Soluzioni delle Esercitazioni V 15-19/10/ x 1 = = /x + = 0. 1+e x = 1. lnx 1+1/x = = = +.

Transcript

1 Soluzioni delle Esercitazioni V 5-9/0/208 A. Limiti I iti che seguono si possono calcolare con l algebra dei iti = +2 3 = 3 2. e = ) e = e. / + = 0 + = 0 + = 0. +e = +0 = = 0. +/ = + +0 = + = = 0 = = +. ) 0 + e = + = +. ) = 0 = 0 ) = +. 0 = 0 + = +. e = + = 0 = +. I iti che seguono sono tutti forme indeterminate. Alcuni possono essere calcolati abbastanza speditamente anche applicando i principi di einazione/sostituzione. Propongo invece per tutti una soluzione puramente algebrica.. Forma indeterminata del tipo = 2 +) + 2 ) = = = + = Forma indeterminata del tipo = 0 3. Forma indeterminata del tipo +2) ) = 0 +2 = = 2 = = 4. Forma indeterminata del tipo 3 ) ) = = + = = ) 5 + ) = = A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Vicenza

2 5. Forma indeterminata del tipo + + = +) +) = + +) = + 0+) = + = Forma indeterminata del tipo 0 0. In questo il raccogento non serve solitamente il raccogento può essere efficace per ± oppure per 0). Basta però scomporre in fattori i polinomi. Il numeratore è ) 2) e nel denominatore basta raccogliere. 3+2 ) 2) = 2 = 2) 2 = Forma indeterminata del tipo +. Basta fare un denominatore comune 0 + ) + = = = =. 8. Forma indeterminata del tipo 0 0. Il raccogento non serve tende a ). Conviene scomporre in fattori, osservando che = )+ ) = )+ ) = 9. Forma indeterminata del tipo +. Raccogliendo si ha 2 ) ) + = ) = + = 2. = = + 2 ) = +. ) = 20. Come il precedente, forma indeterminata del tipo +. Questo però è più difficile: infatti con il raccogento non si risolve. Proviamo a ripetere i passaggi del precedente: ) ) ) + = 2 + = 2 + = ) + = + ) = + 0. Quindi resta sempre una forma indeterminata. Occorre cambiare metodo. Dobbiamo razionalizzare cioè moltiplichiamo numeratore e denominatore per + +): ) + = 2 +)+ +) + +) = = + + = + = Il ite ) + e èunaformadel tipo l 0 eper concluderedobbiamocapirechesegnoha ildenominatore. Può essere utile la figura qui a fianco, in cui è tracciato il grafico della funzione. Da questo possiamo vedere che, se ) +, cioè se tende a da valori a destra di, i corrispondenti valori della funzione tendono a 0 da valori negativi, cioè in altre parole: per ) + si ha che f) 0. Ma allora abbiamo f) ) + e = e 0 =. In quanto e = e è un valore positivo. A. Peretti Corso di Matematica 2 UNIVR Sede di Vicenza

3 22. Il ite 2+ ) + è una forma indeterminata del tipo + ed è molto simile al ite dell esercizio 2. Può essere risolto con un raccogento anche razionalizzando, ma qui il raccogento è efficace). Occorre però stare attenti quando si porta sotto radice, in quanto, che tende a, è negativo. 2+ ) ) + = ) = = 2 ) =. ) = Da notare che, portando sotto radice, il segno davanti alla radice cambia. Ricordo che una possibile motivazione di questo fatto è la seguente: se è negativo possiamo scrivere = e ora possiamo portare sotto radice, senza problemi dato che è positivo. Il segno fuori però resta. B. Limiti con i confronti e il principio di einazione. Per provare che 3 è trascurabile rispetto a 3, per +, basta provare che il ite del quoziente delle due funzioni è zero. Quindi consideriamo il = /3 = 3/2 = 3/2 2/3 = 0. 5/6 2. Per provare che 4 3 è trascurabile rispetto a, per 0 +, basta provare che il ite del quoziente delle due funzioni è zero. Quindi consideriamo il = 0 + 3/4 = 3/4 /2 = /4 = 0. / Per provare che e è trascurabile rispetto a, per +, basta provare che il ite del quoziente delle due funzioni è zero. Quindi consideriamo il per il confronto standard potenza/esponenziale. 4. Per provare che per il confronto standard logaritmo/potenza. e = e = 0, è trascurabile rispetto a, per +, consideriamo il 5. Proviamo che il ite del quoziente è zero. 6. Proviamo che il ite del quoziente è zero. = = 0, 2 = = = 0. 3/2 0 + = 0 + = 0 + = 0. A. Peretti Corso di Matematica 3 UNIVR Sede di Vicenza

4 7. Vogliamo provare che + è equivalente a, per +. Occorre dimostrare che il ite del quoziente è = = + =. 8. Vogliamo provare che è equivalente a 3/2, per +. Occorre anche qui dimostrare che il ite del quoziente è = = =. Lo studente potrebbe a questo punto dimostrare la regola generale che la radice n-esima di un polinomio è equivalente alla radice n-esima del suo monomio di grado massimo attenzione! la regola vale per + ). 9. Vogliamoprovarecheln ++) èequivalentealn ), per +. Ancheinquestocasodobbiamodimostrare che il ite del quoziente è. [ ] +/+/ ) ln ++) ln ln = ) ln ) ln )+ln+/+/ ) = ln =. ) 0. Le due funzioni e 2 ++ e e 2 non sono equivalenti per + in quanto e = 2 = e 2 e2 e+ = +.. Il ite è una forma indeterminata del tipo + 0. Possiamo portare a denominatore l esponenziale e scrivere 2 e = e. Si tratta allora del confronto a + tra la funzione potenza e la funzione esponenziale confronto standard). Come noto la funzione potenza va all infinito più lentamente e quindi il ite è zero. 2. Nel ite ln 2 si ha un confronto standard a + tra una funzione logaritmica elevata al quadrato) e una potenza con esponente /2). La funzione potenza va all infinito più velocemente della funzione logaritmica e quindi il ite è zero. 3. Il ite è una forma indeterminata del tipo /. Si tratta di un confronto tra una funzione esponenziale e una potenza. Non è un confronto standard, ma solo perché la frazione è rovesciata. Possiamo scrivere 2 = 2 = A denominatore abbiamo ora un confronto standard, che tende a zero. Essendo uno 0 +, cioè uno zero positivo, possiamo dire che il ite è del tipo 0 +, cioè Il ite è una forma indeterminata del tipo /. Siamo nella stessa situazione precedente, con un confronto standard con la frazione rovesciata. Possiamo scrivere 5. Nel ite ln 3 = ln 3 = ), /2 2. = ) = +. forma indeterminata del tipo +, possiamo applicare un principio di einazione: la funzione logaritmica è trascurabile a + rispetto alla potenza in quanto tende all infinito più lentamente, quindi, trascurando la funzione logaritmica, possiamo scrivere ) = = +. A. Peretti Corso di Matematica 4 UNIVR Sede di Vicenza

5 6. Nel ite 3 e ) la potenza 3 è trascurabile a + rispetto alla funzione esponenziale e quindi principio di einazione) si ha 3 e ) = e ) =. 7. Ricordando che, per +, è trascurabile rispetto a e è trascurabile rispetto a, si ha col principio di einazione) + + = = = Ricordando che, per +, è trascurabile rispetto a 2 e è trascurabile rispetto a 3, si ha col principio di einazione) = 2 ) 3 = = Ricordando che, per 0 +, è trascurabile rispetto a e è trascurabile rispetto a 3, si ha principio di einazione) = 0 3 = /6 = Ricordando che, per +, è trascurabile rispetto a, è trascurabile rispetto a, è trascurabile rispetto a 2 e è trascurabile rispetto a 2, si ha principio di einazione) = = 0 confronto standard).. 2 C. Funzioni continue In questi esercizi sulla continuità troviamo prima la risposta graficamente e poi verifichiamo i risultati con la definizione analitica.. Il grafico di f è rappresentato a fianco. Dal grafico risulta evidente che la funzione è continua in tutto R. Possiamo confermare questo osservando che nell intervallo, 0) la funzione f è continua in quanto coincide con la funzione elementare 2. Nell intervallo 0,+ ) la funzione è continua in quanto coincide con la funzione elementare +. 3 Nel punto = 0 dobbiamo studiare la continuità attraverso la definizione. Possiamo dire vedi nota) che f certamente è continua da destra coincide con + in [0,+ )) e lo è da sinistra poiché f0) = e 0 f) = 0 2 =. La prova della continuità è ora completa. 2. Il grafico di f è rappresentato a fianco. Dal grafico risulta evidente che la funzione è continua in tutti i punti tranne l origine. Possiamoconfermare questo osservandoche in tutti i punti diversi da 0 e la funzione f è continua in quanto coincide con funzioni elementari. Nel punto = 0 possiamo dire che f non è continua né da destra né da sinistra dato che e 0 f) = 0 = f) = = +. 2 È il ite a + di una funzione esponenziale con base minore di. 3 Attenzione qui. Se scrivo che una funzione f è continua in 0,+ ) affermo che è continua in tutti i punti > 0, quindi non dico che è continua in = 0. Se invece scrivo che f è continua in [0,+ ) sto dicendo che essa è continua anche in = 0, e questo significa continua sia da destra sia da sinistra. Con funzioni definite a tratti, come quelle di questi esercizi, occorre stare attenti. Nel caso che stiamo esaminando sarebbe un errore scrivere, a questo punto dello svolgimento, che f, essendo uguale alla funzione + nell intervallo [0,+ ), è continua in [0,+ ): infatti posso soltanto dire che è continua da destra, ma non da sinistra. A. Peretti Corso di Matematica 5 UNIVR Sede di Vicenza

6 Nel punto = invece f è continua dato che è continua da destra funzione elementare ) e continua da sinistra in quanto f) = e f) = =. 3. Il grafico di f è rappresentato a fianco. Dal grafico risulta evidente che la funzione è continua in tutti i punti tranne che in =. Possiamoconfermare questo osservandoche in tutti i punti diversi da e la funzione f è continua in quanto coincide con funzioni elementari. 4 Nel punto = possiamo dire che f è continua dato che f ) = 0 e ) +f) = ) = 0. 5 ) +2 Nel punto = invece f non è continua dato che f) = e f) = ) = Il grafico di f è rappresentato a fianco. Dal grafico risulta evidente che la funzione è continua in tutti i punti tranne che in = 0 e =. Possiamo confermare questo osservando che in tutti i punti diversi da 0 e la funzione f è continua in quanto coincide con funzioni elementari. Nel punto = 0 possiamo dire che f non è continua dato che f0) = 0 e 0 + f) = =. 7 Nel punto = f non è continua dato che 8 f) = 0 e +f) = + 2) = Possiamo dire anzitutto che la funzione f è certamente continua in ogni punto diverso da, per ogni valore di a: infatti coincide in un opportuno intorno di tali punti con una funzione elementare. La continuità nel punto = dipende invece dal parametro a. 9 Possiamo anche qui dire che certamente la funzione è continua da destra, qualunque sia il parametro a tra l altro, a destra, la funzione non dipende da a). Per quanto riguarda la continuità da sinistra, abbiamo f) = ln = 0 e f) = +a) = +a. Per avere la continuità deve quindi essere +a = 0, e quindi a =. La figura a fianco illustra geometricamente il problema. Delle infinite rette che passano per il punto 0,) tutte queste rette, ad eccezione di quella di equazione = 0, sono il grafico della funzione +a, al variare di a) si tratta di trovare quella che rende continua la funzione. La figura mostra che la retta è quella che passa anche per il punto,0), e si vede facilmente che si tratta di quella con pendenza. 4 A conferma di quanto detto nella nota precedente, se una funzione è definita a tratti con funzioni elementari) non si può essere certi della sua continuità soltanto nei punti in cui cambia la definizione, cioè i punti nel cui intorno destro si ha una certa funzione elementare e nel cui intorno sinistro se ne ha un altra. 5 La funzione è certamente continua da sinistra in quanto coincide con la funzione elementare ln ) nell intervallo, ] e quindi il valore assunto in necessariamente coincide con il ite da sinistra. 6 Qui possiamo specificare che la funzione è continua da destra in quanto coincide con la funzione elementare nell intervallo [,+ ) e quindi il valore assunto in necessariamente coincide con il ite da destra. La funzione non è però continua da sinistra, come evidenzia il confronto tra il valore f) e il ite da sinistra. 7 Qui possiamo specificare che la funzione è continua da sinistra in quanto coincide con la funzione elementare nell intervallo +,0] e quindi il valore assunto in 0 necessariamente coincide con il ite da sinistra. La funzione non è però continua da destra. 8 Anche in = la funzione è continua da sinistra in quanto coincide con la funzione elementare nell intervallo 0,] e quindi il valore assunto in coincide con il ite da sinistra. La funzione non è però continua da destra. 9 Ribadisco ancora una volta che anche in un intorno di la funzione coincide con funzioni elementari, ma non con la stessa funzione elementare. In altre parole a destra di coincide con una funzione elementare e a sinistra con un altra funzione elementare. Ovviamente questo non garantisce che la funzione sia continua in. A. Peretti Corso di Matematica 6 UNIVR Sede di Vicenza

7 D. Teoremi sulle funzioni continue In questi esercizi lavoriamo con i teoremi sulle funzioni continue in un intervallo. Facciamo tutte le considerazioni che servono operando graficamente.. Il grafico della funzione f è rappresentato qui a fianco. Le ipotesi del teorema fondamentale sono la continuità di f in un intervallo chiuso e itato. Che la f sia definita in un intervallo chiuso e itato è evidente. Dobbiamo verificarne la continuità. Non ci sono problemi, nel senso che la funzione è certamente continua, in tutti i punti dell intervallo diversi da 0, dato che f coincide con funzioni elementari. In = 0 possiamo osservareche il valore di f è f0) =. Inoltre la funzione è certamente continua da sinistra. Da destra risulta f) = 2 = /2 Quindi la continuità nell intervallo [, ] è verificata. La tesi del teorema dice che l immagine di f, nel nostro caso f[,]), è un intervallo chiuso e itato. Dal grafico vediamo che l immagine di f è l intervallo [0,], che è chiuso e itato. La tesi è quindi verificata. 2. Qui a fianco c è un grafico della funzione f. Ricordo che il Teorema degli zeri dice che se la funzione è continua in un intervallo chiuso e itato e assume valori di segno opposto agli estremi, allora la funzione si annulla in qualche punto. Le ipotesi che garantiscono la tesi sono quindi che la funzione sia definita in un intervallo chiuso e itato, sia continua in tale intervallo e assuma valori di segno opposto agli estremi. Nel nostro caso possiamo dire che: la funzione f è definita in [ 2,2] ed è continua in tale intervallo in quanto è una funzione elementare. Inoltre si ha: f 2 ) = 3 4 e f2) = 3. Dato che i valori agli estremi hanno segno opposto, possiamo dire che certamente vale la proprietà degli zeri, cioè che esiste almeno un punto c nell intervallo 2,2) tale che fc) = 0. Qui finisce la prima parte dell esercizio verifica delle ipotesi). 3 /2 2 Nella secondasi chiede di verificarela tesi del teorema, cioèdi trovarealmeno un punto c con la proprietàrichiesta. Per fare questo basta ovviamente risolvere l equazione = 0. Le soluzioni sono e ma in questo caso soltanto la seconda è interessante dal nostro punto di vista, dato che la funzione è definita in [ 2,2]. Possiamo quindi concludere dicendo che la proprietà degli zeri è verificata in c =. 3. Si può intanto disegnare il grafico di f: possiamo ottenerlo attraverso le trasformazioni grafiche elementari. Il grafico di e si ottiene dal grafico di e con una traslazione a destra e poi con una traslazione in basso di. I passaggi sono raffigurati qui sotto. e e e e e Il grafico di ) 2 si ottiene invece dal grafico di con una traslazione a destra, poi con una simmetria rispetto all asse orizzontale e infine con una traslazione verso l alto di. I passaggi sono raffigurati qui sotto. A. Peretti Corso di Matematica 7 UNIVR Sede di Vicenza

8 ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 Così possiamo ottenere il grafico della funzione f, che è rappresentato qui a fianco. L enunciato del Teorema degli zeri è stato ricordato poco fa. La funzione f è definita nell intervallo chiuso e itato [0, 3]. Il grafico mostra che non è continua in tutti i punti dell intervallo, dato che non è continua in =. Infatti il valore f) = attraverso la seconda espressione, mentre il ite da sinistra è 0. Quindi possiamo dire che il teorema non è applicabile. In realtà possiamo osservare che c è un altra ipotesi del teorema che non si verifica, dato che i valori della funzione agli estremi dell intervallo non sono di segno opposto. Infatti si ha: e 2 3 f0) = e = e, che è negativo e f3) = 3. Pur non essendo applicabile il teorema cioè non essendo vere le ipotesi) la tesi è comunque vera, dato che esiste un punto nell intervallo [0,3] in cui la funzione si annulla, ed è il punto = Qui a fianco c è un grafico della funzione f. Ricordo che il Teorema di Weierstrass afferma che, se una funzione è continua in un intervallo chiuso e itato, allora ci sono in tale intervallo due punti in cui la funzione assume rispettivamente i valori dell estremo inferiore e dell estremo superiore della funzione stessa, cioè in altre parole un punto di massimo globale) e un punto di minimo globale). Le ipotesi del teorema sono quindi che la funzione sia definita in un intervallo chiuso e itato e sia in questo continua. Nel nostro caso possiamo dire che: la funzione f è definita in [,]; è continua in [,0) in quanto coincide con la funzione elementare ; è continua in 0,] in quanto coincide con la funzione elementare ; non è continua in 0 in quanto f0) = 0 + f) = 0. Pertanto non sono soddisfatte le ipotesi che garantiscono la validità della tesi del Teorema di Weierstrass. Nella seconda parte si chiede di dire se comunque cioè anche in mancanza delle ipotesi) la funzione soddisfa la tesi del teorema. Possiamo, senza troppe sottigliezze, dare la risposta leggendo il grafico. Dal grafico risulta evidente che l estremo inferiore di f è 0 e l estremo superiore di f è. Inoltre il valore 0 si ottiene con = e il valore si ottiene con = 0 oppure con =. Pertanto con le notazioni usate nella dispensa) il punto c m = è unico) punto di minimo, con valore fc m ) = 0 e i punti c M = 0 e c M2 = sono i punti di massimo, con valore fc M ) = fc M2 ) =. Questo è dunque un altro caso, come il precedente, in cui, pur non essendo soddisfatte le ipotesi, la tesi del teorema è comunque vera. 0 0 Si ricordi sempre questo fatto: se un teorema afferma che, in certe ipotesi, vale una certa proprietà, allora la validità della proprietà è assicurata quando sono vere le ipotesi. In generale nulla si può dire quando le ipotesi non sono vere: ci sono casi in cui la proprietà non vale e altri, come questo, in cui invece vale ugualmente. A. Peretti Corso di Matematica 8 UNIVR Sede di Vicenza