Limiti di funzioni e continuità

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Italo De Angelis
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1 Limiti di funzioni e continuità Paolo Montanari Appunti di Matematica Limiti di funzioni e continuità 1 Funzioni limitate La funzione f(x) è limitata superiormente se esiste un numero reale M tale che f(x) M per x appartenente al Campo di Esistenza. La funzione f(x) è limitata inferiormente se esiste un numero reale M tale che f(x) M per x appartenente al Campo di Esistenza. Una funzione è detta limitata se lo è sia inferiormente che superiormente f(x)=2 x è limitata inferiormente ma non è limitata superiormente f(x)=log 2 x non è limitata superiormente e non è limitata inferiormente Paolo Montanari Appunti di Matematica Limiti di funzioni e continuità 2 1

2 Massimi e minimi assoluti e relativi Si indichi con X il dominio della funzione f(x). x 0 X è un punto di massimo assoluto di f(x) se x X si ha f(x) f(x 0 ) x 0 X è un punto di minimo assoluto di f(x) se x X si ha f(x) f(x 0 ) Se un punto è di massimo (o minimo) solo localmente, si parlerà di punto di massimo (o minimo) relativo. x 0 X è un punto di massimo relativo di f(x) se esiste un intorno di x 0 Int(x 0, δ) tale che x Int(x 0, δ) si ha f(x) f(x 0 ) x 0 X è un punto di minimo relativo di f(x) se esiste un intorno di x 0 Int(x 0, δ) tale che x Int(x 0, δ) si ha f(x) f(x 0 ) massimo relativo minimo assoluto minimo relativo Paolo Montanari Appunti di Matematica Limiti di funzioni e continuità 3 Limiti di funzioni Calcolare il limite della funzione y = f(x) al tendere di x a x 0 (finito o infinito) significa calcolare, quando possibile, il valore l (finito o infinito) a cui si avvicina f(x) via via che la x assume valori sempre più prossimi a x 0. Tale operazione si indica con: = Formalmente: > 0 > 0 tale che 0 < 0 < < Es. + = log = = Paolo Montanari Appunti di Matematica Limiti di funzioni e continuità 4 2

3 Limiti destro e limite sinistro Se si deve considerare il solo intorno destro (o il solo intorno sinistro) di x 0 si parlerà di limite destro (o limite sinistro) indicandoli con i simboli: Es. = (limite = (limite = < di f per x che tende a x 0 da destra) di f per x che tende a x 0 da sinistra) y 1-1 x = = Paolo Montanari Appunti di Matematica Limiti di funzioni e continuità 5 Osservazione sui limiti Dalle definizioni precedenti segue che una funzione f(x) ammette limite per x che tende a x 0 se e solo se esistono il limite sinistro e il limite destro di f(x) in x 0 e sono uguali fra loro. In simboli: = = = Paolo Montanari Appunti di Matematica Limiti di funzioni e continuità 6 3

4 Esempio 1 log = log = + = Paolo Montanari Appunti di Matematica Limiti di funzioni e continuità 7 Esempio 2 =, log, = + log, = Paolo Montanari Appunti di Matematica Limiti di funzioni e continuità 8 4

5 Esempio 3 = = = = + = Paolo Montanari Appunti di Matematica Limiti di funzioni e continuità 9 Teoremi sui limiti Teorema unicità del limite: il limite della funzione f(x) per x tendente a x 0 (finito o infinito) se esiste è unico. Teorema di permanenza del segno: se per x tendente a x 0 (finito o infinito) la funzione f(x) tende a un limite finito l diverso da 0, esiste un intorno di x 0 per tutti i punti del quale (escluso al più x 0 ) la funzione ha lo stesso segno del limite. Teorema di confronto: siano f, g, h tre funzioni definite in uno stesso intervallo X, escluso al più il punto x 0, e supponiamo che per ogni x si abbia: h(x) f(x) g(x) Si supponga inoltre che: = = Allora si ha anche: = Paolo Montanari Appunti di Matematica Limiti di funzioni e continuità 10 5

6 Operazioni sui limiti Limite della somma di due o più funzioni: ()+() =()+ Limite della prodotto di due o più funzioni: () () =() Limite del valore assoluto: = () = Limite del quoziente: () () () = () Paolo Montanari Appunti di Matematica Limiti di funzioni e continuità 11 Calcolo dei limiti espressioni determinate + = = + = + = + = + Paolo Montanari Appunti di Matematica Limiti di funzioni e continuità 12 6

7 Calcolo dei limiti espressioni indeterminate + = = log = log = ( ) Paolo Montanari Appunti di Matematica Limiti di funzioni e continuità 13 Forme indeterminate Prima forma indeterminata: - Seconda forma indeterminata: 0 Terza forma indeterminata: 0 / 0 Quarta forma indeterminata: / Per tentare di risolvere le diverse forme indeterminate può essere utile sfruttare i limiti notevoli Paolo Montanari Appunti di Matematica Limiti di funzioni e continuità 14 7

8 Limiti notevoli lim = 1 1 lim = log (1+) lim 1 lim = 1 lim 1+1 = 1 = lim 1+ = Paolo Montanari Appunti di Matematica Limiti di funzioni e continuità 15 Calcolo dei limiti forme indeterminate Il metodo principale per risolvere le forme indeterminate consiste nell effettuare opportuni passaggi algebrici. 1 lim + 1 = 1 lim + 1 = lim 1 + = lim 1 = + lim lim = =lim ( 3) ( 2) ( 3) (+1) = lim 2 +1 = 1 4 Paolo Montanari Appunti di Matematica Limiti di funzioni e continuità 16 8

9 Continuità e discontinuità di una funzione Una funzione f è continua in x 0 se risulta: = = ( ) con L finito Affinché f sia continua in x 0 devono essere soddisfatte tre condizioni: 1. f è definita in x 0 ; 2. esiste finito il limite di f per x tendente a x 0 ; 3. il valore del limite coincide con il valore di f in x 0. Una funzione f è continua nell intervallo X se è continua per ogni x 0 X Le funzioni algebriche intere, sia razionali che irrazionali, sono continue. Se non sono verificate le tre condizioni x 0 è un punto di discontinuità per f Paolo Montanari Appunti di Matematica Limiti di funzioni e continuità 17 Discontinuità di prima specie Si ha discontinuità di prima specie quando esistono finiti sia il limite destro che quello sinistro della funzione, ma tali limiti non sono uguali tra loro. x 0 Paolo Montanari Appunti di Matematica Limiti di funzioni e continuità 18 9

10 Discontinuità di seconda specie Si ha discontinuità di seconda specie quando almeno uno dei due limiti (destro o sinistro) non esiste o è infinito. = x 0 =0 è un punto di discontinuità di II specie Paolo Montanari Appunti di Matematica Limiti di funzioni e continuità 19 Discontinuità di terza specie Si ha discontinuità di terza specie quando esiste finito il limite della funzione, ma la funzione non è definita in x 0 oppure, se è definita, il valore della funzione non coincide con il limite. Le discontinuità di terza specie sono eliminabili costruendo una nuova funzione che assume gli stessi valori della funzione originaria per i valori diversi da x 0, e per x = x 0 assume il valore del limite. Es. la funzione = non è definita per x=0 (forma indeterminata ) Poiché si ha lim = 1 la discontinuità è eliminabile costruendo la 0 nuova funzione continua: = 1 = 0 Paolo Montanari Appunti di Matematica Limiti di funzioni e continuità 20 10

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