Indice breve. Funzioni di una variabile. Funzioni di più variabili e funzioni vettoriali. Equazioni differenziali. Funzioni olomorfe e trasformate

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1 Indice breve I PARTE I Elementi di base Capitolo 1 Introduzione 1 Capitolo 2 Funzioni 34 PARTE II Funzioni di una variabile Capitolo 3 Introduzione alle proprietà locali e al concetto di limite 73 Capitolo 4 Successioni e serie 109 Capitolo 5 Ulteriori elementi della teoria dei limiti 145 Capitolo 6 Funzioni continue da R in R 163 Capitolo 7 Calcolo differenziale: funzioni da R in R 179 Capitolo 8 Integrali 231 Capitolo 9 Complementi su successioni e serie 277 PARTE III Funzioni di più variabili e funzioni vettoriali Capitolo 10 Limiti e continuità 302 Capitolo 11 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 327 Capitolo 12 Curve e integrali curvilinei 357 Capitolo 13 Funzioni implicite ed estremi vincolati 383 Capitolo 14 Integrali multipli 412 Capitolo 15 Superfici e integrali di superficie 452 Capitolo 16 I teoremi della divergenza e del rotore 468 PARTE IV Equazioni differenziali Capitolo 17 Equazioni differenziali ordinarie 482 PARTE V Funzioni olomorfe e trasformate Capitolo 18 Funzioni olomorfe 525 Capitolo 19 Trasformata di Laplace 555 Capitolo 20 Serie e trasformata di Fourier 579

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3 Indice generale I Prefazione Ringraziamenti dell Editore Guida alla lettura XIII XV XVI PARTE I Elementi di base Capitolo 1 Introduzione Richiami di insiemistica Insiemi numerici Numeri reali Valore assoluto Estremo superiore, inferiore - la proprietà di completezza Radici, potenze e logaritmi Numeri complessi Radici complesse Principio di induzione 28 Appendice 1.A Grandezze trigonometriche 30 Appendice 1.B Coefficienti binomiali 32 Capitolo 2 Funzioni Funzione, dominio, immagine, grafico Funzioni reali di una variabile reale Funzioni monotone Funzioni simmetriche, funzioni periodiche Funzioni elementari Funzione limitata, estremo superiore, estremo inferiore, massimo, minimo Funzione iniettiva, suriettiva Funzione composta Funzione inversa Le funzioni arcoseno, arcocoseno, arcotangente Invertibilità e monotonia Operando con le funzioni Equazioni e disequazioni: metodo grafico 68 Appendice 2.A Funzioni lineari e funzioni quadratiche 71 PARTE II Funzioni di una variabile Capitolo 3 Introduzione alle proprietà locali e al concetto di limite Intorni Insiemi aperti e chiusi 80

4 VIII Indice generale 3.2 Limite Proprietà elementari dei limiti Funzioni infinitesime e infinite; il simbolo o(1) Limiti notevoli di funzioni trigonometriche Infiniti, infinitesimi e confronti 103 Capitolo 4 Successioni e serie Successioni a valori in R Il numero e Sottosuccessioni Criterio di Cauchy Successioni ricorsive Sommatorie Serie numeriche: definizione e proprietà elementari Serie numeriche a termini positivi Criterio del confronto Criterio della condensazione Criterio del rapporto, criterio della radice Serie a termini di segno variabile Convergenza assoluta, criterio di convergenza assoluta, criterio di Cauchy Serie a termini di segno alterno Riordinamenti Prodotto di Cauchy di due serie 143 Capitolo 5 Ulteriori elementi della teoria dei limiti Ulteriori limiti notevoli Funzioni iperboliche e loro inverse Asintoto orizzontale, obliquo, verticale I simboli di Landau Ordini di infinitesimo e infinito Non esistenza di limiti Insiemi compatti 161 Capitolo 6 Funzioni continue da R in R Continuità: definizione e proprietà elementari Punti di discontinuità Teorema degli zeri Continuità delle funzioni inverse Funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato Continuità lipschitziana, continuità uniforme 175 Capitolo 7 Calcolo differenziale: funzioni da R in R Retta tangente, derivata Derivata destra e sinistra, punto angoloso, cuspide Proprietà elementari della derivata Derivate delle funzioni elementari Calcolo delle derivate Estremi locali e derivate Teorema del valor medio e applicazioni Monotonia e derivata Teorema di de l Hôpital Derivate successive 205

5 Indice generale IX 7.9 Funzioni convesse e concave Studio di funzione Polinomio di Taylor Applicazioni del teorema di Peano Limiti e ordini di infinitesimo/infinito Approssimazione di funzioni con polinomi di Taylor 227 Capitolo 8 Integrali Definizione di integrale di Riemann Un criterio di integrabilità e classi di funzioni integrabili Proprietà dell integrale Funzioni integrali. Il teorema fondamentale del calcolo integrale Studio di funzioni integrali Funzioni primitive - integrale indefinito Calcolo degli integrali Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Integrazione delle funzioni razionali Alcune sostituzioni di base Alcune formule ricorsive e altre primitive Integrabilità in senso improprio Criteri di convergenza: criterio del confronto Assoluta integrabilità in senso improprio 274 Capitolo 9 Complementi su successioni e serie Serie numeriche e integrali impropri Successioni e serie a valori complessi Serie di potenze Serie di Taylor Successioni e serie di funzioni Successioni di funzioni Convergenza uniforme Serie di funzioni 299 Parte III Funzioni di più variabili e funzioni vettoriali Capitolo 10 Limiti e continuità Introduzione Concetti di base Dominio naturale Distanza, intorni, insiemi aperti e chiusi L elemento Alcune disuguaglianze notevoli Limiti e continuità di funzioni da R n in R m Successioni a valori in R n ; insiemi compatti Funzioni continue su un compatto Curve parametrizzate Limiti e continuità di funzioni a valori scalari Uso dei teoremi di carattere generale Funzioni discontinue: alcuni esempi Calcolo dei limiti 323

6 X Indice generale Capitolo 11 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili Derivate direzionali e parziali di funzioni a valori scalari Differenziabilità di funzioni a valori scalari Il teorema del valor medio sui segmenti Integrali dipendenti da un parametro Derivate di ordine superiore Polinomio di Taylor Insiemi convessi e funzioni convesse Estremi liberi di funzioni a valori scalari Derivabilità e differenziabilità di funzioni a valori vettoriali 354 Capitolo 12 Curve e integrali curvilinei Curve in R n Cambiamento di parametro Integrabilità di funzioni vettoriali Curve rettificabili, lunghezza Integrali curvilinei di 1 a specie Integrali curvilinei di 2 a specie. Forme differenziali Forme differenziali esatte e chiuse Insiemi semplicemente connessi Normale, curvatura, binormale, torsione 380 Capitolo 13 Funzioni implicite ed estremi vincolati Sistemi lineari e non lineari Introduzione m ¼ n: il teorema di inversione locale m < n: il teorema delle funzioni implicite m ¼ 1, n ¼ 2: curve di livello m ¼ 1, n ¼ 3: l equazione f ðx, y, zþ ¼c m ¼ 2, n ¼ 3: 2 equazioni in 3 incognite Estremi vincolati di funzioni di due variabili Nozione di estremo vincolato Estremi vincolati: metodo diretto Punti critici vincolati: metodo dei moltiplicatori di Lagrange Estremi di funzioni di due variabili Estremi assoluti di funzioni continue su un compatto Estremi relativi su insiemi chiusi con interno non vuoto Estremi vincolati di funzioni di tre variabili Il caso di funzioni di tre variabili con due vincoli Estremi vincolati di funzioni di n variabili: il caso di m vincoli ðm < nþ 410 Capitolo 14 Integrali multipli Integrali doppi su rettangoli Integrali doppi: il caso generale Domini semplici e formule di riduzione Cambiamento delle variabili di integrazione per gli integrali doppi Coordinate polari Altri cambiamenti di variabili Integrali doppi impropri Misura di insiemi non limitati Integrabilità in senso improprio: funzioni non negative Integrabilità in senso improprio: il caso generale Integrali tripli Formule di riduzione 442

7 Indice generale XI Cambiamento di variabili. Coordinate cilindriche e sferiche 446 Capitolo 15 Superfici e integrali di superficie Superfici in R Integrali di superficie Superfici elementari orientabili Orientazione del bordo di superfici elementari Superfici composte 465 Capitolo 16 I teoremi della divergenza e del rotore Divergenza e rotore Il teorema della divergenza nel piano Il teorema della divergenza nello spazio Il teorema del rotore 480 PARTE VI Equazioni differenzili Capitolo 17 Equazioni differenziali ordinarie Equazioni lineari del primo ordine Equazioni e sistemi in forma normale Equazioni del primo ordine a variabili separabili Risultati di esistenza e unicità per il problema di Cauchy Sistemi di equazioni del primo ordine ed equazioni di ordine n Equazioni lineari del secondo ordine Equazioni omogenee a coefficienti costanti Equazioni non omogenee a coefficienti costanti Equazioni lineari di ordine n Cenno ad alcune altre equazioni e metodi risolutivi Riduzioni dell ordine, equazioni di Legendre Cambiamenti di variabile, equazioni di Eulero Equazioni autonome del secondo ordine Metodo di Frobenius, equazioni di Bessel Sistemi di equazioni lineari del primo ordine Sistemi di equazioni lineari omogenee del primo ordine a coefficienti costanti Cenno al concetto di stabilità 519 PARTE V Funzioni olomorfe e trasformate Capitolo 18 Funzioni olomorfe Derivata complessa; funzione olomorfa Significato geometrico della derivata complessa Integrali curvilinei di funzioni complesse Teorema e formula integrale di Cauchy Derivate di ordine superiore di funzioni olomorfe Funzioni primitive Serie di potenze e funzioni olomorfe Serie di potenze complesse Sviluppabilità in serie di potenze di funzioni olomorfe Singolarità isolate: le serie di Laurent Singolarità isolate: il teorema dei residui 548

8 XII Indice generale Capitolo 19 Trasformata di Laplace Definizione di trasformata di Laplace (unilatera) Trasformata inversa Prime proprietà; trasformate di funzioni elementari Applicazioni Equazioni differenziali ordinarie lineari Serie di Laurent e trasformata di Laplace Prodotto di convoluzione; equazioni integro-differenziali Delta di Dirac; fenomeni impulsivi La trasformata bilatera 576 Capitolo 20 Serie e trasformata di Fourier Serie di Fourier Un applicazione delle serie di Fourier Trasformata di Fourier Introduzione e definizione Proprietà elementari della trasformata di Fourier Trasformata di Fourier e serie di Fourier Teorema di campionamento Delta di Dirac e altre funzioni singolari 600 Crediti 603 Indice analitico 605 Appendice Elementi di algebra lineare