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1 Limiti di funzioni all infinito (1) lim f(x) = λ R x K>0 : x > K f(x) λ < ε (2) lim f(x) = x M>0 >0 K>0 : x > K f(x) > M (3) lim f(x) = x M>0 >0 K>0 : x > K f(x) < < M

2 Se f(x) è definita in un intorno di (1*) lim f(x) = λ R x >0 K>0 : x< K f(x) λ < ε (2*) lim f(x) = M>0 x >0 K>0 : x < K f(x) > M (3*) lim f(x) = x M>0 >0 K>0 : x < K f(x) < < M

3 Limiti di funzioni al finito (4) lim f(x) = λ R δ>0 : 0 < x x o < δ f(x) λ < ε Utilizzando il linguaggio degli intorni δ>0: x I δ (x o ) f(x) I ε (λ) dove I δ (x o ) :=I δ (x o )\{ x o } N.B.: lim f(x) =... dove prendiamo x 0? x 0 dom(f)? Non è necessario: è sufficiente che sia un punto di accumulazione del dominio di f (cioè tale che qualunque intorno di x 0 contenga sempre punti del dominio diversi da x 0 ).

4 (5) lim f(x) = M>0 δ>0 : 0 < x x o < δ f(x) > M Utilizzando il linguaggio degli intorni M >0 δ>0 : x I δ (x o ) f(x) I M ( ) (6) lim f(x) = M>0 δ>0 : 0 < x x o < δ f(x)< M Utilizzando il linguaggio degli intorni M >0 δ>0 : x I δ (x o ) f(x) I M ( )

5 Limiti laterali Limiti laterali destri (7) lim f(x) = λ R δ>0 : x o < x < x o δ f(x) λ < < ε Utilizzando il linguaggio degli intorni δ>0 : x I δ (x o ) f(x) I ε (λ) dove I δ (x o ) :=(x o,x o δ) si dice intorno destro di x o di raggio δ

6 Limiti laterali sinistri (8) lim f(x) = λ R δ>0 : x o δ< x < x o f(x) λ < < ε Utilizzando il linguaggio degli intorni δ>0 : x I δ (x o ) f(x) I ε (λ) dove I δ (x o ) :=(x o δ,x o ) si dice intorno sinistro di x o di raggio δ In modo analogo si definiscono (9) lim f(x) = (10) lim f(x) = x x o x x o (11) lim f(x) = (12) lim f(x) = Proprietà λ lim f(x) = λ lim f(x) = λ lim f(x) = λ x x o x x o x x o

7 Asintoti Asintoti orizzontali La retta y=λ è asintoto orizzontale destro di f(x) se lim f(x) = λ R x La retta y=λ è asintoto orizzontale sinistro di f(x) se lim f(x) = λ R x

8 Asintoti verticali La retta x=x 0 è asintoto verticale di f(x) se lim f(x) = / / La retta x=x 0 è asintoto verticale destro di f(x) se lim f(x) = / / La retta x=x 0 è asintoto verticale sinistro di f(x) se lim f(x) = / /

9 Asintoti obliqui La retta y=mxn è asintoto obliquo destro di f(x) se lim f(x)/x = m R\{0} n= lim (f(x)mx) x x La retta y=mxn è asintoto obliquo sinistro di f(x) se lim f(x)/x = m R\{0} n= lim (f(x)mx) x x N.B. Si può avere un asintoto obliquo destro solo se non è già presente un asintoto orizzontale destro (e lo stesso per il sinistro). Possono invece coesistere un asintoto orizzontale da un lato e obliquo dall altro lato

10 Continuità Sia x 0 interno a Dom(f) Def. : f(x) è continua in x=x 0 se lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 cioè se δ>0 : x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε Prop. : f(x) è continua in x= x 0 se lim f(x) = lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 x x 0 Def.: f(x) è continua su A Dom(f) se è continua in ogni punto x 0 A Proprietà:: Le funzioni elementari e le loro inverse sono continue in tutto il loro dominio (Funzioni elementari: polinomi e funzioni razionali, funzioni elevamento a potenza, funzioni esponenziali, funzioni trigonometriche)

11 Punti di discontinuità Sia x=x 0 un punto di accumulazione del dominio di f, x 0 R x=x 0 è detto punto di discontinuità eliminabile se lim f(x) = λ R (λ f(x 0 ) se f è definita in x= x 0 ) x x 0 x= x 0 è detto punto di discontinuità di prima specie (o di salto finito) se lim f(x) =λ 1 R, lim f(x)=λ 2 R, λ 1 λ 2 x x 0 x x 0 x= x 0 è detto punto di discontinuità di seconda specie se è un punto di discontinuità di f né artificiale né di prima specie, cioè se almeno uno dei due limiti laterali o non esiste o non è finito Prolungamento per continuità Sia x= x 0 è un punto di discontinuità eliminabile, sia lim f(x) = λ. x x 0 Si definisce prolungamento per continuità di f(x) in x=x 0 la funzione f(x) se x x 0 = λ se x= x 0 Proprietà è continua in x=x 0

12 Proprietà locali delle funzioni continue (1) Continuità di somma, prodotto, quoziente (2) Continuità delle funzioni composte ************************************ Teoremi sui limiti (1) Teorema di unicità del limite (2) Teorema di permanenza del segno (Dim.) (3) Corollario ( quasi inverso del T.p.s.) (4) Primo teorema del confronto (caso finito) (5) Primo teorema del confronto (caso infinito) (6) Secondo teorema del confronto (caso finito) o teorema del doppio confronto o teorema dei due carabinieri (Dim.) (7) Teorema infinitesimo limitato (8) Limite di funzioni composte: scambio tra limite e funzione continua principio di sostituzione (9) Teorema: legame tra limiti di successioni e limiti di funzioni (9bis) Criterio di non esistenza del limite (tramite le successioni)

13 Algebra dei limiti Proprietà: Limite della somma, del prodotto, del quoziente; limite di funzione elevata a funzione (caso finito e infinito) λ = se λ R oppure λ = λ = se λ R oppure λ = λ = se λ >0 oppure λ = λ = se λ <0 oppure λ = λ = se λ >0 oppure λ = λ = se λ <0 oppure λ = / λ = se λ >0 / λ = se λ <0 / λ = se λ >0 / λ = se λ <0 λ /0= se λ R\{0} oppure λ =± λ / =0 se λ R a = a =0 se 0<a<1 a = 0 a = se a>1 0 λ =0 se λ>0 oppure λ = 0 λ = se λ<0 oppure λ = 1 λ =1 se λ R λ = se λ>0 oppure λ = λ =0 se λ<0 oppure λ = Forme indeterminate algebriche 0/0 / 0 Forme indeterminate esponenziali Si risolvono ricordando: f(x) g(x) g(x)ln f(x) =e

14 Teoremi sui limiti di funzioni monotone Sia f(x) monotona in un int. destro I (c) del punto x=c. Allora esiste in il limite destro di f(x), per x tendente a c, e precisamente sup J se f è decrescente lim f(x)= x c inf J se f è crescente dove J = { f(x): x I (c) }. Sia f(x) monotona in un int. sinistro I ( (c) del punto x=c. Allora esiste in il limite sinistro di f(x), per x tendente a c, e precisamente sup J se f è crescente lim f(x)= x c inf J se f è decrescente dove J= { f(x): x I (c) }. Sia f(x) monotona in un intorno I (x 0 ) del punto x 0 R. Allora esistono in R i limiti laterali di f(x), per x tendente a x 0 ; inoltre: lim f(x) lim f(x) x x 0 x x 0 se f è crescente lim f(x) lim f(x) x x 0 x x 0 se f è decrescente Se f è definita in x 0, f(x 0 ) deve essere compreso tra i due limiti laterali.

15 Calcolo di limiti (1) Limiti di polinomi (2) Limiti di funzioni razionali (3) Limiti di funzioni irrazionali (4) Limiti di funzioni trigonometriche lim sin x / x = 1 lim tan x / x = 1 lim (1cos x) / x 2 = 1/2 lim (1cos x) / x = 0 (5)Limiti di funzioni esponenziali logaritmiche lim (11/ x) x = e x ± lim (1x) 1/x = e lim log a (1x)/x =log a e (in particolare lim ln (1x)/x =1) lim (a x 1)/x = ln a (in particolare lim (e x 1)/x =1) lim [(1x) α 1]/ x = α, α R

16 Teoremi sulla continuità globale (1) Teorema di esistenza degli zeri (2) Corollario (sull intersezione di due funzioni) (3) Primo teorema dei valori intermedi (Dim.) N.B. I teoremi (1),(2),(3) si possono generalizzare al caso di funzioni continue su intervalli (a,b) non chiusi e/o non limitati, sostituendo f(a) con lim f(x) e f(b) con lim f(x) x a x b (4) Teorema di Weierstrass (5) Secondo teorema dei valori intermedi (Dim.) (6) Teorema sull immagine degli intervalli mediante le funzioni continue (Dim.) (7) Secondo teorema su iniettività e stretta monotonia (8) Teorema della continuità della funzione inversa