PROGRAMMA di Analisi Matematica 1 A.A , canale 3, prof. Monica Motta Ingegneria gestionale, meccanica e meccatronica, Vicenza

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1 PROGRAMMA di Analisi Matematica 1 A.A , canale 3, prof. Monica Motta Ingegneria gestionale, meccanica e meccatronica, Vicenza Testo Consigliato: Analisi Matematica 1, M. Bramanti, C. D. Pagani & S. Salsa, Zanichelli Editore, Appunti di lezione e complementi in rete, alla pagina web: motta/didattica/didattica.html SETTIMANA 1 1 Numeri (Tutto, escluso il Par. 8 sui Numeri Complessi) Simboli logici. Predicati, proposizioni e loro negazioni. Simboli, relazioni e operazioni sugli insiemi. Prodotto cartesiano. Proprietà di densità di Q. Proprietà di Archimede. ( ) Q non contiene 2 (con dim.). Insiemi numerici: N, Z, Q e R. Definizione di campo e di relazione d ordine. Q e R sono campi totalmente ordinati. Proprietà di continuità dei reali, equivalente alla Proprietà dell estremo superiore e alla Proprietà di separazione. Definizione di: maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore ed estremo inferiore. Caratterizzazione e proprietà. Teorema di unicità del minimo e dela massimo (con dim. facoltativa per il minimo) ( ) Intervalli. Valore assoluto: definizione e disuguaglianze notevoli. Disuguaglianza triangolare (con dim.). Definizione di insieme Numerabile. Z, Q sono numerabili, R non é numerabile. Principio di induzione. Disuguaglianza di Bernoulli (con dim.). Sommatorie e loro proprietà. Somma di progressione geometrica (con dim.). Definizione di fattoriale. Coefficienti binomiali. Formula del binomio di Newton e Triangolo di Tartaglia. 1

2 2 Funzioni di una variabile reale (Tutto, 3.7 e 3.8 leggere) Definizione di funzione e di grafico di una funzione. SETTIMANE 2 E 3 Definizione di dominio, codominio, immagine e antimmagine ( ). Funzione iniettiva e suriettiva ( ). Funzione invertibile e funzione inversa. Grafico della funzione inversa per f definita sui reali e reale. Composizione di funzioni. Funzioni a valori reali: definizione di funzione limitata; caratterizzazione di sup, inf, min e max di una funzione. Funzioni definite sui reali e a valori reali: funzioni periodiche. Loro grafici. funzioni monotone, funzioni simmetriche e Funzioni elementari: affine, valore assoluto, potenza, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche, parte intera, iperboliche. Stretta monotonia implica iniettività (con dim.). Funzioni trigonometriche inverse. Funzioni iperboliche inverse. 3 Limiti e continuità (Tutto, 3.4 leggere) 3.1 Successioni Definizione di successione e di relativo limite. Successioni convergenti, divergenti ed irregolari. Successioni infinitesime ed infinite. Limite per eccesso e per difetto. Successioni limitate. Teoremi sui limiti di successione: unicità del limite (con dim.); successione convergente implica limitata (con dim.); algebra dei limiti su R; permanenza del segno (con dim.); confronto 1- lim n a n lim n b n se a n b n...- (con dim.); confronto 2 (con dim.). Aritmetizzazione parziale di R (forme indeterminate) (con dim. caso + + b n = + e b n inf. limitata e lim n (1/a n ) = 0 + se lim n a n = + ); 2

3 Successioni monotone; Teorema di monotonia (con dim.). SETTIMANE 4 E 5 Definizione di e come limite di successione. Limite di n α e limite di a n per α R e per a > 0. Definizione di o-piccolo per le successioni. Gerarchia di successioni infinite e uso di o-piccolo nel calcolo dei limiti di successione. Criterio del rapporto per le successioni (con dim.) 3.2 Limiti di funzione Definizione di punto di accumulazione ( ) e di intorno di x 0 R = R {± }. Definizione successionale di limite di f. Teorema di unicità del limite. Definizione topologica di limite (compatta e esplicita, nei diversi casi). Teorema ponte : equivalenza tra le due definizioni. Definizione di limite per eccesso e limite per difetto. Definizione di limite destro e sinistro. Proposizione: esiste il limite se e solo se i limiti destro e sinistro coincidono.. Definizione di asintoto orizzontale, verticale e obliquo. Definizione di f continua in x 0. Classificazione dei punti di discontinuità di f. Prolungamento per continuità di f. Definizione di proprietà locale o che vale definitivamente. Teoremi sui limiti di funzione: limitatezza locale delle f con limite finito, algebra dei limiti su R, permanenza del segno, confronto 1, confronto 2. Aritmetizzazione parziale di R (forme indeterminate). Proprietà fondamentali delle f continue in x 0 (perm. prodotti ecc. di f continue. del segno, continuità di somme, Teorema di continuità delle f elementari (con dim. della continuità di sin x) Teorema di cambiamento di variabile nei limiti (con dim.). Corollario: continuità della f composta. Limiti notevoli I: derivanti dalla definizione di e (con dim.); limiti notevoli II: derivanti dal sin x limite lim x 0 x = 1 (con dim.) Definizione di f = o(g) in x 0 e definizione di f g in x 0 : loro proprietà e uso nei limiti. Relazione tra o-piccolo e asintoticità. Gerarchia di funzioni infinite a + e infinitesime a 0 + (vedere in parte su appunti). 3

4 3.3 Funzioni continue su un intervallo Teorema degli zeri (con dim.) Teorema dei valori intermedi (con dim.) e Corollario: f continua manda intervalli in intervalli Teorema di Weierstrass Teorema sui limiti destro e sinistro delle f monotone Funzioni continue su intervallo: invertibilità se e solo se c è stretta monotonia; inversa continua (con dim.). SETTIMANE 6 E 7 4 Calcolo differenziale per funzioni di una variabile (Tutto; 2.2, pag Equazioni differenziali.., pag Derivata logaritmica...-: leggere; 4.3, 5.1, pag 221 (Formula di Taylor e convessità) e 7.5 saltare) Definizione di derivata di f e sua interpretazione geometrica (coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f) (con dim.)( ). Caratterizzazione della derivabilità di f con l uso di o-piccolo ( ). Proposizione: se una funzione è derivabile allora è continua (con dim.). Calcolo delle derivate di alcune funzioni elementari e delle loro inverse (x α, sin x, e x, log x, arcsin x con dim. facoltativa). Tabelle delle derivate delle funzioni elementari. Definizione di derivata destra e sinistra. Punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale. Teorema sull algebra delle derivate (con dim. della Formula di Leibnitz). Teorema sulla derivata della funzione composta (regola della catena) (con dim.). Teorema sulla derivata della funzione inversa (con dim.). Definizione di punti di massimo e di minimo locale e di punti stazionari. Teorema di Fermat (con dim.). Teorema di Lagrange (con dim.). Caratterizzazione delle funzioni costanti su intervallo (con dim.). Teorema-test di monotonia (con dim.). Ricerca dei punti di massimo e minimo locali ed assoluti. Teorema di De l Hôspital (con dim. nel caso 0/0, versione semplificata). 4

5 Teorema: Relazione tra limite di f e derivata destra e sinistra per le f continue (con dim.). Definizione di funzione concava o convessa e di punto di flesso. Teorema-test di concavità. Studio del grafico di una funzione. SETTIMANE Calcolo differenziale e approssimazioni Definizione di o -piccolo e relative proprietà. Relazione tra o -piccolo ed asintotico (già vista in generale nella settimana 5). Definizione del polinomio di Taylor e sue proprietà. Formula di Taylor con resto di Peano (con dim.). Sviluppi di Mac-Laurin delle principali funzioni elementari e loro uso nei limiti. Formula di Taylor con resto di Lagrange: enunciato ed applicazioni. 5 Calcolo integrale per funzioni di una variabile (Tutto, eccetto: 1. Introduzione, pag Interpretazione cinematica, meccanica: leggere. 6. Alcune applicazioni fisiche e geometriche; 7. Calcolo approssimato di un integrale; 10. Convoluzione ecc: saltare) Definizione di somma di Cauchy-Riemann. Definizione di funzione integrabile e di integrale definito. Teorema: classi di funzioni integrabili. Proprietà dell integrale definito. Teorema della media integrale (con dim.). Definizione di primitiva e di integrale indefinito. Definizione di funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale, 1 (con dim.) Teorema fondamentale del calcolo integrale, 2 (con dim.) Integrali immediati. Integrazione per parti (con dim.) -sia per integrali indefiniti che definiti. Integrazione per sostituzione (con dim.) -sia per integrali indefiniti che definiti. Integrazione delle funzioni razionali in x ed in e x. Sostituzioni canoniche: integrazione delle funzioni trigonometriche, delle funzioni irrazionali, delle funzioni in potenze razionali di x. Integrazione delle funzioni discontinue e con valore assoluto. 5

6 SETTIMANA Integrali generalizzati Integrali generalizzati in [a, + [ e in ]a, b], [a, b[ di f non negativa: definizione e significato geometrico. Condizione necessaria per l integrabilità in [a, + [ (con dim.) Criterio del confronto (con dim. nel caso [a, + [) ) Criterio del confronto asintotico (con dim. nel caso [a, + [) ) Convergenza di + 1 Convergenza di + 2 dx x e di 1 α 0 dx x α dx e di 1/2 x α (log x) β 0 al variare di α > 0 (con dim.). dx x α (log x) β al variare di α e β. Confronto asintotico con 1/x α e 1 x α (log x) β per x + o x 0 +. SETTIMANA 11 SERIE SETTIMANA 12 FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI (seguiremo il Vol. 2 del testo: Analisi Matematica 2, M. Bramanti, C. D. Pagani & S. Salsa, Zanichelli Editore. Bastano comunque gli appunti in moodle) N.B. I teoremi da sapere con dimostrazione sono solo quelli in cui viene specificato (con dim.). Per gli altri teoremi, lo studente deve essere in grado di esporre rigorosamente l enunciato, spiegare il significato e le applicazioni del risultato. Lo studente deve inoltre saper enunciare tutte le definizioni in modo rigoroso. Gli esempi inclusi nel testo non fanno parte del programma di teoria, ma se ne consiglia vivamente la lettura per una migliore comprensione degli argomenti svolti. L asterisco ( ) indica che l argomento non si trova sul libro (bastano in tal caso gli appunti on line, in moodle). Per gli argomenti che sono stati trattatati a lezione in modo un po diverso rispetto al testo, lo studente può, a scelta, seguire gli appunti in moodle o il libro di testo. 6