M.Bramanti, C.D.Pagani, S.Salsa Analisi Matematica 1. Ed. Zanichelli. Bologna 2008.

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1 MATEMATICA 1 Programma dettagliato del modulo di ANALISI MATEMATICA 1 CORSO 3 Università degli Studi di Cagliari Anno Accademico 2008/2009 Docente: R. Argiolas Riferimenti Bibliografici: M.Bramanti, C.D.Pagani, S.Salsa Analisi Matematica 1. Ed. Zanichelli. Bologna Testi consigliati: S. Salsa, A. Squellati Esercizi di matematica, calcolo infinitesimale e algebra lineare volume 1, Zanichelli. M. Bramanti. Esercizi di calcolo infinitesimale e algebra lineare. Seconda Edizione. Ed. Esculapio, M. Bramanti. PreCalculus. Progetto Leonardo, Ed. Esculapio, Bologna, 1999 (Un introduzione allo studio della matematica universitaria, ed un ripasso ragionato delle matematiche elementari. Contenuto: Uguaglianze e disuguaglianze, Funzioni e grafici, Valore assoluto, Potenze, funzioni esponenziali e logaritmiche, Richiami di trigonometria, Numeri complessi, etc.) Dispense del docente sugli argomenti principali del corso. Obiettivi del corso Gli obiettivi di questo corso sono i seguenti: a) Introdurre i concetti fondamentali del calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale. Questi strumenti sono fondamentali per lo studente in quanto saranno utilizzati in tutte le altre discipline a contenuto fisico-matematico, e inoltre sono fondamentali per il successivo corso di analisi matematica II; b) Abituare al rigore necessario nella discussione e verifica delle ipotesi e all uso critico e consapevole di qualsiasi modello e non; c) Concetti fondamentali del corso sono il concetto di limite e di funzione. Di conseguenza, un altro obiettivo essenziale è creare una certa familiarità con le funzioni elementari e le loro proprietà.

2 PROGRAMMA DETTAGLIATO (per ogni paragrafo è indicato il riferimento al libro di testo) 1. Numeri (Libro di testo: capitolo 1; appunti del docente) Definizione di Insieme. Elementi appartenenti ad un insieme. Rappresentazione tabulare e caratteristica di un insieme. Sottoinsieme. Operazioni con gli insiemi (definizione di unione, intersezione, differenza tra insiemi). Insiemi numerici (numeri naturali, relativi, razionali, reali). Intervalli limitati e illimitati (aperti, chiusi). Il valore assoluto di un numero reale. Proprietà del valore assoluto: positività, omogeneità e disuguaglianza triangolare (dimostrazione). Equazioni e disequazioni con i valori assoluti. 2. Funzioni di una variabile, limiti e continuità (Libro di testo: capitolo 2 e capitolo 3) Definizione di funzione tra due insiemi. Funzioni reali di variabile reale. Definizione di grafico di una funzione. Classificazione delle funzioni elementari: algebriche (razionali intere, razionali fratte, irrazionali), trascendenti (esponenziali, logaritmiche, goniometriche). Campi di esistenza delle funzioni algebriche. Funzioni logaritmiche x f ( x) = log a x (0 < a 1) ed esponenziali f ( x) = a : dominio di definizione, proprietà e grafici. Definizione della funzione valore assoluto. Osservazioni sulla risoluzioni di un sistema di disequazioni e disequazioni fratte (prodotto dei segni). Rappresentazione cartesiana dei campi di esistenza. Disequazioni con il valore assoluto e grafico della funzione valore assoluto. Funzioni limitate (superiormente e inferiormente). Funzioni simmetriche (pari e dispari). Grafici di funzioni simmetriche. Funzioni monotone (crescenti e strettamente crescenti, decrescenti e strettamente decrescenti). Funzioni periodiche. Funzioni goniometriche: le funzioni senx, cosx, tangx, cotangx. Proprietà delle funzioni goniometriche: periodicità, limitatezza, grafico (di tutte le funzioni goniometriche). Positività della funzione: risoluzione di sistemi di disequazioni, di disequazioni fratte, disequazioni logaritmiche ed esponenziali, disequazioni irrazionali. Il concetto di limite. La definizione topologica di limite. Limite destro e limite sinistro di una funzione e relazione con il limite di una funzione. Algebra dei limiti (somma, prodotto, quoziente, potenza). Infiniti e infinitesimi: definizioni. Calcolo dei limiti di polinomi e di rapporto tra polinomio. Calcolo dei limiti e proprietà fondamentali: teoremi del confronto (o dei due carabinieri) e della permanenza del segno. Forme indeterminate. Prodotto di una funzione infinitesima per una limitata. Limiti Notevoli (seno, coseno, numero di Nepero, logaritmo, esponenziale). Dimostrazione sin x del fatto che: lim = 1 x 0 x 2

3 Confronti asintotici. Calcolo dei limiti con l'ausilio dei limiti notevoli. Gerarchia degli infiniti. Stime asintotiche. Infinitesimi e ordine di un infinitesimo. Infiniti e ordine di un infinito. Principio di eliminazione degli infiniti e degli infinitesimi. Definizione di funzione composta. Definizione di funzione inversa. Costruzione del grafico della funzione inversa. Condizioni sufficienti per l invertibilità di una funzione. Le funzioni goniometriche inverse: arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente: definizioni, domini di esistenza e grafici; Il concetto di continuità. Definizione di continuità di una funzione in un punto e in un intervallo. Classificazione dei punti di discontinuità: discontinuità di prima specie (o salto), di seconda specie e di terza specie (o eliminabile). Asintoti di una funzione (verticale, orizzontale, obliquo) e condizioni per la loro esistenza. Proprietà delle funzioni continue (somma, prodotto, quoziente, composta). Teoremi sulle funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato: teorema degli zeri, teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi. 3. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile ( Libro di testo: capitolo 4) Definizione di retta tangente in base alla geometria elementare e la necessita di definire la retta tangente in un punto ad una curva qualsiasi. Definizione di derivata di una funzione in un punto. Significato geometrico di derivata: relazione col coefficiente angolare della retta tangente. Calcolo della derivata, con l utilizzo della definizione, di alcune funzioni elementari: di una costante, polinomi del primo ordine, del secondo ordine e di ordine n, funzione esponenziale, funzione logaritmo, funzioni seno e coseno. Algebra delle derivate: derivata della somma, del prodotto (con dimostrazione), del quoziente, di una costante per una funzione. Derivate delle funzioni elementari. Relazione tra derivabilità e continuità: la derivabilità implica la continuità (teorema con dimostrazione). Controesempio: funzione valore assoluto. Derivata del valore assoluto (segno della funzione). Classificazione dei punti di non derivabilità: punto angoloso, cuspide e flesso a tangente verticale. Derivata di funzione composta (regola della catena). Derivata di funzione di funzione x (esempio: f ( x) = x ). Derivata della funzione inversa e significato geometrico. Derivata di arcsinx, arccosx, arctangx e arccotangx. Ricerca dei massimi e minimi di una funzione reale di variabile reale: definizione di massimo e minimo assoluti e massimi e minimi locali (o relativi). Punti stazionari. Condizione necessaria per l esistenza dei punti di massimo e minimo per funzioni derivabili: Il teorema di Fermat (con dimostrazione). Rapporto tra funzioni crescenti, decrescenti e il segno della derivata prima. Il teorema di Lagrange (con dimostrazione) e il suo significato geometrico. Il teorema di Rolle. Il test di monotonia. Ricerca dei massimi e minimi assoluti e relativi. Relazione tra limite della derivata e derivabilità (teorema 4.9 pag. 191). Derivata seconda e il suo significato geometrico (curvatura). Il test di monotonia applicato alla derivata seconda. Funzioni convesse. Epigrafico. Convessità e derivate. Definizione e ricerca dei punti di flesso. Il teorema di De L'Hospital. Legame del teorema di De L Hospital con la gerarchia degli infiniti. 3

4 Studio di funzione: rappresentazione grafica di funzioni. Il problema della linearizzazione. Primo esempio di linearizzazione: linearizzazione dell incremento subito da una data funzione, in conseguenza di una variazione del suo argomento. Il simbolo di " o piccolo". Differenziale di una funzione e regole di calcolo del differenziale. La formula di MacLaurin con resto di Peano e il polinomio di MacLaurin. Relazione tra "o piccolo" e il simbolo di "asintotico". Le proprietà dell' "o piccolo". Il polinomio di Taylor e la formula di Taylor con il resto secondo Peano. Dimostrazione del teorema di MacLaurin (con n=2). Calcolo dei limiti con l utilizzo della formula di Taylor. Formula di Taylor con il resto secondo Lagrange. Criterio per lo studio dei punti stazionari con l utilizzo della formula di Taylor. 4. Successioni Numeriche ( Libro di testo: capitolo 3) Successioni numeriche. Definizione di successione numerica e esempi di successioni. Successioni limitate (inferiormente e superiormente). In concetto di limite di successione: successioni convergenti, divergenti e irregolari (esempi classici). Teorema di unicità del limite, della permanenza del segno e del confronto (o dei due carabinieri, con dimostrazione). Successioni monotone (crescenti e strettamente crescenti, decrescenti e strettamente decrescenti). Teorema di unicità del limite per successioni monotone. Successione geometrica. Calcolo dei limiti di successione (somma, prodotto, quoziente, potenza). Forme indeterminate. Il numero di Nepero e calcolo del limite. Infiniti e infinitesimi: definizioni. Gerarchia degli infiniti. Criterio del rapporto. Confronti e stime asintotiche. Limite della radice n-esima di una costante e di un polinomio. 5. Serie Numeriche ( Libro di testo: capitolo 5) In concetto di serie come somma di infiniti termini (illustrare con degli esempi il problema della somma infinita di termini: il paradosso di Achille e la tartaruga, il paradosso dello stadio, lunghezza del segmento). Ridotta n-esima (o somma parziale) e successione delle ridotte n-esime (o successione delle somme parziali). Definizione di somma di una serie. Legame tra serie e successione delle ridotte n-esime. Carattere di una serie: convergente, divergente, irregolare. Esempi di serie: serie geometrica, serie armonica, serie armonica generalizzata (in particolare il caso n=2 e la sua somma), serie di Mengoli e serie telescopica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini non negativi. Criteri di convergenza: criterio della radice (dimostrazione), criterio del rapporto, del confronto e del confronto asintotico, criterio di condensazione. Studio del carattere delle serie armonica generalizzata con l utilizzo del criterio di condensazione. Serie a termini di segno variabile. Serie a termini di segno alterno. Assoluta convergenza e relazione con la semplice convergenza. Il Criterio di Leibniz. Cagliari, 19 Dicembre 2008 Il docente del corso R. Argiolas 4

5 Elenco dei teoremi, criteri e proprietà dimostrati: Disuguaglianza triangolare Teorema di unicità del limite per successioni numeriche Teorema di unicità del limite per funzioni reali di variabile reale Teorema del confronto per successioni numeriche Dimostrazione della derivata del prodotto tra due funzioni sin x Dimostrazione del limite notevole lim = 1 x 0 x Teorema di Fermat Teorema di Lagrange Teorema di MacLaurin (in dimensione due) Criterio della radice per serie numeriche 5