Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Anno Accademico 2015/16

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1 Università degli Studi di Catania- Dipartimento DICAR Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Anno Accademico 2015/16 Denominazione insegnamento ANALISI MATEMATICA 1 M-Z Docente titolare dell insegnamento: Prof. Giuseppa Rita Cirmi Edificio/Indirizzo Dipartimento di Matematica e Informatica Viale Andrea Doria 6 Telefono , cirmi@dmi.unict.it Orario ricevimento: Venerdì ore e mercoledì per appuntamento OBIETTIVI FORMATIVI Il corso ha la finalità di fornire le conoscenze di base del calcolo infinitesimale differenziale e integrale delle funzioni di una variabile. PREREQUISITI RICHIESTI Capacità di argomentare e comunicare, oralmente e in forma scritta. Sapere individuare, descrivere e operare con gli insiemi. Riconoscere ipotesi e tesi di un teorema. Riconoscere se una condizione è necessaria o sufficiente. Sapere negare una proposizione e comprendere un ragionamento per assurdo. Comprendere la differenza tra esempi e controesempi. Conoscere gli insiemi numerici e, in particolare, le proprietà algebriche e di ordinamento dei numeri reali. Conoscere la definizione, il grafico e le principali proprietà delle funzioni: x n n, x,n N, x α,α R, a x, log a (x),a>0, a 1 sin(x), cos(x), tan(x). Sapere applicare le proprietà algebriche e di monotonia delle funzioni fondamentali per la risoluzione di semplici equazioni e disequazioni irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. Conoscere le equazioni o disequazioni di semplici luoghi geometrici ( retta, semipiano, circonferenza, cerchio, ellisse, iperbole, parabola). Conoscere le principali formule trigonometriche. FREQUENZA LEZIONI TESTI DI RIFERIMENTO Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso, cfr. Punto 3.4 del Regolamento Didattico del CL in Ingegneria Civile e Ambientale. 1. M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, Mc Graw Hill 2. G. Fiorito, Analisi Matematica 1, Spazio Libri 3. P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 1, Liguori 5. M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Esculapio 6. T. Caponetto, G. Catania, Esercizi di analisi Matematica 1, Culc. 7. P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol.1, Parte I e II, Liguori

2 PROVA D ESAME Prove in itinere durante il corso Prove di fine corso Date d esame Non sono previste prove in itinere L esame finale consiste in due prove scritte. Lo studente accede alla seconda prova scritta solo se ha riportato una votazione di almeno 18/30 nella prima prova. Lo studente, a richiesta, può sostenere una prova orale al posto della seconda prova scritta. In ogni caso, la Commissione ha la facoltà di concludere l esame con un colloquio orale. La prenotazione per un appello d esame è obbligatoria e deve essere fatta esclusivamente via internet attraverso il portale studenti entro il periodo previsto. 9 febbraio 2016, 8 marzo 2016, 21 giugno 2016, 19 luglio 2016, 13 settembre 2016, 4 ottobre 2016 CONSEGNA MATERIALE DIDATTICO PROGRAMMA DEL CORSO Argomenti Rif. testo 1. CENNI DI TEORIA DEGLI INSIEMI. 29 settembre- 6 ottobre Operazioni insiemistiche e proprietà. Funzioni. Dominio, immagine e grafico di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Insiemi infiniti. Funzioni invertibili. Funzioni composte. Relazioni binarie. Relazione di equivalenza e di ordine. Insiemi ordinati. 2. INSIEMI NUMERICI 7 ottobre- 15 ottobre Gli insiemi numerici N, Z, Q Proprietà dei razionali. Definizione assiomatica dell insieme dei numeri reali. Insiemi separati. L'Assioma di Dedekind. Proprietà di densità nell insieme dei numeri reali. Estremi di un insieme numerico. Potenza con esponente naturale e intero. Esistenza ed unicità della radice n-esima. Risolubilità dell equazione x n = a.potenza con esponente razionale e reale. Logaritmi. Valore assoluto. Equazioni e disequazioni razionali, fratte, irrazionali, con valore assoluto, logaritmiche, esponenziali e trigonometriche. Principio di induzione. 3. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 20 ottobre- 22 ottobre Intervalli. Intorni. Punti di accumulazione. Teorema di Bolzano. Funzioni reali di variabile reale. Dominio, immagine e grafico di una funzione. Estremo superiore e inferiore di una funzione. Funzioni monotone, pari, dispari, periodiche. Funzioni elementari. Proprietà e grafici qualitativi delle funzioni elementari. Funzioni definite per casi. Ricerca del dominio di funzioni reali di variabile reale. 4. LIMITI DI FUNZIONI E DI SUCCESSIONI 27 ottobre 11 novembre Definizione di limite. Limiti delle funzioni elementari. Limite di successioni. Limiti laterali. Teoremi di unicità del limite, permanenza del segno e del confronto. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Successioni limitate. Estremi di una successione. Relazioni tra limite e estremi di una successione. Limite di funzioni monotone. Successioni monotone. Criterio del rapporto per le successioni e sue applicazioni. Numero di Neper. Limite della funzione composta. Limiti dedotti dal Programma A.A Pagina 2 di 7 Testo1: Cap1. Sez.1.1, Cap 2 sez. 2.1, Testo 2, Cap. 1, sez. 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.6, 1.7. Testo 3, cap 1, sez. 1,2,3, 11; Cap.2, sez. 13, 14, 18. Testo1 Cap.1 sez , 1.5 Testo 1 Cap.2, Cap.3 sez. 3.1 Testo 1 Cap.3 sez , Cap.4, sez. 4.1, 4.2, 4.3; Cap. 5 sez , 5.5. Testo 2: Cap. 4, sez , , 4.13, E Testo 3: Cap. 3, sez.33.

3 numero di Neper..Legame tra limiti di funzioni e di successioni. Limiti notevoli. Successioni estratte. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Infinitesimi ed infiniti. Asintoti al grafico di una funzione. 5. FUNZIONI CONTINUE. 12 novembre 18 novembre Definizione e proprietà delle funzioni continue. Teorema di esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Immagine di una funzione continua in un intervallo. Teorema di Weierstrass. Funzioni uniformemente continue. Teorema di Cantor. Continuità delle funzioni monotone. Funzioni invertibili. Continuità delle funzioni inverse. Funzioni arcsenx, arccosx, arctgx. Testo 1: Cap. 6 Testo 2: Cap. 5, sez Testo 3: Cap 4, sez CALCOLO DIFFERENZIALE. 19 novembre- 26 novembre Testo 1: Cap. 7 Derivata di una funzione. Relazione tra continuità e derivabilità. Derivate successive. Significato geometrico della derivata prima. Derivate delle funzioni elementari. Derivata della funzione somma, Testo 2: Cap. 6 e 7 prodotto, reciproca e quoziente. Derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Estremi relativi. Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy, e Lagrange e sue conseguenze. Concavità, convessità e flessi. I Teoremi di De L Hospital. Formula di Taylor. Grafici delle Testo 3: Cap. 5, 6 funzioni elementari. Studio del grafico di una funzione. 8. INTEGRALE INDEFINITO. 1 dicembre- 3 dicembre Primitive. Integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Proprietà di omogeneità e distributiva. Metodi di integrazione per decomposizione, per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali fratte. Integrazione per razionalizzazione. Testo 1:Cap. 8, Sez. 8.5, 8.6 Testo 2: Cap.8, Sez Testo 3: Cap. 9, sez INTEGRALE DEFINITO. 9 dicembre- 15 dicembre Integrale di Riemann. Condizione di integrabilità. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell integrale di Riemann. Teorema della media. Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale. Cenni di teoria della misura secondo Peano-Jordan. Significato geometrico dell integrale definito. Regole di integrazione definita per parti e per sostituzione. Integrali generalizzati e impropri. Testo 1: Cap. 8, Sez , 8.7. Testo 2: Cap.8, sez , , Testo 3: Cap.8, sez SERIE NUMERICHE. 16 dicembre- 14 gennaio Carattere di una serie numerica. Serie di Mengoli, geometrica, armonica. Serie telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica. Operazioni con le serie. Serie a termini non negativi. Criterio del confronto, del rapporto, della radice e di Raabe. Serie armonica generalizzata. Criterio degli infinitesimi. Serie assolutamente convergenti. Serie esponenziale. Serie a segni alterni. Serie logaritmica. Testo 1: Cap 4, sez. 4.7, 4.8, 4.9 Testo 2: Cap.9, Sez , 9.7. Testo 3:Cap.11, Sez Programma A.A Pagina 3 di 7

4 Elenco delle conoscenze minime irrinunciabili per il superamento dell esame Non completezza dell insieme dei numeri razionali. Completezza dell insieme dei numeri reali. Densità degli insiemi dei numeri razionali e irrazionali nell insieme dei numeri reali. Teorema sull'iniettività delle funzioni strettamente monotone e relativo controesempio. Teoremi di unicità del limite, della permanenza del segno e sua generalizzazione. Teoremi di confronto. Teoremi che mettono in relazione la regolarità e la limitatezza di una successione. Teoremi sul limite della funzione somma. Giustificazione, tramite opportuni esempi, dell'affermazione: ` + - è una forma indeterminata''. Teoremi sul limite della successione/funzione prodotto di due successioni convergenti. Teorema sui limiti delle successioni /funzioni monotone. Limiti delle funzioni esponenziale, logaritmo, potenza. Limiti di funzioni trigonometriche. Limiti notevoli. Teorema dell'esistenza degli zeri., e dei valori intermedi L'immagine di un intervallo mediante una funzione continua, non costante, è un intervallo ( Proprietà di Darboux). I teoremi di Weierstrass. Classificazione dei punti di discontinuità. Derivate delle funzioni elementari. Esempi di funzioni non derivabili in un punto. Relazione tra continuità e derivabilità. Regola di derivazione della funzione prodotto, della funzione reciproca e della funzione composta. Derivate delle funzioni arcsenx, arcosx, arctgx. Estremi relativi di una funzione. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange. Corollario del teorema di Lagrange sulle funzioni costanti in un intervallo. Corollario del teorema di Lagrange sulle funzioni monotone (rispettivamente fortemente monotone) in un intervallo. I Teoremi di De L Hopital. Primitive di una funzione. Caratterizzazione delle primitive di una funzione in un intervallo. Formule di integrazione indefinita per parti e per sostituzione. Definizione di integrale definito secondo Riemann. Esempio di funzione limitata non integrabile secondo Riemann. Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone. Teorema della media. Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale. Studio completo della serie geometrica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Le serie a termini non negativi sono regolari. Criterio del confronto per le serie a termini non negativi. Criterio del confronto asintotico per le serie a termini positivi. Studio completo della serie armonica generalizzata. Studio completo della serie logaritmica e della serie esponenziale. Programma A.A Pagina 4 di 7

5 Esempi di domande e/o esercizi frequenti Esempio prima prova scritta Programma A.A Pagina 5 di 7

6 Programma A.A Pagina 6 di 7

7 Programma A.A Pagina 7 di 7 Esempio di seconda prova scritta