La funzione non è derivabile in =0 mentre sistono sia il limite sinistro che il limite destro di y lim lim 0 0 Pertanto per =0 si ha una cuspide rivolta verso il basso. Esempio : si abbia la funzione : y C.E. =R 1) Calcolo la derivata prima: y' ) La funzione non è derivabile in =0 mentre sistono sia il limite sinistro che il limite destro di y lim lim 0 0 Pertanto per =0 si ha una cuspide rivolta verso l alto TEST 1)Per l esistenza di un punto di flesso (non a tangente verticale) in 0,la condizione f ''( 0 ) 0 è: necessaria e sufficiente sufficiente ma non necessaria non necessaria necessaria ma non sufficiente )La funzione y 1 ha: un flesso 1, un minimo assoluto in, un massimo assoluto in 0 un flesso 1, un minimo relativo in, un massimo relativo in 0 non ha punti di minimo e di massimo non ha punti di flesso MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI Per calcolare il massimo o il minimo assoluto di una funzione definita in un intervallo (a,b) si calcolano le ascisse dei suoi punti estremanti, si confrontano quindi i valori che la funzione acquista in tali punti e agli estremi dell intervallo di definizione; il più grande di tali valori è il massimo assoluto; il più piccolo è il minimo assoluto.

34 ESEMPIO Trovare massimi e minimi assoluti della funzione y= - nell intervallo (-,) 1) Si calcola la derivate prima y = - ) Si pone la derivata prima uguale zero y =0 -=0 e si trovano le soluzioni =-1 =+1 ) Si calcola la derivata seconda y =6 4) Si sostituiscono in y le due soluzioni =-1 e =1 y (1)=6 >0 essendo >0 in =1 minimo relativo y (-1)= -6 <0 essendo <0 in =-1 massimo relativo 5) Trovo le ordinate dei massimi e dei minimi relativi sostituendo nella y= - i valori =1 e =1 quindi in (1,-) minimo relativo e in (-1,) massimo relativo 6) Trovo le ordinate dei valori dell intervallo (-,) sostituendo nella y= - i valori =- e = e ricavo: y(-)=- y()=18 7) confronto questi valori con quelli dei massimi e minimi relativi y(-)=- y(-1)= y(1)=- y()=18 in =- e in = 1 due minimi assoluti ( i valori minori sono -) in = vi è un massimo assoluto (i valori più alto è 18),quindi : punti di minimo assoluto m 1 (-;-) m (1;-) punto di massimo assoluto M (,18). TEST 1) La funzione y 1 ha: un flesso 1, un minimo assoluto in, un massimo assoluto in 0 un flesso 1, un minimo relativo in, un massimo relativo in 0 non ha punti di minimo e di massimo non ha punti di flesso ) Data la funzione y 15 4 stabilire se nell intervallo (1,5): 4

35 ammette massimo e minimo assoluti ammette massimo assoluto ma non il minimo assoluto ammette minimo assoluto ma non il massimo assoluto non ammette né massimo né minimo assoluti LO STUDIO DI UNA FUNZIONE 1) INDIVIDUAZIONE DEL DOMINIO DELLA FUNZIONE ) RICERCA DI EVENTUALI SIMMETRIE Se f(-) = f() la funzione è pari e il suo grafico è simmetrico rispetto all asse delle ordinate. si può quindi studiare la funzione solo per valori di positivi o nulli. Se f(-)=- f() la funzione è dispari e il suo grafico è simmetrico rispetto origine degli assi. ) RICERCA DI EVENTUALI PERIODICITA DELLE FUNZIONI ( funzioni goniometriche) 4) COMPORTAMENTO DELLA FUNZIONE AGLI ESTREMI DEL DOMINIO E RICERCA EVENTUALI ASINTOTI. 5) STUDIO DEL SEGNO DELLA FUNZIONE ( y>0 e y<0) 6) CALCOLO y per: individuare gli intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente (y >0, y <0) calcolo eventuali punti di massimo e minimo relativi 7) CALCOLO y per: individuare la concavità della curva (y >0 o y <0) individuare eventuali punti di flesso 5

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