IIID Matematica Aprile ) Cosa significa dire che una funzione reale di variabile reale è continua?

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1 1) Cosa significa dire che una funzione reale di variabile reale è continua? 2) Dire se la funzione f(x) = x x 2 5 è a continua per x = 5 ; b continua per x = 3 ; c continua per x = π 2 ; 3) Cosa si intente per dominio di una funzione reale di variabile reale? 4) Nella figura è rappresentato il grafico della funzione f(x) = 2 (x 2) x 2 4 ; quali sono i iti per x ; 5) Dire se il x 1 + x 2 +4x 5 è una forma indeterminata e come si può aggirare ; descrivere il procedimento senza risolvere il ite Risposta: si scompone in fattori il numeratore, si semplifica la frazione algebrica e infine si risolve il ite Svolgimento x 2 + 4x 5 x 1 = (x + 5)(x 1) (x 1) = (x + 5)(x 1) (x 1) = (x + 5) Pagina 1

2 Quindi (x + 5) = 6 x 1 + 6) Calcolare x2 4x+5 x 2 7) Calcolare x + 3x 2 x 3 3x 3 2 Svolgimento: 3x 2 x 3 = x3 ( x 2 2 ) 3x 3 2 x 3 (3 2 x 2) 3 3 = x3( x 2 2 ) = ( x 3 (3 2 x 2) 3 x 2 2 ) (3 2 x 2) quindi x + 3x 2 x 3 3x 3 2 = x + ( 3 x 2 2 ) (3 2 x 2 ) = ( 3 2 ) + = (3 2 ) + (0 2 ) (3 0) = 2 3 8) Calcolare x 1 x 1 2x 3x Svolgimento1: si moltiplicano numeratore e denominatore per la stessa quantità ( 1 x + 1 2x ) Moltiplicare numeratore e denominatore di una frazione per la stessa quantità significa moltiplicare la frazione per 1, quindi non cambiarla; ma utilizzare la moltiplicazione del numeratore o del numeratore per tentare di superare la forma indeterminata In questo esercizio al numeratore comparirà una somma per una differenza che potrà essere scritta come prodotto notevole, ecco come ( 1 x 1 2x )( 1 x + 1 2x ) = ( 1 x ) 2 ( 1 2x ) 2 = Pagina 2

3 = (1 x) (1 2x) = x Ritornando alla frazione dell esercizio ( 1 x 1 2x ) 3x = ( 1 x 1 2x )( 1 x + 1 2x ) 3x( 1 x + 1 2x ) = (1 x ) (1 2x) 3x( 1 x + 1 2x ) = x = x 3x( 1 x + 1 2x ) 3x( 1 x + 1 2x ) = 1 3( 1 x + 1 2x ) quindi x 1 x 1 2x 3x = x 1 3( 1 x + 1 2x = 1 = 1 = 0 ) 3( ) 9) Dire se la funzione f(x) = (spiega la risposta) 1 x 2 ha come asintoto verticale la retta x=2 10) Calcolare x 1 + x 2 4x+5 11) Calcolare x + 5x 3 7x 2x ) Calcolare x 3x 2 11 x 2 +7 x ) Dire se la funzione f(x) = x 8 x+2 y=1 Spiega la risposta ha come asintoto orizzontale la retta 14) Calcolare x 2 x x 3 Pagina 3

4 15) Calcolare x 7x x2 +3x4 x 2 x x 16) Calcolare 2 7 2x 2 +1 x 2 x ) Dire se la funzione f(x) = x+5 x=1 Spiega la risposta ha come asintoto verticale la retta 18) Calcolare x 1 x 2 +1 () 2 19) Calcolare x2 30 x 5 x 2 7x+10 x+1 3x 7 20) Calcolare x 4 x 4 21) Dire se la funzione f(x) = 3x2 x 2 1 y=3 Spiega la risposta ha come asintoto orizzontale la retta 22) Calcolare x 1 x2 3x+2 5x 2 7x+2 23) Calcolare x 2 x 2 2 x 2 5x 24) Calcolare x 2 +5 x 1 25) Dire se la funzione f(x) = x+5 x 2 1 y=0 Spiega la risposta ha come asintoto orizzontale la retta 26) Calcolare x + 5 x 2 Pagina 4

5 27) Calcolare x 7 x 2 8x+7 x 2 6x 7 3x+1 x+3 28) Calcolare x 1 29) Dire se la funzione f(x) = x+5 x 2 1 x=1 Spiega la risposta ha come asintoto verticale la retta 30) Calcolare senx x 0 x Soluzione senx x 0 x = 1 Link per la spiegazione 31) Calcolare i seguenti iti a cosx+ex x 0 x 2 +4 b 1 cos2 x x 0 sen 2 x c x 2x 3x 3 7x 2 +9x 3 1 d x 1 3x+1 2 x+6 7 e 1 cos2 x x 0 x 2 Pagina 5

6 Indicazioni per lo svolgimento dell esercizio b) Si usa la relazione fondamentale della goniometria sen 2 x + cos 2 x = 1 scritta come sen 2 x = 1 cos 2 x Indicazioni per lo svolgimento dell esercizio e) Usare il ite notevole dell esercizio 30) 32) Dire se la retta f(x) = 5 3 è un asintoto orizzontale per la funzione f(x) = 5x 3x 2 3x 2 11x 1 33) Dire se la retta f(x) = 2 2 f(x) = 5x2 3+ 2x 4 2x 4 11x 2 1 è un asintoto orizzontale per la funzione 34) Dire se la retta x = 3 è un asintoto verticale per la funzione x f(x) = x 2 3 Pagina 6

7 35) Calcolare Soluzione: 36) Calcolare sen(4x) x 0 x Soluzione: senx Si deve utilizzare il ite notevole x 0 x sen(4x) x 0 x = 1 Si moltiplicano numeratore e denominatore per 4 x 0 4sen(4x) 4x 4sen(4x) = = 4 sen(4x) x 0 (4x) x 0 (4x) Pagina 7

8 Si applica uno dei teoremi sui iti, il ite di un prodotto è uguale al prodotto dei iti 4 sen(4x) = 4 ( x 0 (4x) sen(4x) x 0 (4x) ) = 4 1 = 4 sen3x 37) x 0 sen6x [ 1 2 ] Anche per risolvere questo ite si deve utilizzare il ite notevole senx x 0 x = 1 38) 39) 2+2x 40) 2 x + 2+x x ) x 0 x 1 3x+7x 42) 4 [ 7 ] x + 5 3x ) x 5 3x 2 +14x 5 x [2] 44) x 2 2x x 2 Pagina 8

9 Premessa: per risolvere i iti che seguono può essere necessario sostituire alla x + o - e applicare le proprietà delle potenze, ad esempio 1 x ex = e = e + = 1 = 0, questo ite è valido per tutte le funzioni esponenziali nelle quali la base è >0 come f(x)=e x ( vedi grafico) 45) 46) 47) 48) Soluzione del numero 47) Si dividono numeratore e denominatore per il termine di grado massimo del denominatore e 2x x e 3x +2 e 2x e 2x 1 e 2x = x e 3x +2 e 2x e 2x 1 e 2x = x e 3x e 2x+ 2 e 2x e 2x e 2x 1 e 2x = x e x + 2 e 2x 1 1 e 2x x e x + 2 e 2x 1 1 e 2x 2 = e + e = + e = = 1 = Pagina 9

10 49) Calcolare: Soluzione: se si sostituisce zero alla x, si ottiene la forma indeterminata ; moltiplicando numeratore e denominatore per x si ottiene 50) Calcolare x 2 + x2 4 x 2 4x+4 Soluzione: se si sostituisce 2 alla x, si ottiene la forma indeterminata 0 0 ; si prova a scomporre in fattori numeratore e denominatore per provare ad einare la forma indeterminata: x 2 + (x 2)(x+2) (x 2) 2 = x 2 + (x 2)(x+2) (x 2) 2 ; si semplifica e si ottiene (x + 2) x 2 + (x 2) quindi si ricalcola il ite e si ottiene 4 0 che da come risultato o + a seconda che il ite sia per x 2 + (x che tende a 2 da destra) o x 2 (x che tende a 2 da sinistra); in questo caso x 2 + [teorema della permanenza del segno: per determinare il risultato è sufficiente studiare il segno del Pagina 10

11 denominatore in un intorno destro di x = 2, (è un ite destro): in tale intorno il segno del denominatore è positivo ] perciò (x 2)(x + 2) x 2 + (x 2) 2 = + Possiamo controllare questo risultato osservando il grafico della funzione f(x) = x2 4 x 2 4x + 4 Si vede chiaramente che man mano che il valore di x si avvicina a due da destra la funzione tende a diventare + La retta x = 2 è un asintoto verticale per questa funzione 51) x ± x 2 4 x 2 4x+4 [1] (osserva il grafico precedente) La retta y = 1 è un asintoto orizzontale per la funzione f(x) = x2 4 x 2 4x+4 Pagina 11

12 5 9+8x 52) x 2 x 2 3x+2 Soluzione È una forma indeterminata 0 0 ; scomponiamo in fattori il denominatore e moltiplichiamo numeratore e denominatore per ( x) (5 9+8x)(5+ 9+8x) x 2 (x 2 3x+2)(5+ 9+8x) (5 9+8x)(5+ 9+8x) = x 2 ()(x 2)(5+ 9+8x) = x 2 (16 8x) ()(x 2)(5+ 9+8x) = x 2 8(x 2) ()(x 2)(5+ 9+8x) = = x 2 8(x 2) ()(x 2)(5+ 9+8x) = x 2 8 ()(5+ 9+8x) = ) x 2 + 3x2 4x 4 4 x 2 [-2] 54) x 3 2x+6 x 2 +x 6 [ 2 5 ] 55) 5x2 +10x+2 x 4 + 3x+12 [+ ] 56) x2 3x+4 x 1 4x 2 x 3 [ ] 57) 3x x2 x 4 + 2x+2 [ ] 58) x 5 + x+5 x 2 +x 20 [ 1 9 ] Pagina 12

13 100 x 59) 2 x x [20 3 ] 60) x 6 + x x 2 [ 2 3 ] 61) Cosa significa dire che logx = x ) Qual è il ite di x logx (2x 3)(3x+5)(4x 6) 63) Calcolare il x + 3x 3 + senx 64) Qual è il ite di x 0 x? 65) Calcolare 2x2 3x 4 x x x 3 66) Calcolare x 7 x ) Calcolare Pagina 13

14 68) Calcolare i iti seguenti x a 2 2x x 5x 3 b x 3 1 x +1 3 x+3 69) Determinare gli asintoti verticali e orizzontali della funzione f(x) = 2x2 x 6 x 2 +2x 8 70) Determinare gli asintoti verticali e orizzontali della funzione f(x) = 3x+2 x ) Determinare gli asintoti verticali e orizzontali della funzione f(x) = x 2 x Pagina 14

15 72) Calcolare a) x (x3 + 2x 2 3) h) (x 3 2x 6 + 4) x 2x 6 7 x 3 b) i) c) l) d) m) e) n) f) o) g) p) 73) Cos è un asintoto? 74) La funzione f(x) = 3x+1 a) Verticali? b) Orizzontali? Spiega le risposte date x 3 ha asintoti Pagina 15

16 75) Calcolare x senx 76) Calcolare x 0 x tgx 77) Dire quale tra le funzioni seguenti qual è quella rappresentata nel grafico c f(x) = x 3 x 2 1 d f(x) = e f(x) = x 2 x x 2 x f f(x) = x 2 x 2 1 Spiega la risposta data Pagina 16

17 78) Trova i punti di discontinuità e gli asintoti orizzontali e verticali della 2x+3 funzione f(x) = x 2 2x 3 79) Trova i punti di discontinuità della funzione e gli asintoti orizzontali e 3x+3 verticali della funzione f(x) = x 2 x 4 80) Trova gli asintoti verticali e orizzontali della funzione f(x) = 2 x (funzione esponenziale) 81) Calcolare 3 x 4 ± x 4 (Calcolare separatamente i due iti, quindi verificare il risultato ottenuto osservando il grafico della funzione) 82) Calcolare x + x2 + x x ; 83) Calcolare x 3x+2 x ) Calcolare 4 x2 x ± cos 85) Calcolare 2 x sen 2 x x π 1 tgx 4 1 cotgx 86) Calcolare x π 1 tgx 4 87) Calcolare x + cosx 88) Calcolare x π tgx 2 Pagina 17

18 89) Calcolare x log a x 90) Calcolare x 0 + log a x (distinguere i due casi: a>1 e a<1) 91) Calcolare x 5 x 2 +13x+40 x 2 3x 40 92) Calcolare x 3x4 +5 5x ) Calcolare x + 5x x 6 3x+1 x 94) Calcolare 2 7 x+5 x 4 x 4 95) Calcolare x 0 sen2 x 1 cosx Indicazione: si sostituisce sen 2 x = 1 cos 2 x =(1 cosx)(1 + cosx) = 96) Determinare, se esistono, gli asintoti orizzontali e verticali della funzione f(x) = 9+x2 x 2 1 ; spiega il procedimento Pagina 18

19 97) Quale funzione è rappresentata nel grafico che segue? [A] f(x) = x2 +9 [B] f(x) = 9 x2 [C] f(x) = x2 9 1 x 2 Spiega la scelta [D] f(x) = 9 x2 Pagina 19

20 98) Calcolare 2x2 9x+7 x 1 3x 2 x 2 99) Calcolare 6x5 +2x2 5x x 5x x 100) Calcolare 4 5x x 5x x 101) Calcolare 2 1 x 2 +3 x 2 x 2 cos 102) Calcolare x 0 senx 103) Determinare, se esistono, gli asintoti orizzontali e verticali della funzione f(x) = 5x2 +1 x 7 ; spiega il procedimento Pagina 20

21 104) Quale funzione è rappresentata nel grafico? [A] f(x) = 9 x 2 [B] f(x) = 9 x2 [C] f(x) = x2 9 Spiega la scelta [D] f(x) = 9 x2 Pagina 21

22 105) Calcolare x x 2 1 5x 2 +14x 4 106) Calcolare 6x5 +2x2 5x x 5x x 107) Calcolare 4 5x x 3x 2 2x 108) Calcolare 2 +1 x 2 +1 x 0 x 109) Calcolare x π 2 cos 2 x 1 senx 110) Determinare, se esistono, gli asintoti orizzontali e verticali della funzione f(x) = 2x 3 5x 2 +1 ; spiega il procedimento Pagina 22

23 111) Quale funzione è rappresentata nel grafico che segue? (2 punti) [A] f(x) = 9 x 2 [B] f(x) = 9 x2 [C] f(x) = x2 9 1 x 2 Spiega la scelta [D] f(x) = 9 x2 Pagina 23

24 112) Calcolare x 3 2 2x 2 11x+12 2x 2 x 4 113) Calcolare 6x2 +2x2 5x x 5x 4 +4x 21 2x 114) Calcolare 2 x x 2x 7 2x 115) Calcolare 2 7 x 2 3 x 2 x 2 116) Calcolare x π 2 sen cosx 117) Determinare, se esistono, gli asintoti orizzontali e verticali della funzione f(x) = x ; spiega il procedimento Pagina 24

25 118) Quale funzione è rappresentata nel grafico che segue? [A] f(x) = 9 x 2 [B] f(x) = 9 x2 [C] f(x) = x2 9 1 x 2 Spiega la scelta [D] f(x) = 9 x2 Pagina 25