Matematica Lezione 14

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Matematica Lezione 14"

Marisa Cappelletti
4 anni fa
Visualizzazioni

1 Università di Cagliari Corso di Laurea in Farmacia Matematica Lezione 14 Sonia Cannas 22/11/2018

2 Calcolo dei iti: forme di indeterminazione Per il teorema sulle operazioni con i iti abbiamo visto che se la funzione di cui dobbiamo calcolare il ite, per x x 0 o per x ±, è elementare o è somma/prodotto/quoziente di funzioni elementari, il ite si calcola con una semplice sostituzione. Il calcolo dei iti può portare alle seguenti 7 forme di indeterminazione o indecisione: 1 + (o + ); 2 0 ; 3 ; ; 5 1 ; ; 7 0.

3 Calcolo dei iti: forme di indeterminazione (x 3 x) = =? x xex = 0 =? e x 1 x 2 = + =? log(x) x 1 x 1 = 0 0 =?

4 Calcolo dei iti: forme di indeterminazione Attenzione La forma di indeterminazione 0 indica un ite in cui numeratore e 0 denominatore tendono a 0, non che essi assumono il valore 0. Quindi x 1 x 1 = 1 1 x 1 x 1 = 0 x 1 x 1 non è una forma indeterminata, poiché prima ancora di calcolarne il ite. 0 x 1 = 0

5 Calcolo dei iti: forme di indeterminazione Attenzione Analogamente, la forma di indeterminazione 1 indica il ite di una potenza la cui base tende a 1 e l esponente ad infinito. Quindi è una forma di indeterminazione del tipo 1 il ite seguente ma non lo è poiché x ( x x 1x ) x 1 x = 1 x R

6 Calcolo dei iti: funzioni polinomiali Sia P(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 a i R, i {0,..., n}, a n 0. Possiamo calcolare il seguente ite raccogliendo a n x n : (1 + a n 1x n 1 ) P(x) = x ± a nx n x ± = x ± a nx n = x ± a nx n + + a 1x a n x n + a 0 a n x ) n a n x ( n 1 + a n 1 a n x + + a 1 a n x n 1 + a 0 a n x n ( 3x 2 4x ) ( = 3x 2 1 4x ) ( 3x 2 = 3x ) = 3x = 3x 2 = + Per calcolare il x P(x) basta calcolare il ite del termine di grado massimo. = =

7 Ordini di infinito Le funzioni f (x) = 3x 2 e g(x) = 4x sono entrambe infinite. Definizione (Funzione infinita) Una funzione f si dice infinita per x x 0 se f (x) = x x 0 Le funzioni infinite possono essere infiniti di ordine diverso. Definizione Sia g una funzione infinita per x x 0. Una funzione f è un infinito di ordine a (a R) quando esiste il seguente ite finito e diverso da 0 x x 0 f (x) [g(x)] a = k 0 La funzione g svolge il ruolo di infinito campione, intuitivamente si può pensare come una sorta di unità di misura rispetto alla quale si valuta la velocità con cui tende all infinito la funzione f.

8 Ordini di infinito Calcoliamo l ordine di infinito di f (x) = x 3 per x +. Come infinito campione scegliamo g(x) = x. Dobbiamo determinare a R in modo tale che il seguente ite sia finito e diverso da zero: x 3 x a Ciò accade se e solo se a = 3, quindi f (x) = x 3 è un infinito di ordine 3 per x + rispetto a g(x) = x. Ordine di infinito delle funzioni polinomiali Per le funzioni polinomiali, se si assume g(x) = x come infinito campione, l ordine di infinito per x + è dato dal grado del polinomio.

9 Ordini di infinito Definizione Siano f e g due funzioni infinite per x. Per confrontarle studiamo il ite del loro rapporto Se tale ite è uguale a f (x) x x 0 g(x) 0 diremo che f è infinito di ordine inferiore rispetto a g; k 0 diremo che f e g sono infiniti dello stesso ordine; diremo che f è un infinito di ordine superiore rispetto a g;, in tal caso i due infiniti non sono confrontabili.

10 Calcolo dei iti: funzioni razionali fratte Siano P(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 e Q(x) = b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0 due polinomi. Nel calcolo dei iti di queste funzioni possiamo trovare due forme di indeterminazione. nel calcolo di iti per x 2x 3 1 x = 2x 3 ( 1 1 ) 2x 3 x ( 2x ) 3 = x 2 x 2 = + x 4 1 x = x x 4 = x 4 ( 1 1 ) x 4 x ( ) = x 8 x 4 ( 1 2 x 4 ) 2x 4 ( 3 2x x 4 x 8 = 0 ) = x 4 2x 4 = 1 2

11 Calcolo dei iti: funzioni razionali fratte 0 0 nel calcolo di iti per x x 0 Se si verifica la forma indeterminata 0 0 significa che P(x 0) = Q(x 0 ) = 0, quindi entrambi i polinomi sono divisibili per (x x 0 ). L indeterminazione si può rimuovere scomponendo i due polinomi in fattori e semplificando la frazione. x 2 1 x 1 x 1 = (x 1)(x + 1) = (x + 1) = 2 x 1 x 1 x 1

Documenti analoghi

Esercitazioni di Matematica Generale A.A. 2016/2017 Pietro Pastore Lezione del 2 Dicembre Dominio di Funzioni

Esercitazioni di Matematica Generale A.A. 06/07 Pietro Pastore Lezione del Dicembre 06 Dominio di Funzioni Determinare il dominio delle seguenti funzioni ) x +3x. fx) =. Il dominio si trova considerando