ANALISI MATEMATICA A CORSO DI LAUREA TRIENNALE IN MATEMATICA 15 CF A.A

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1 ANALISI MATEMATICA A CORSO DI LAUREA TRIENNALE IN MATEMATICA 15 CF A.A Programma Provvisorio del corso di Analisi Matematica A Il programma che segue è solo indicativo. Il programma definitivo potrebbe essere lievemente diverso e sarà definito alla fine del corso in funzione di quanto svolto durante le lezioni. Le indicazioni dei capitoli e dei paragrafi si riferiscono al libro: C.D. Pagani, S. Salsa. Analisi Matematica 1 Zanichelli Editore, 2015 Cap. 1 Elementi di teoria degli insiemi Par. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 1: Nozioni di logica matematica. Connettivi logici. Tavole di verità. Tautologie e regole di deduzione. Quantificatori. 2: Simboli e operazioni insiemistiche fondamentali. Unione, intersezione, differenza e differenza simmetrica. Complementazione. Proprpietà. Predicati. 3: Relazioni. Prodotto cartesiano. Relazione di equivalenza. Ordinamenti: definizioni di maggiorante, minorante, massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore. 4: Funzioni. Nozione intuitiva di funzione. Dominio, codominio, immagine. Esempi. Successioni. Funzioni composte. Funzioni iniettive e suriettive. Funzioni inverse. 5: Il principio di induzione. 6: Elementi di calcolo combinatorio. Permutazioni, combinazioni semplici e con ripetizione, disposizioni semplici e con ripetizione. Il coefficiente binomiale. Formula del binomio di Newton. 7: Insiemi infiniti (cenni). Insiemi numerabili. Il prodotto di un insieme finito di insiemi numerabili è numerabile. Cap. 2 Insiemi numerici Par. 1, 2, 3, 4 1: N, Z, Q. I numeri naturali, i numeri interi relativi e i numeri razionali. Struttura di Q e rappresentazione dei numeri razionali. 2: I numeri reali. Definizione di numero reale come allineamento decimale con segno. Ordinamento e struttura algebrica. Proprietà di completezza. Potenza del continuo. 3: Radicali, potenze e logaritmi. Radici n-esime aritmetiche. Potenze con esponente reale e logaritmi. Alcune disuguaglianze: disuguaglianza triangolare, disuguaglianza di Bernoulli, disuguaglianza fra media aritmetica e media geometrica. 4: I numeri complessi. Operazioni e struttura di campo. Potenze e radici. Cap. 3 Spazi euclidei Par. 1, 2 1: Gli spazi euclidei R n e C n. Spazi vettoriali lineari. Base e dimensione di uno spazio. Prodotto scalare in R n, norma in R n. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Angolo fra due vettori. Distanza in R n. Intorni e intorni sferici di un punto in R n. 2: Elementi di topologia in R n. Punti interni, esterni e di frontiera. Punti di accumulazione e punti isolati. Insiemi aperti, chiusi e limitati. Unione e intersezione di famiglie di insiemi aperti e chiusi. Frontiera di un insieme. Chiusura di un insieme. Teorema di Bolzano-Weierstrass. La retta ampliata: gli insiemi R, Ṙ. L insieme Ṙn. Insiemi compatti. Teorema di Heine-Borel. Insiemi connessi e insiemi convessi. 1

2 Cap. 4 L operazione di limite Par. 1, 2, 3, 4 1: Funzioni reali di variabile reale. Positività e simmetrie. Funzioni pari e dispari. Funzioni limitate. Estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo di una funzione. Funzioni monotone. Esempi: potenze, esponenziali e logaritmi. 2: Limiti di funzioni R R. Definizione di limite. Proprietà vere definitivamente. Limiti destro e sinistro, limite per eccesso e per difetto. Limiti e ordinamento. Teorema di permanenza del segno. Teorema del confronto. Algebra dei limiti. Esempi di non esistenza del limite. Teorema di esistenza del limite di una funzione composta. Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Infinitesimi e infiniti. I simboli o, O,, e loro relazioni. Confronti fra infinitesimi e infiniti. Asintoti. 3: Successioni a valori in R. Limite di una successione. Esempi: successione geometrica. Relazione fra limite di successioni e limite di funzioni. Confronti. Il numero e. Alcuni limiti notevoli. Esistenza del limite. Massimo e minimo limite. Valore limite e classe limite di una successione. La classe limite è un insieme chiuso. Limite inferiore e limite superiore. Esistenza del limite finito: criterio di Cauchy. Definizione di successione fondamentale. Teorema: criterio di convergenza di Cauchy. 4: Limiti in C e limiti in R n. Funzioni da R n a R m e loro limiti. Esempi di non esistenza del limite. Successioni e topologia in R n. Le successioni convergenti sono limitate. Da ogni successione limitata si può estrarre una sottosuccessione convergente. Caratterizzazione degli insiemi chiusi e compatti utilizzando le successioni. Il criterio di Cauchy. Definizione di spazio metrico completo. Cap. 5 Funzioni continue Par. 1, 2, 3 1: Funzioni continue da R in R. Definizione di continuità. Teorema di continuità delle funzioni composte. Punti di discontinuità. Teorema sulle possibili discontinuità di una funzione monotona. Proprietà delle funzioni continue su un intervallo. Teoremi della permanenza del segno, degli zeri. Teorema (di Weierstrass) di esistenza del massimo e del minimo di una funzione continua su un intervallo [a, b]. La nozione di uniforme continuità. Esempi di funzioni continue non uniformememnte continue. Teorema (di Cantor-Heine) di uniforme continuità di una funzione continua in un intervallo [a,b]. 2: Funzioni continue da R n a R m. Caratterizzazione delle funzioni continue. Continuità delle funzioni lineari. Funzioni continue su un compatto. L immagine continua di un insieme compatto è un insieme compatto. Teorema di Weierstrass. Continuità della funzione inversa di una funzione continua e iniettiva su un compatto. Teorema di Cantor-Heine di uniforme continuità di una funzione continua su un compatto. Funzioni continue su un connesso. Continuità della funzione inversa di una funzione continua su un intervallo. 3: Funzioni elementari. Funzioni razionali intere e polinomi. Funzioni razionali fratte e funzioni algebriche. Esponenziali e logaritmi. Funzioni iperboliche. Funzioni circolari e loro inverse. Esponenziale complesso. Cap. 6 Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale Par. 1, 2, 3 2

3 1: Derivata e differenziale. Rapporto incrementale e suo significato geometrico. Definizione di derivata. Derivata destra e sinistra. Continuità delle funzioni derivabili. Esempi di funzioni continue e non derivabili. Punti angolosi, flessi verticali e cuspidi. Derivate successive. Algebra delle derivate. Derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili. Linearità della derivata. Derivata di una funzione composta. Derivata di una funzione inversa. Il differenziale. 2: I teoremi fondamentali del calcolo differenziale. I punti critici di una funzione. Il teorema di Fermat e gli estremi locali di una funzione. I teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange: test di monotonia, riconoscimento della natura dei punti stazionari. Definizione di primitiva. Il teorema di de L Hospital. La formula di Taylor con il resto secondo Peano e secondo Lagrange. Sviluppi di Mac Laurin di alcune funzioni elementari. 3: Applicazioni del calcolo differenziale. Funzioni convesse. Applicazioni della formula di Taylor: determinazione della natura dei punti stazionari; calcolo di ordini di infinito o infinitesimo; calcolo del valore approssimato di una funzione e stima dell errore. Determinazione del grafico di una funzione. Cap. 7 Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili Par. 1, 2, 3 1: Funzioni da R n a R. Derivate direzionali e derivate parziali. Gradiente. Differenziale e funzioni differenziabili. Relazione fra derivabilità e differenziabilità. Teorema di continuità e derivabilità delle funzioni differenziabili. Teorema: se f è di classe C 1 in un aperto A R n allora è differenziabile in ogni punto di A. Derivate di ordine superiore. Teorema (di Schwartz) di uguaglianza delle derivate seconde miste. Matrice Hessiana. Formula di Taylor. Funzioni omogenee. Teorema (di Eulero) sul gradiente di funzioni omogenee. Funzioni convesse e concave. 2: Funzioni a valori vettoriali. Derivate e differenziali. Matrice Jacobiana. Esempi di funzioni: R R 2, R R 3, R 2 R 3. Differenziale delle funzionicomposte. Il teorema di inversione locale. 3: Funzioni implicite. Esempi di funzioni definite implicitamente. Il teorema del Dini. Insiemi di livello e punti singolari. Ortogonalità di gradiente e linee di livello. Il teorema delle funzioni implicite in piú di due variabili. Funzioni definite da un sistema di equazioni. L analogo non lineare del teorema di Rouché Capelli. Cap. 8 Integrali di funzioni di una variabile. Serie numeriche Par. 1, 2, 3 1: Integrale di Riemann. Partizione di un intervallo, somme superiori, somme inferiori e definizione di integrale. Caratterizzazione dell integrale e significato geometrico. Classi di funzioni integrabili. Teorema di integrabilità delle funzioni continue. Teorema di integrabilità delle funzioni monotone. Proprietà dell integrale: linearità, monotonia, teorema della media, additività rispetto all intervallo di integrazione. Primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Funzioni integrali e secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive e integrale indefinito. Regole di integrazione: integrazione per scomposizione, per parti e per sostituzione. Cambiamenti di variabile come cambiamenti di scala. Integrali dipendenti da un parametro. Continuità e formula di derivazione sotto il segno di integrale. 3

4 2: Serie numeriche. Definizione di serie e di somma di una serie. Serie convergenti, divergenti e irregolari. Proprietà elementari. Esempi di serie convergenti e divergenti: le serie geometriche, la serie armonica. Criterio di Cauchy di convergenza. Condizione necessaria di convergenza di una serie. Serie a termini non negativi. Criterio del rapporto e della radice. Criterio del confronto e del confronto asintotico. Convergenza e convergenza assoluta. Criterio (di Leibniz) di convergenza di serie a segni alternati. 3: Estensioni dell integrale di Riemann. Integrali impropri: integrazione su insiemi illimitati e integrazione di funzioni illimitate. Criteri di convergenza. Criterio del confronto e del confronto asintotico. Serie numeriche e integrali impropri. Equazioni Differenziali Gli argomenti di questo capitolo si possono trovare in molti testi. Indico qui per esempio: M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 2, Capitolo1 Modelli differenziali. Equazioni differenziali del primo ordine. Definizione di soluzione. Problema di Cauchy. Integrale generale. Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari del primo ordine. Integrale generale. Equazioni lineari del secondo ordine. Forma generale dell equazione e problema di Cauchy. Struttura dell integrale generale nel caso di un equazione omogenea o non omogenea. Equazioni omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti. Equazione caratteristica. 4

5 Teoremi di cui è richiesta la conoscenza della dimostrazione (1) [Cap 1, Teor 6.3] formula del binomio di Newton. (2) [Cap 3, Teor 1.1] disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. (3) [Cap 3, Teor 2.4] (di Bolzano-Weierstrass) ogni sottoinsieme limitato e infinito di R n ha almeno un punto di accumulazione. (4) [Cap 3, Teor 2.5] (di Heine-Borel) un sottoinsieme di R n e compatto se e solo se è chiuso e limitato. (5) [Cap 4, Teor 2.3] della permanenza del segno. (6) [Cap 4, Teor 2.4] del confronto. (7) [Cap 4, Teor 2.10] di esistenza del limite per funzioni monotone. (8) [Cap 4, Teor 3.16] criterio di Cauchy di convergenza di una successione. (9) [Cap 5, Teor 1.2] sulle possibili discontinuità di una funzione monotona. (10) [Cap 5, Teor 1.4] degli zeri. (11) [Cap 5, Teor 2.4, Cor. 2.5] (di Weierstrass) di esistenza del massimo e minimo di una funzione continua su un compatto. (12) [Cap 5, Teor 2.7] (di Cantor Heine) di uniforme continuità di una funzione continua su un compatto. (13) [Cap 6, Prop 1.1] derivabilità implica continuità. (14) [Cap 6, Teor 1.3] formula di derivazione delle funzioni composte. (15) [Cap 6, Teor 1.4] derivata delle funzioni inverse. (16) [Cap 6, Teor 2.1] di Fermat. (17) [Cap 6, Teor 2.2] di Rolle. (18) [Cap 6, Teor 2.3] di Cauchy. (19) [Cap 6, Teor 2.4] di Lagrange. (20) [Cap 6, Teor 2.10 (a)] formula di Taylor con resto secondo Peano. (21) [Cap 7, Teor 1.1] le funzioni f : R n R differenziabili sono continue, derivabili e vale D v f(x) = f(x),v. (22) [Cap 7, Teor 2.3] di inversione locale. (23) [Cap 7, Teor 3.1] del Dini in R 2. (24) [Cap 8, Teor 1.5] di integrabilità delle funzioni continue. (25) [Cap 8, Teor 1.6] di integrabilità delle funzioni monotone. (26) [Cap 8, Teor 1.10] primo teorema fondamentale del calcolo integrale. (27) [Cap 8, Teor 1.11] secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. (28) [Cap 8, Teor 2.4, Cor 2.5] del confronto e del confronto asintotico per serie a termini positivi. 5