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1 PREFAZIONE pag. 15 Capitolo 1 I NUMERI E LE FUNZIONI REALI 1. Premessa Gli assiomi dei numeri reali Alcune conseguenze degli assiomi dei numeri reali Cenni di teoria degli insiemi Numeri naturali, interi, razionali Il concetto intuitivo di funzione Funzioni e rappresentazione cartesiana Funzioni invertibili. Funzioni monotone Funzioni lineari. Funzione valore assoluto Le funzioni potenza, esponenziale, logaritmo Le funzioni trigonometriche Luoghi geometrici Il principio di induzione 61 Appendice al capitolo Un primo esempio di approssimazione: l'algoritmo di Erone 63 Esercizi 66 Capitolo 2 COMPLEMENTI Al NUMERI REALI 15. Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore Rappresentazione decimale dei numeri reali pag Il logaritmo come strumento di calcolo Scale logaritmiche e semilogaritmiche Calcolo combinatorio I1 binomio di Newton Elementi di probabilità Ulteriori elementi di geometria analitica nel piano I numeri complessi 102 Appendice al capitolo Crescita di una popolazione batterica. Decadimento di sostanze radioattive Un modo non standard di considerare i numeri interi: le classi resto 109 Esercizi 113 Capitolo 3 MATRICI E DETERMINANTI 26. Matrici Operazioni con le matrici Determinante di una matrice 2 x Determinante di una matrice 3 x Determinante di una matrice n x n Matrici inverse Caratteristica di una matrice 136 Appendice al capitolo Lo spazio vettoriale Rn Applicazioni lineari 140 Esercizi 143 Capitolo 4 SISTEMI LINEARI 36. Sistemi lineari di m equazioni in n incognite I1 teorema di Cramer Cenni sul metodo di eliminazione di Gauss I1 teorema di Rouche-Capelli Sistemi omogenei 161

2 Appendice al capitolo Autovalori di una matrice Esempi di utilizzo di sistemi lineari: leggi di Kirchhoff e flusso di traffico automobilistico pag. 167 Esercizi 169 Capitolo 5 ELEMENTI Di GEOMETRIA ANALITICA DEL PIANO 42. Lo spazio vettoriale R Prodotto scalare. Ortogonalità fra vettori. Il piano euclideo Disuguaglianza di Gauchy-Schwarz. Disuguaglianza triangolare La retta Equazioni della retta Parallelismo e perpendicolarità tra rette del piano Cambiamenti di riferimento nel piano. Coordinate polari Circonferenza, ellisse, iperbole, parabola Equazione generale delle coniche 205 Esercizi 209 Capitolo 6 ELEMENTI Dl GEOMETRIA A TRE O PI DIMENSIONI 51. Lo spazio euclideo Rn Elementi di geometria analitica in Rn Ulteriori elementi di geometria analitica nello spazio a tre dimensioni Le quadriche 222 Appendice al capitolo I solidi platonici 235 Esercizi 244 Capitolo 7 LIMITI Dl SUCCESSIONI 56. Premessa Definizioni e prime proprietà Successioni limitate Operazioni con i limiti Forme indeterminate Teoremi di confronto Altre proprietà dei limiti di successioni Alcuni limiti notevoli pag Successioni monotone. Il numero e Ancora sul numero e Successioni definite per ricorrenza Infiniti di ordine crescente 278 Appendice al capitolo Utilizzo del numero e in matematica finanziaria Algoritmo di Erone: convergenza e stime dell'errore La successione di Fibonacci 285 Esercizi 287 Capitolo 8 LIMITI Dl FUNZIONI. FUNZIONI CONTINUE 71. Premessa Definizioni Esempi e proprietà dei limiti di funzioni 302

3 74. Funzioni continue Discontinuita Alcuni teoremi sulle funzioni continue 310 Appendice al capitolo Punti di accumulazione Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni Metodo di bisezione per il calcolo delle radici di una equazione 320 Esercizi 323 Capitolo 9 COMPLEMENTI Al LIMITI 80. Il teorema sulle successioni monotone Successioni estratte. Il teorema di Bolzano-Weierstrass Il teorema di Weierstrass Continuità delle funzioni monotone e delle funzioni inverse 331 Appendice al capitolo Successioni di Cauchy Valori di aderenza di una successione Massimo e minimo limite di una successione Insiemi compatti 340 Esercizi 341 Capitolo 10 DERIVATE 88. Tasso di accrescimento. Significato meccanico della derivata pag Definizione di derivata Operazioni con le derivate Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse Derivate delle funzioni elementari Significato geometrico della derivata. Retta tangente 361 Appendice al capitolo Le funzioni trigonometriche inverse 367 Esercizi 371 Capitolo 11 APPLICAZIONI DELLE DERIVATE. STUDIO Dl FUNZIONI 95. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat I teoremi di Rolle e di Lagrange Funzioni crescenti e decrescenti Funzioni convesse e concave Il teorema di L'Hopital Studio del grafico di una funzione La formula di Taylor: prime proprietà 397 Appendice al capitolo Il teorema di Cauchy. Il teorema di L'Hopital nel caso generale Sulla Continuità della funzione derivata Funzioni convesse in un intervallo Metodo di Newton per il calcolo delle radici di un'equazione 414 Esercizi 418 Capitolo 12 FUNZIONI Dl PIU VARIABILI REALI

4 106. Funzioni di due variabili: dominio; rappresentazione cartesiana Limiti e Continuità Derivate parziali. Gradiente Derivate successive. Teorema di Schwarz Massimi e minimi relativi Funzioni di tre o piu variabili reali pag. 456 Appendice al capitolo Differenziabilita 457 Esercizi 460 Capitolo 13 INTEGRALI DEFINITI 113. Il metodo di esaustione L'integrale definito: interpretazione geometrica Prime proprietà 475 Appendice al Capitolo Determinazione quantitativa degli aminoacidi di una proteina 478 Esercizi 481 Capitolo 14 INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN 117. Definizioni e notazioni Proprietà degli integrali definiti Uniforme Continuità. Teorema di Cantor Integrabilita delle funzioni continue I teoremi della media 496 Appendice al capitolo Integrabilita delle funzioni monotone 497 Esercizi 498 Capitolo 16 INTEGRALI INDEFINITI 123. I1 teorema fondamentale del calcolo integrale Primitive. Formula fondamentale del calcolo integrale L'integrale indefinito Integrazione per decomposizione in somma Integrazione delle funzioni razionali Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Calcolo di aree di figure piane Calcolo di volumi Integrali impropri 627 Appendice al capitolo La funzione gaussiana pag Definizione di logaritmo, esponenziale, potenza 537 Esercizi 539 Capitolo 16 FORMULA Dl TAYLOR 135. Resto di Peano Uso della formula di Taylor nel calcolo di limiti Resto integrale Resto di Lagrange Tabulazione di funzioni 563 Appendice al capitolo Il binomio di Newton come conseguenza della formula di Taylor 566

5 Esercizi 568 Capitolo 17 SERIE 141. Serie numeriche Serie a termini non negativi La serie geometrica La serie armonica Criteri di convergenza Serie alternate Convergenza assoluta Proprietà commutativa delle serie Serie di Taylor Cenni sulle serie di Fourier 591 Appendice al capitolo I1 paradosso di Zenone Moltiplicazione dei depositi bancari 598 Esercizi 598 Capitolo 18 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE 153. Premessa. Crescita esponenziale Equazioni lineari Teorema di Cauchy per le equazioni lineari del primo ordine Equazioni di Bernoulli Equazioni a variabili separabili 614 Appendice al capitolo Un esempio in Scienza delle Costruzioni Perdita di calore di un corpo Il debito di ossigeno Passaggio di una sostanza attraverso una membrana 622 Esercizi 623 Capitolo 19 EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL SECONDO ORDINE 162. Proprietà generali Teorema di unicità Equazioni omogenee Equazioni non omogenee di tipo particolare Il metodo della variazione delle costanti Sistemi differenziali lineari del primo ordine 642 Appendice al capitolo Il moto armonico Moto attraverso un mezzo resistente 648 Esercizi 650 Capitolo 20 MODELLI MATEMATICI IN DINAMICA Dl POPOLAZIONI 170. Crescita di una popolazione isolata Integrazione grafica Crescita di una popolazione non isolata Diffusione di un'infezione Interazione tra due popolazioni: cooperazione, competizione, sistema preda-predatore Il modello di Lotka-Volterra 673 Appendice al capitolo Un modello di crescita della popolazione mondiale 678 Esercizi 683

6 Capitolo 21 ELABORAZIONE STATISTICA Dl DATI SPERIMENTALI 177. Regressione lineare pag Media aritmetica, varianza, deviazione standard I1 metodo dei minimi quadrati Il coefficiente di correlazione Modelli riconducibili al caso lineare Elaborazione di dati di una distribuzione circolare 698 Appendice al capitolo Valutazione del volume idrico di un acquifero 702 Esercizi 703 Capitolo 22 GRAFICI AL COMPUTER 184. Grafici di funzioni di una variabile Grafici di funzioni di due variabili 714 Esercizi 727 Fine

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iv Indice c Indice Prefazione ix 1 Numeri 1 1 Insiemi e logica 1 1.1 Concetti di base sugli insiemi 1 1.2 Un po di logica elementare 9 2 Sommatorie e coefficienti binomiali 13 2.1 Il simbolo di sommatoria 13 2.2 Fattoriale

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