STUDIO di FUNZIONE. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 1

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1 STUDIO di FUNZIONE c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 1

2 Punti di estremo: punto di massimo assoluto Def. Sia 0 dom(f) = D. Si dice che 0 è un punto di massimo assoluto per f se f( 0 ) f() dom(f) ovvero f( 0 ) è il massimo dell insieme immagine di f: f( 0 ) = maf() = ma(im(f)). D f( 0 ) im(f) f( 0 ) im(f) dom(f) 0 dom(f) 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 2

3 Punto di massimo relativo Def. Sia 0 dom(f). Si dice che 0 è un punto di massimo relativo per f se esiste un intorno I( 0 ) del punto 0 tale che f( 0 ) f() f( 0 ) I( 0 ) dom(f). f( 0 ) I( 0 ) 0 0 I( 0 ) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 3

4 Punto di minimo assoluto Sia 0 dom(f) = D. Si dice che 0 è un punto di minimo assoluto per f se f( 0 ) f() dom(f) ovvero f( 0 ) è il minimo dell insieme immagine di f: f( 0 ) = minf() = min(im(f)). D im(f) im(f) 0 0 f( 0 ) dom(f) f( 0 ) dom(f) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 4

5 Punto di minimo relativo Def. Sia 0 dom(f). Si dice che 0 è un punto di minimo relativo per f se esiste un intorno I( 0 ) del punto 0 tale che f( 0 ) f() I( 0 ) dom(f). f( 0 ) 0 f( 0 ) I( 0 ) I( 0 ) 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 5

6 Osservazioni 1 Per definire i punti di estremo NON abbiamo utilizzato il concetto di derivata, ma solo il confronto dei valori = f(). 2 I punti di massimo relativo e minimo relativo sono detti punti di estremo relativo, mentre i punti di massimo e minimo assoluto sono detti punti di estremo assoluto. 3 Un punto di estremo assoluto è anche punto di estremo relativo, il viceversa non è sempre vero. 4 In un punto di massimo o minimo relativo la funzione può non essere derivabile. 5 Punti angolosi e punti di cuspide sono sempre punti di massimo o di minimo relativo c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 6

7 Punti stazionari (o critici) Def. Un punto 0 dom(f) si dice punto stazionario (o punto critico) per f, se: - f è derivabile in 0 e - f ( 0 ) = 0, ovvero la tangente ad f in 0 è una retta orizzontale Oss. Per definire un punto stazionario serve la definizione di derivata prima. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 7

8 Esempi Tutti punti di massimo relativo e assoluto. 2 punti angolosi e 1 punto stazionario c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 8

9 Derivata di f agli estremi di un intervallo Se f è definita solo in un intorno sinistro di 0 ed esiste f ( 0) si assume che f sia derivabile in 0 e si definisce f ( 0 ) = f ( 0). (es. f (b) = f (b).) a b Se f è definita solo in un intorno destro di 0 ed esiste f +( 0 ) si assume che f sia derivabile in 0 e si definisce f ( 0 ) = f +( 0 ). (es. f (a) = f +(a)) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 9

10 Teorema dei punti stazionari di Fermat Sia f definita in un intorno I r ( 0 ) del punto 0 e derivabile in 0. Se 0 è un punto di massimo o minimo relativo per f allora f ( 0 ) = 0, ovvero 0 è un punto stazionario per f. a 0 b a 0 b 0 è p. di minimo relativo 0 è p. di minimo relativo f NON è derivabile in 0 f è derivabile in 0 0 NON è punto stazionario 0 è punto stazionario c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 10

11 Dimostrazione del teorema Sia 0 punto di minimo relativo per f, 0 interno a dom(f) e f ( 0 ) finita. Devo dimostrare che f ( 0 ) = 0. Se 0 è punto di minimo relativo, si ha f( 0 ) f(), I( 0 ), ovvero f() f( 0 ) 0. a 0 Sia > 0 (ovvero 0 > 0), allora f() f( 0) 0 0 e facendo tendere 0 +, per il corollario al teorema della permanenza del segno, si ha f + ( 0) = lim + 0 f() f( 0 ) 0 0. b c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 11

12 Ora prendo < 0 (ovvero 0 < 0), allora f() f( 0) 0 0 a 0 b e facendo tendere 0, sempre per il corollario al teorema della permanenza del segno, f ( 0) = lim 0 Poichè f è derivabile in 0 si deve avere ovvero f() f( 0 ) 0 0. f ( 0 ) = f ( 0 ) = f +( 0 ) 0 f + ( 0) = f ( 0 ) = f ( 0) 0 f ( 0 ) = 0. Se 0 è punto di massimo relativo la dimostrazione è analoga. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 12

13 Ricerca dei punti di estremo I punti di estremo di una funzione vanno ricercati tra i punti dom(f) che sono: punti di non derivabilità (punti angolosi e cuspidi) estremi finiti (in R) del dominio. punti stazionari, f ( 0 ) = 0 (per il teorema di Fermat) =punto di non derivabilità 0 =estremo (in R) del dominio 0 =punto stazionario c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 13

14 Legame fra crescenza/decrescenza e f () Ricordiamo la def. di funzione crescente: Sia I il dominio di una funzione f reale a valori reali, oppure un intervallo contenuto nel dominio di f. Def. La funzione f si dice monotona crescente su I se 1, 2 I, 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ). Def. La funzione f si dice monotona strettamente crescente su I se 1, 2 I, 1 < 2 f( 1 ) < f( 2 ). f( 2 ) f( 1 ) = f( 2 ) f( 1 ) I I Risulta impossibile verificare la crescenza e decrescenza di f() mediante la definizione: dovremmo verificare la propr. per infinite coppie di punti! c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 14

15 Criterio del segno della derivata prima Teorema. Sia I dom(f) un intervallo e sia f derivabile su I. Allora f () 0, I f è crescente su I e f () > 0, I f è strettamente crescente su I =f() =f () segno derivata.m c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 15

16 f strett. crescente f () > 0 Esempio. f() = 3 +1 è strettamente crescente su R, ma f (0) = 0, ovvero f strett. crescente. non implica f () > (Per dimostrare il criterio del segno della derivata prima dobbiamo prima enunciare e dimostrare altri tre teoremi molto importanti: il Teorema di Rolle, il Teorema di Lagrange e il Teorema della derivata nulla) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 16

17 Teorema di Rolle Sia f una funzione continua sull intervallo chiuso e limitato [a, b] e derivabile su (a,b). Se f(a) = f(b), allora esiste un punto c (a,b) tale che f (c) = 0. f(a) = f(b) f(a) = f(b) a c b a b c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 17

18 Dim. f è continua su un intervallo chiuso e limitato, allora per il teorema di Weierstrass, f ammette massimo M e minimo m (assoluti), con m, M [a,b] ( m e M punti di minimo e di massimo). Caso a. m = M. Allora f è costante su [a,b] e f () = 0 [a,b]. Caso b. m f(a) = f(b) < M. f assume massimo in un punto interno ad [a,b]. Il punto di massimo assoluto M è anche punto di massimo relativo, f è definita in un tutto un intorno di M ed f è derivabile in un intorno di M. Ho le ipotesi per applicare il teorema di Fermat e concludere che M è un punto stazionario, ovvero f ( M ) = 0. Caso c. m < f(a) = f(b) M. f assume minimo in un punto interno ad [a,b]. La dimostrazione è analoga al Caso b. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 18

19 Teorema di Lagrange Sia f una funzione continua sull intervallo chiuso e limitato [a, b] e derivabile su (a,b). Allora esiste un punto c (a,b) tale che f (c) = f(b) f(a). b a B A Esiste un punto c per cui la tangente ad f in c è parallela alla retta passante per i punti A = (a,f(a)) e B = (b,f(b)). a c b c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 19

20 Dim. Si consideri la funzione h() := f() f(b) f(a) ( a). b a h() è una funzione continua in [a,b] (perchè somma di funzioni continue in [a, b]), derivabile in (a, b) (perchè somma di funzioni derivabili in (a,b)), e h(a) = f(a) f(b) f(a) 0 = f(a) b a h(b) = f(b) f(b) f(a) (b a) = f(b) f(b)+f(a) b a La funzione h() soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, quindi esiste un punto c (a,b) tale che h (c) = 0. Ma h () = f () f(b) f(a) e dire b a h (c) = 0 equivale a dire f (c) = f(b) f(a). b a c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 20

21 Teorema della derivata nulla Sia f continua e derivabile su un intervallo I. Sia f () = 0 I, allora f è costante in I. Dimostrazione. Dimostrare che f è costante su I equivale a dimostrare che f( 1 ) = f( 2 ), 1, 2 I. Dimostriamo per assurdo: Q P. Negare la tesi equivale a dire che 1, 2 I : f( 1 ) f( 2 ). Applichiamo il teorema di Lagrange (f soddisfa le ipotesi del thm di Lagrange sull intervallo [ 1, 2 ] I), otteniamo che esiste c ( 1, 2 ) tale che che contraddice l ipotesi. f (c) = f( 2) f( 1 ) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 21

22 Dimostrazione del Criterio del segno della derivata prima A questo punto abbiamo tutti i teoremi che servono per dimostrare il Criterio del segno della derivata prima. La dimostrazione è svolta a lezione. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 22

23 Crescenza/decrescenza e punti di estremo Corollario Sia f derivabile sull intervallo I e sia 0 punto stazionario interno ad I. Se f () 0 < 0 e f () 0 > 0 allora 0 è punto di ma relativo per f (figura a sinistra). Se f () 0 < 0 e f () 0 > 0 allora 0 è punto di min relativo per f (figura a destra) = 0 è p.to di ma. rel = 0 è p.to di min. rel. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 23

24 Teorema di de l Hôpital Siano f e g due funzioni definite in un intorno di 0, tranne al piú nel punto 0, e tali che lim f() = lim g() = L con L = 0 o L = ±. 0 0 Se f e g sono derivabili nell intorno di 0, tranne eventualmente in 0, con g 0, e se esiste (finito o infinito) il limite f () lim 0 g () allora esiste anche f() lim 0 g() f() e lim 0 g() = lim f () 0 g (). e 2 e 2 Es. lim 0 sin(5) (OK) + sin() lim + 3 cos() (NO) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 24

25 +sin() 3 cos(). (3 cos()) = + Vediamo se possiamo applicare de l Hôpital a lim + 1) lim ( +sin()) = +, lim + + 2) f() = +sin() e g() = 3 cos() sono derivabili su tutto R f () 3) lim + g () = lim 1+cos() + 3+sin()? NO Allora de l Hôpital non può essere applicato perchè manca un ipotesi. Non abbiamo soluzione del limite dato usando questo teorema. Questo non vuol dire che non esiste il limite dato. Infatti: lim + +sin() 3 cos() = lim + (1+sin()/) (3 cos()/) = f()/g() 0.8 f ()/g () f() lim + g() = 1 3, lim f () + g () = c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 25

26 Abbiamo visto le definizioni: f ( f() f( 0 ) 0 ) = lim e f f() f( 0 ) +( 0 ) = lim Il seguente teorema fornisce un criterio per valutare derivata destra e sinistra in maniera più semplice. TEOREMA DEL LIMITE DELLA DERIVATA Sia f una funzione definita e continua in I( 0 ) e derivabile in I( 0 ) tranne eventualmente in 0. Se esiste (finito o infinito) l 1 = lim f (), allora esiste anche la derivata + 0 destra f +( 0 ) in 0 e si ha f +( 0 ) = l 1 = lim f (). + 0 Se esiste (finito o infinito) l 2 = lim f (), allora esiste anche la derivata 0 sinistra f ( 0 ) in 0 e si ha f ( 0 ) = l 2 = lim f (). 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 26

27 Dimostrazione. La dimostrazione del teorema segue dal teorema di de l Hôpital: f +( 0 ) := lim + 0 f() f( 0 ) (H) = lim A PATTO CHE ESISTA lim + 0 f () 1 f () = lim + 0 f (). f ( 0 ) := lim 0 f() f( 0 ) 0 A PATTO CHE ESISTA lim 0 f () (H) = lim 0 f () 1 = lim 0 f (). c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 27

28 Derivata seconda Def. Se f è derivabile in 0, si dice che f è derivabile due volte in 0 e si pone f ( 0 ) := (f ) ( 0 ). f ( 0 ) è detta derivata seconda di f in 0. La funzione che associa ad il valore f (), ove questo sia definito, è detta funzione derivata seconda. Es. f() = , f () = 6 12 f () = , c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 28

29 Convessità e concavità Consideriamo la funzione f(), definita in un intorno del punto 0 e l equazione della retta t tangente ad f nel punto 0 dom(f): t : = t() = f ( 0 )( 0 )+f( 0 ). Def. La funzione f si dice convessa (o volge la concavità verso l alto) in 0 se esiste un intorno I r ( 0 ) di 0 tale che: I r ( 0 ) f() t() e si dice strettamente convessa in 0 se f() > t() 0. = f() = t() 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 29

30 Def. La funzione f si dice concava in 0 se esiste un intorno I r ( 0 ) di 0 tale che: I r ( 0 ) f() t() e si dice strettamente concava in 0 se f() < t() 0. = t() = f() 0 Def. Sia I un intervallo e f derivabile su I. f si dice convessa (risp. concava) su I, se è convessa (risp. concava) in ogni punto di I. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 30

31 Criterio del segno della derivata seconda Teorema. Se f è una funzione derivabile due volte su I, si ha: f () 0, I f è convessa su I. e f () > 0, I = f è strettamente convessa su I. Osservazione. Se f è strettamente convessa su I, non è detto che f () > 0 su I. Es.: f() = 4. In = 0 si ha f (0) = 0 ed f strettamente convessa su tutto R. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 31

32 Punti di flesso Def. Sia f una funzione definita e derivabile in un intorno del punto 0. Il punto 0 si dice punto di flesso per f se esiste un intorno sinistro di 0 in cui f è concava ed esiste un intorno destro di 0 in cui f è convessa o, viceversa, se esiste un intorno sinistro di 0 in cui f è convessa ed esiste un intorno destro di 0 in cui f è concava. 0 Oss. Un punto di flesso 0 per cui si ha f ( 0 ) = 0 è detto punto di flesso a tangente orizzontale, mentre un punto di flesso 0 per cui si ha f ( 0 ) 0 è detto punto di flesso a tangente obliqua. 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 32

33 Studio di funzione completo Obiettivo: disegnare il grafico di una funzione = f(). Passi da seguire. 1. Determinare il dom(f) 2. Determinare eventuali simmetrie e periodicità. 3. Determinare possibili asintoti (verticali, orizzontali, obliqui) [questo vuol dire calcolare i limiti di f agli estremi del dominio]. 4. Individuare eventuali punti di discontinuità. 5. Calcolare la derivata prima e determinare il suo dominio, individuando e classificando eventuali punti di non derivabilità. 6. Studiare il segno della derivata prima per individuare dove la funzione è crescente/decrescente. Determinare, se esistono, i punti di estremo della funzione. 7. Calcolare la derivata seconda di f. 8. Studiare il segno della derivata seconda per individuare dove la funzione è convessa/concava. Determinare, se esistono, i punti di flesso della funzione. 9. DISEGNARE IL GRAFICO DI = f() c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 33

34 Riferimenti bibliografici: Canuto Tabacco, Sez. 6.4, 6.7, 6.8, 6.9, Esercizi: Svolgere i vari passi dello studio di funzione per le funzioni elementari viste. Fare lo studio delle seguenti funzioni: 1. f() = f() = log() 3. f() = log() 4. f() = e 1/2 5. f() = e 1/ c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 34

35 Derivate di ordine superiore In maniera analoga a quanto fatto per la derivata seconda, si può definire la derivata terza di f in 0, se esiste, come la derivata prima in 0 della derivata seconda di f: f ( 0 ) := (f ) ( 0 ) ed in generale, per k 1, la la derivata di ordine k di f in 0 è f (k) ( 0 ) := (f (k 1) ) ( 0 ). Per definizione si pone f (0) ( 0 ) := f( 0 ), ovvero la derivata di ordine zero di una funzione è la funzione stessa. Es. f() = f () = ( 2 1 ) 2 = f () = 3 2 ( 2) 3 = 3 3, f () = f (3) () = 3 ( 3) 4 = 9 4. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 35

36 Def. Una funzione f si dice di classe C k (con k 0) su un intervallo I, se essa è derivabile k volte in I e se la funzione derivata k sima di f (f (k) ()) è un funzione continua su I. L insieme delle funzioni di classe C k su I è denotato con C k (I). C (I) è l insieme delle funzioni che sono derivabili un numero arbitrario ( ) di volte su I. Es. f() = e, f (k) () = e, k = 1,2,... Qualunque sia k, la derivata f (k) () coincide con f che è una funzione continua su R, quindi f C (R). Es. f() =, I = [0,+ ): f C 0 (I): in = 0 f è definita, continua, ma non derivabile. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 36

37 Esempi f() discontinua, a scala f() continua, con un punto angoloso f() continua e derivabile c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 37

38 f derivabile in I e f C 1 (I) Sia I dom(f). f derivabile in I f () R I f C 1 (I) f derivabile in I e f () è continua in I Esempio. f() = { 2 sin ( ) 1 se 0 0 se = 0 f () = 2 sin ( 1 ) + 2 cos ( )( ) f() f(0) lim = lim sin se 0 ( ) 1 = 0 se = 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 38

39 1 f() = 2 sin(1/) 1.5 f ()=2sin(1/) cos(1/) zoom di f() = 2 sin(1/) A sinistra (in rosso) la funzione f() = 2 sin(1/). La figura in basso è uno zoom di quella in alto. A destra (in blu), la funzione f () = 2 sin(1/) cos(1/) c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 39

40 f () = { ( 2sin 1 ) ( cos 1 ) se 0 0 se = 0 f () ha dominio dom(f ) = R, quindi f è derivabile in dom(f) = R. f () è continua in ogni 0 perchè somma, prodotto e composizione di funzioni continue per 0. in 0 = 0, f () presenta una discontinuità di seconda specie, infatti lim 0 f (), mentre f (0) = 0 Quindi f è derivabile in R, ma f non è continua su tutto R, cioè f C 1 (R). c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Studio di funzione cap6b.pdf 40