2 Introduzione ai numeri reali e alle funzioni

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1 1 CORSO DI LAUREA in Fisica Canale A-CO (canale 4) docente P. Vernole Il programma d esame comprende tutti gli argomenti svolti durante il corso. Dopo ogni sezione sono indicate le parti delle Dispense su cui si trovano quegli argomenti. Le dimostrazioni che si trovano sulle Dispense devono essere conosciute dagli studenti anche se non è specificato espressamente. E specificato quali dimostrazioni NON sono richieste. Gli studenti sono pregati di segnalare eventuali discordanze tra il programma svolto e quello qui indicato. In fondo al programma sono indicati alcuni esempi di domande per l esame orale. 2 Introduzione ai numeri reali e alle funzioni 1.1. Notazioni, insiemi numerici N, Q, R, e relative proprietà. Ordinamento. Modulo e distanza. Postulato degli intervalli incapsulati e assioma di Archimede Funzioni: dominio, insieme immagine, monotonia, simmetrie, funzioni composte Funzioni elementari e funzioni inverse (in particolare x n, exp(x), ln(x), [x], sin x, cos x, tan x, x, arcsin x, arccos x, arctan x e, per quelle invertibili, relazione tra il grafico della funzione e quello dell inversa) Maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore e inferiore di insiemi e di funzioni. Esistenza dell estremo superiore e inferiore di insiemi limitati non vuoti. [Dispense, parte I: Cap. 1, Cap. 2 ]. 3 Limiti e continuità 2.1. Successioni, limiti di successioni, limitatezza delle successioni convergenti. Successioni monotone e loro regolarità. Proprietà dei limiti. Limiti notevoli. La successione (1 + 1 n )n converge crescendo al Numero di Nepero e (senza dimostrazione della monotonia della successione né della sua lmitatezza). Serie, somme parziali di una serie, convergenza e divergenza. Somma di una serie. Serie geometrica e teorema del confronto per serie a termini positivi o nulli. Serie esponenziale. Convergenza assoluta. La convergenza assoluta implica quella semplice. 1

2 2.2. Limiti di funzioni (anche limite destro e sinistro). Proprietà dei limiti e limite di funzioni composte Funzioni continue. Funzioni Lipschitziane. Esempi di discontinuità. Comportamento agli estremi dell insieme di definizione e asintoti verticali e orizzontali. Postulato degli intervalli incapsulati 2.4. Teoremi sulle funzioni continue su intervalli chiusi e limitati: teoremi di esistenza dei valori intermedi e degli zeri, esistenza del massimo e del minimo su intervalli chiusi e limitati. [Dispense, parte I: Cap. 3 (escluso il criterio di convergenza di Cauchy, teorema 1.14, serie armonica e serie armonica generalizzata). Dispense, parte II: Cap. 1. Dispense, parte III: Cap. 1 2: asintoti verticali]. 4 Derivate 3.1. Definizione di derivata, suo significato geometrico, retta tangente. Continuità delle funzioni derivabili Derivate delle funzioni elementari, regole di derivazione, derivate delle funzioni composte e inverse Teoremi di Rolle, Lagrange e applicazioni per ottenere un criterio di monotonia. 3.4 Punti stazionari. Punti di non derivabilità (angolosi o di cuspide). Determinazione di massimi e minimi relativi interni Massimi e minimi assoluti Derivate successive (cenni sulla concavità e convessità e punti di flesso). [Dispense, parte II: Cap. 2 Dispense, parte III: Cap. 1 (esclusi asintoti obliqui), Cap 1 4: senza dimostrazioni, abbiamo introdotto la convessità utilizzando la definizione contenuta nell Osservazione 4.2, equivalente alla Def. 4.1 e il cui significato geometrico è riportato a pagina 11; del Teorema 4.5 solo l enunciato e l interpretazione geometrica all inizio di pag. 12 (il grafico di una funzione convessa derivabile è al di sopra di quello della retta tangente in ogni suo punto). Conoscere gli analoghi risultati per le funzioni concave. Cap 1 5: gli esempi sono esercizi ma non se ne richiede la conoscenza]. 5 Ordini di infinitesimo e infinito. Formula di Taylor Ordini di infinitesimo e di infinito Teorema di l Hospital Formula di Taylor e calcolo di tale formula per le funzioni elementari Espressioni del resto (secondo Lagrange e Peano) e applicazioni al calcolo di valori approssimati o di limiti. [Dispense, parte III: Cap. 2: 1, 2 (la dimostrazione del teorema di de l Hopital solo per il caso 0/0), 3, 4. 2

3 6 Integrale di Riemann e sue proprietà 5.1. Somme integrali e integrale di funzioni limitate, quando integrabili secondo Riemann. Integrabilità delle funzioni monotone (con dimostrazione) e di quelle continue (senza dimostrazione) su intervalli chiusi e limitati Proprietà dell integrale (senza dimostrazioni) e Teorema della media (con dimostrazione). Funzioni integrali e loro Lipschitzianità Funzioni primitive. Teorema fondamentale del calcolo integrale e sue applicazioni. [Dispense, parte III: Cap. 3, 1:è suffi ciente conoscere un esempio di calcolo esplicito delle somme integrali e quindi dell integrale corrispondente e l esempio di funzione non integrabile (funzione di Dirichlet, Es. 1.4), non sono richiesti i volumi dei solidi di rotazione; Cap. 3, 2: ( proprietà dell integrale senza dimostrazioni) Cap. 3, 3 e 4 ]. 7 Integrali indefiniti e definiti 6.1. Integrali elementari Integrazione per sostituzione e per parti Integrazione di funzioni razionali. [Dispense, parte III: Cap. 4 ]. 8 Numeri complessi 7.1 Numeri complessi. Modulo di un numero complesso, significato geometrico di somma e prodotto di numeri complessi. 7.2 Enunciato del Teorema fondamentale dell Algebra. 7.3 Successioni, serie e continuità nei complessi. 7.4 Funzioni complesse, esponenziale complesso e formula di Eulero (rappresentazione trigonometrica dei complessi). [Dispense, parte IV: Cap. 1]. 9 Equazioni differenziali lineari 8.1. Equazioni differenziali lineari del I ordine omogenee e non omogenee Equazioni differenziali lineari del II ordine a coeffi cienti costanti omogenee e non omogenee (per termini noti di tipo particolare). [Dispense, parte IV: Cap. 2 (Il paragrafo delle Dispense sulla risonanza è facoltativo). 3

4 10 R d, funzioni di piú variabili, curve 9.1. Limiti di successioni in R d. Sottosuccessioni e Teorema di Bolzano Weierstrass per le successioni limitate. Criterio di Cauchy. Sottinsiemi di R d. Intorni, aperti e chiusi. Definizione di punto di accumulazione, di punto interno, esterno o di frontiera per un insieme. Definizione di insieme chiuso, di aperto, di compatto. Relazioni tra insiemi chiusi e aperti. Chiusura di un insieme Curve in R d, curve continue (e curve regolari) Funzioni di piú variabili, curve di livello, limiti, continuità. Teorema di Weierstrass 9.4. Derivate parziali. Derivate successive. Matrice Hessiana Gradiente. Osservazione che nei punti di massimo o minimo (locali interni) si annulla il gradiente. Derivabilità parziale e continuità. Differenziabilità [Dispense, parte IV: Cap. 3 (non è richiesta alcuna dimostrazione, no definizione di insiemi connessi per poligonali, no sottoparagrafi Altre norme e Lunghezza di curve ); Cap. 4 (no 3); Cap.5 (non è richiesta alcuna dimostrazione, no sottoparagrafo Funzioni Lipschitziane 3 solo enunciato teorema di Weierstrass ) ]. ESEMPI DI DOMANDE D ESAME (i vari argomenti del programma già costituiscono esempi di domande): 1. Funzioni: dominio, insieme immagine, funzioni pari e dispari, massimo e minimo, estremo superiore e inferiore (definizioni ed esempi). 2. Funzioni invertibili e proprietà della funzione inversa (passando all inversa si mantengono monotonia, continuità, derivabilità?). 3. Definizione di limite di successioni, dimostrazione del teorema del confronto (o dei Carabinieri) e altre proprietà dei limiti 4. Esistenza del limite per le successioni monotone (con dimostrazione) e numero di Nepero e. 5. Serie geometrica (saperne studiare la convergenza o meno). 6. Teorema di confronto per serie a termini positivi e applicazioni. 7. Limiti di funzioni e continuità, esempi di discontinuità. 8. Funzioni continue e Teorema di esistenza dei valori intermedi e degli zeri (enunciati e dimostrazioni). 9. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass (enunciato e dimostrazione, saper indicare contresempi nei casi in cui non vale qualcuna delle ipotesi). 10. Definizione di derivata, suo significato geometrico e proprietà. 11. Enunciato e dimostrazione dei Teoremi di Rolle e Lagrange e applicazioni (allo studio della monotonia di una funzione attraverso lo studio della sua derivata). 12. Limite della derivata e sua relazione con il limite del rapporto incrementale. 13. Punti angolosi e punti di cuspide: esempi (anche solo grafici). 12. Massimi e minimi relativi e loro determinazione se le funzioni sono derivabili. 4

5 13. Massimo e minimo assoluto di funzioni: come determinarli quando esistono. 14. Riconoscimento della concavità e convessità di una funzione dallo studio della sua derivata seconda. Proprietà geometriche delle funzioni convesse (relazione tra grafico della retta tangente e grafico della funzione). 15.Teorema di l Hospital. 16. Dimostrazione della formula di Taylor con resto di Peano. 17. Formula di Taylor con resto di Lagrange e sua utilizzazione (per il calcolo di valori approssimati di funzioni trigonometriche o esponenziali e per dedurre la convergenza della serie di Taylor alla funzione di cui è lo sviluppo). 18. Definizione dell integrale di una funzione limitata e relativo significato geometrico per funzioni nonnegative. 19. Dimostrazione della integrabilità su intervalli chiusi e limitati delle funzioni monotone. 20. Proprietà dell integrale. Enunciato e dimostrazione del teorema della media, suo significato geometrico e contresempio. Proprietà delle funzioni integrali. 21. Teorema fondamentale del calcolo integrale: enunciato, dimostrazione e applicazioni. 22. Numeri complessi: modulo, somma e prodotto e loro significato geometrico. Deduzione della formula di Eulero dall esponenziale complesso. 23. Equazioni differenziali lineari del primo ordine e problema di Cauchy: costruzione delle soluzioni e soluzione di un problema di Cauchy. 24. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coeffi cienti costanti omogenee: struttura dell insieme delle soluzioni. Problema di Cauchy. 25. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coeffi cienti costanti non omogenee: determinazione di una soluzione particolare e dell integrale generale. Principio di sovrapposizione. Casi di risonanza. 26. Norma e limiti di successioni in R d. 27. Insiemi aperti, chiusi, compatti R d : definizioni ed esempi. 28. Curve in R d. 29. Esempi di funzioni di due variabili, determinazione delle curve di livello. Continuità di funzioni di due variabili. 30. Calcolo di derivate parziali e quindi del gradiente. Annullamento del gradiente nei punti di massimo o minimo relativo interno. 5