1. Mercoledì 07/03/2018, ore: 2(2) Introduzione e presentazione del corso. Richiami: i numeri naturali, interi, razionali e reali.

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Martina Ferrante
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1 Registro delle lezioni di MATEMATICA 2 Corso di Laurea in Chimica 6 CFU - A.A. 2017/2018 docente: Francesco Demontis ultimo aggiornamento: May 17, Mercoledì 07/03/2018, ore: 2(2) Introduzione e presentazione del corso. Richiami: i numeri naturali, interi, razionali e reali. 2. Giovedì 08/03/2018, ore: 2(4) Funzioni reali in una variabile reale: Definizione ed esempi. Dominio di una funzione. Esercizi sulla determinazione del dominio di una funzione. 3. Mercoledì 14/03/2018, ore: 2(6) Rappresentazione geometrica di una funzione. Grafici di alcune funzioni elementari: funzione costante, funzione identità, retta. Funzioni crescenti/decrescenti. Esempi. Richiami sulle proprietà principali delle funzioni esponenziali e logaritmiche. Grafici delle funzioni potenza, esponenziale e logaritmo. 4. Giovedì 15/03/2018, ore: 2(8) Funzioni pari e funzioni dispari: Esempi. La funzione y = x. Le funzioni trigonometriche: brevi richiami sulle definizioni e principali proprietà. Grafici delle funzioni trigonometriche y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x). Definizione di funzione limitata (superiormente e/o inferiormente) e di funzione periodica.

2 Registro di Matematica /18 - F. Demontis 2 5. Mercoledì 21/03/2018, ore: 2(10) Codominio (o insieme delle immagini) di una funzione: definizione ed esempi. Funzione composta di due funzioni: definizioni ed esempi. Definizione di funzione inversa. Dimostrazione del teorema: Ogni funzione strettamente crescente (o strettamente decrescente) è invertibile. 6. Giovedì 22/03/2018, ore: 2(12) Funzioni inverse: Esempi ed esercizi. Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche e loro grafici. Illustrazione del concetto di limite finito per una funzione in un punto. 7. Mercoledì 21/03/2018, ore: 2(14) Limite finito per una funzione in un punto: Definizione ed esempi. Limite destro e sinistro. Limite infinito per una funzione in un punto: Definizioni. 8. Giovedì 5/04/2018, ore: 2(16) Limite per una funzione all infinito: Definizione ed esempi. Teorema di unicità del limite (senza dimostrazione), teorema della permanenza del segno (senza dimostrazione), Criterio del confronto (con dimostrazione). 9. Mercoledì 11/04/2018, ore: 2(18) Operazioni con i limiti: algebra dei limiti (dimostrazione del teorema della somma nel caso dei limiti finiti), forme indeterminate, cambio di variabile nei limiti. Funzioni continue: Definizione ed esempi. Algebra delle funzioni continue. Teorema di continuità delle funzioni elementari. Continuità della funzione composta e della funzione inversa (entrambi senza dimostrazione): Esempi. 10. Giovedì 12/04/2018, ore: 2(20) Punti di discontinuità di una funzione: classificazione ed esempi. ( Dimostrazione sin x del fatto che lim x 0 = 1. Il limite fondamentale lim x x x x) = e. Alcuni esercizi sul calcolo dei limiti quando si presenta una forma indeterminata.

3 Registro di Matematica /18 - F. Demontis Giovedì 19/04/2018, ore: 2(22) Funzioni continue definite in un intervallo chiuso e limitato: 1) Teorema dell esistenza degli zeri (senza dimostrazione): esempi ed applicazioni; 2) Teorema di Weierstrass (senza dimostrazione): esempi illustrativi; 3) Dimostrazione del teorema di esistenza dei valori intermedi. Esercizi sul calcolo dei limiti quando si presenta una forma indeterminata. 12. Giovedì 26/04/2018, ore: 2(24) Introduzione (storica) al concetto dei derivata: 1) il problema della tangente ad una curva in un suo punto e 2) velocità in un moto rettilineo qualunque. Definizione di derivata ed esempi illustrativi. Significato geometrico di derivata. Equazione della retta tangente in un punto al grafico di una funzione: esempi ed esercizi. 13. Mercoledì 02/05/2018, ore: 2(26) Legame fra derivabilità e continuità di una funzione in un punto (Dimostrazione del teorema: Se una funzione è derivabile in un punto allora essa è ivi continua). Punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi: esempi. Calcolo delle derivate di alcune funzioni elementari (funzione costante, funzione identità, funzione y = x 2, funzione y = sin x, funzione logaritmo). Derivate di ordine superiore: notazione. 14. Giovedì 03/05/2018, ore: 2(28) Teoremi sulle derivate: Derivata della somma (algebrica) di due o più funzioni, del prodotto di due o più funzioni (con dimostrazione), del quoziente di due funzioni. Esempi ed esercizi sul calcolo delle derivate. Regola di derivazione delle funzioni di funzione (senza dimostrazione): Esercizi ed esempi.

4 Registro di Matematica /18 - F. Demontis Mercoledì 09/05/2018, ore: 2(30) Derivata della funzione f(x) g(x) : Esempi ed esercizi. Regola di derivazione delle funzioni inverse: Esercizi, esempi e idea della della dimostrazione. Derivate di ordine superiore: notazione ed esempi. Massimi e minimi relativi e globali: definizione ed esempi. Teorema di Fermat (senza dimostrazione) e suo significato geometrico. Punti stazionari. Enunciato del teorema di Lagrange e suo significato geometrico. Una conseguenza importante del teorema di Lagrange: Test di monotonia. Ricerca di massimi e minimi. 16. Giovedì 10/05/2018, ore: 2(32) Dimostrazione del test di monotonia. Esempi ed esercizi sull utilizzo del test di monotonia. Dimostrazione della caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla. Ricerca di massimi e minimi di una funzione (metodo basato sullo studio del segno della derivata prima): Esempi ed esercizi. Primi cenni/esempi al tracciamento del grafico di una funzione. 17. Martedì 15/05/2018, ore: 2(34) Dimostrazione del teorema di Lagrange. Funzioni concave/convesse: definizione, criteri analitici per la determinazione degli intervalli di convessità/concavità di una funzione (dimostrazione proposta fra gli esercizi assegnati) ed esempi. Asintoti: definizione. Asintoti orizzontali e verticali. 18. Mercoledì 16/05/2018, ore: 2(36) Asintoti obliqui di una funzione: discussione di vari esempi. Studio del grafico di una funzione e analisi dei passaggi da seguire per tracciare il grafico di una funzione: esercizio sul tracciamento del grafico di una funzione. Formula di Taylor e Mac Laurin con resto di Lagrange (senza dimostrazione): esempi ed esercizi. Metodo per la determinazione dei punti di massimo/minimo relativo basato sull analisi delle derivate successive (senza dimostrazione) e discussione di vari esempi di applicazione di tale metodo.

5 Registro di Matematica /18 - F. Demontis Giovedì 17/05/2018, ore: 2(38) Teorema di Cauchy (senza dimostrazione). Teorema di De L Hospital sul rapporto di due infinitesimi: Dimostrazione del teorema ed esempi/esercizi. Teorema di De L Hospital sul rapporto di due infiniti (senza dimostrazione): Esempi ed esercizi. Riconducibilità di altri casi di indeterminazione all applicazione delle regole di De L Hospital. Esercizi sul tracciamento del grafico di una funzione.

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