MATEMATICA GENERALE - Canale III

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1 MATEMATICA GENERALE - Canale III Prof A Ramponi - AA 211/212 Riepilogo argomenti trattati Settimana 1 (3/5 - Ottobre) Introduzione al corso Elementi base di teoria degli insiemi: definizioni ed operazioni (unione, intersezione, differenza, complemento) Insiemi numerici: i naturali N, gli interi Z, i razionali Q Irrazionalità di 2 I numeri reali R Rappresentazione geometrica dei numei reali Intervalli propri e impropri Insiemi limitati superiormente e inferiormente Massimo e minimo, maggioranti e minoranti, estremo inferiore e superiore Rif Simon-Blume, Matematica Generale: Appendice A11, A12 (facoltativa A13), Cap 21 Settimana 2 (1/12 - Ottobre) Funzioni Principali definizioni: funzioni iniettive, suriettive e biunivoche Funzioni di variabile reale Dominio e immagine Il piano cartesiano Grafico di funzioni Funzioni monotone Richiami di trigonometria Distanza di punti nel piano Rette e funzioni lineari Il coefficiente angolare Esempi di funzioni lineari Equazione della retta passante per due punti La funzione modulo Funzioni quadratiche Rif Simon-Blume, Matematica Generale: Cap 21, 22 Settimana 3 (17/19 - Ottobre) Successioni Limiti di successioni: convergenza e divergenza Unicità del limite Successioni monotone Operazioni algebriche sui limiti: somma, 1

2 prodotto, quoziente Forme indeterminate: +, ±,, ±, ± 1±,, ± Teoremi di confronto ( Teorema di permanenza del segno Il numero di Nepero e = lim n n n) Applicazione: composizione continua degli interessi Le funzioni esponenziali f(x) = a x : definizione e prime proprietà Argomenti dell esercitazione: perpendicolarità tra rette, dominio e segno di alcune funzioni, regola di Ruffini, limiti di successioni Rif Simon-Blume, Matematica Generale: Cap 23, 24, 51, 52, 54 Settimana 4 (24/26 - Ottobre) Funzioni inverse: il logaritmo Dal limite di successione al limite di funzione: x ±, x x Limiti da destra e da sinistra Asintoti orizzontali e verticali Funzioni continue: definizione, proprietà ed esempi Teoremi: di permanenza del segno, di Weierstrass, dei valori intermedi, di esistenza degli zeri La derivata di una funzione: definizione ed interpretazione geometrica Argomenti dell esercitazione: calcolo di limiti di funzione di variabile reale e determinazione di asintoti orizzontali e verticali Rif Simon-Blume, Matematica Generale: Cap 23, 24, 25, 41, 42 (derivazione esclusa), 53, 54 Settimana 5 (31 Ottobre, 2 Novembre) Le derivate delle funzioni elementari Regole di calcolo Crescenza e decrescenza Caratterizzazione di minimi e massimi locali e punti stazionari Un esempio di studio di funzione Argomenti dell esercitazione: calcolo di derivate e studi di funzione Rif Simon-Blume, Matematica Generale: Cap 26, 31, 34, 35, 55 2

3 Settimana 6 (7/9 Novembre) I teoremi di Rolle e di Lagrange (o del Valore Medio) Derivate di ordine superiore Concavità e convessità: definizione e relazione con la derivata seconda Massimi e minimi: condizioni del secondo ordine Infiniti, infinitesimi e loro confronto Ulteriori applicazioni del calcolo differenziale: il teorema di de l Hôpital e la soluzione di forme indeterminate; sviluppi e polinomi di Taylor Argomenti dell esercitazione: limiti di forme indeterminate risolti con de l Hôpital Studio delle funzioni: f(x) = x(log(x)) 2, f(x) = xe 2x, f(x) = 2xe 1/(3x) Rif Simon-Blume, Matematica Generale: Cap 27, 28, 32, 33, 35, (facoltativo: 36), 7 Settimana 7 (14/16 Novembre) Integrazione indefinita e funzioni primitive Regole di integrazione: integrali immediati, integrazione per parti, intergazione per sostituzione Integrale definito: definizione e principali proprietà Teorema della media integrale Teorema fondamentale del calcolo integrale Integrali impropri Argomenti dell esercitazione: polinomi di Taylor, integrazione per sostituzione e parti Rif Simon-Blume, Matematica Generale: Cap 81, 82, 83, 84 Settimana 8 (21/23 Novembre) Serie numeriche La serie geometrica: definizione e proprietà Un esempio di applicazione: il valore attuale di un flusso di cassa Sistemi lineari Rappresentazione tramite matrici Metodi di soluzione: sostituzione e eliminazione di Gauss Il determinante di una matrice: definizione e calcolo 3

4 Argomenti dell esercitazione: integrazione per sostituzione e parti, soluzione di sistemi lineari, calcolo di determinanti Rif Simon-Blume, Matematica Generale: Cap 85, 11, 12, 121 Settimana 9 (28/3 Novembre) Determinante di matrici 3 3: regola di Sarrus Minori e rango di una matrice A R m n Il Teorema di Rouché-Capelli: Il sistema Ax = b, dove A R m n, x R n e b R m, ammette soluzioni se e solo se rango(a) =rango(a) (A = (A b) R m (n+1) matrice completa del sistema) In tal caso le soluzioni sono n p, con p =rango(a) =rango(a) Il Teorema di Cramer e la rappresentazione della soluzione come rapporto di determinanti Discussione della struttura delle soluzioni per sistemi parametrici e sistemi omogenei 1 1 Prodotto di matrici, matrice identità, matrice inversa 1 Soluzione del sistema lineare Ax = b come x = A 1 b, per A R n n e invertibile Introduzione ai vettori Argomenti dell esercitazione: soluzione di sistemi lineari Rif Simon-Blume, Matematica Generale: Cap 1, 11, 12 (solo gli argomenti trattati a lezione), 131, 132 Settimana 1 (5/7 Dicembre) Vettori in R n Algebra vettoriale: addizione, sottrazione, moltiplicazione per uno scalare e loro interpretazione geometrica Prodotto scalare (o interno), norma, disuguaglianza triangolare 4

5 Combinazioni lineari di vettori: c 1 v 1 + c 2 v c k v k, c i R, v i R n, i = 1,, k, insiemi generati, dipendenza e indipendenza lineare Esempi in R 2 e R 3 : rette e piani Determinazione della proprietà di dipendenza o indipendenza lineare dei vettori v 1, v 2,, v k R n come studio delle autosoluzioni del sistema omogeneo Ac = : c 1 v 11 v 21 v n1 c 1 v 1 + c 2 v c k v k = + c 2 v 12 v 22 v n2 + + c k v 11 v 12 v 1k v 21 v 22 v 2k v n1 v n2 v nk c 1 c 2 c k v 1k v 2k v nk = = Basi di R n Argomenti dell esercitazione: soluzione di sistemi lineari parametrici e omogenei Dipendenza e indipendenza di vettori Rif Simon-Blume, Matematica Generale: Cap 131, 132, 133, 134, 14 Settimana 11 (12/14 Dicembre) Insiemi generati da vettori, base e dimensione di R n Funzioni reali di più variabili Domini, limiti e continuità: il caso n = 2 Rappresentazione grafica: superfici e curve di livello Derivate parziali: definizione e calcolo, gradiente ed Hessiano Piano tangente e punti stazionari Massimi, minimi e punti di sella: condizioni del primo e del secondo ordine 5

6 Teorema Sia f : D R 2 R, D insieme aperto, una funzione dotata di derivate prime e seconde, sia (x, y ) un punto stazionario in D, f x (x, y ) = f y (x, y ) = e ( ) fxx (x H(x, y ) =, y ) f xy (x, y ) f xy (x, y ) f yy (x, y ) la matrice Hessiana nel punto Allora { (x, y det(h(x, y )) > ) è un minimo se f xx (x, y ) > (x, y ) è un massimo se f xx (x, y ) <, det(h(x, y )) < (x, y ) è un punto di sella Nel caso det(h(x, y )) =, nulla si può concludere Cenni ai problemi di ottimizzazione liberi e vincolati Rif Simon-Blume, Matematica Generale: Cap 142, 143 Gli argomenti trattati in queste lezioni sulle funzioni di n variabili sono (molto più) diffusamente trattati nei seguenti capitoli del Simon-Blume: 171, 172, 175, 176, 177, 171, 181, 182, 183, (chi è interessato può leggere anche 178, 179, 184) 6