Regole, Esempi, Esercizi. 1. Se nella funzione compare una x al denominatore, bisogna porre il denominatore diverso da zero;

Transcript

1 Lo studio del graco di una funzione Regole, Esempi, Esercizi Ripasso delle regole principali Punto 1: Il calcolo del dominio: Per calcolare il dominio di una funzione, bisogna seguire le tre regole seguenti: 1. Se nella funzione compare una x al denominatore, bisogna porre il denominatore diverso da zero; 2. Se, nella funzione, la x compare nell'argomento di una radice di indice pari, bisogna porre l'argomento della radice maggiore o uguale a zero; 3. Se, nella funzione, la x compare nell'argomento di un logaritmo, bisogna porre l'argomento del logaritmo maggiore di zero. Esempio1: Calcoliamo il dominio della seguente funzione: y x + 3 x 1 Su questa funzione si applica la prima regola, quindi bisogna imporre x 1 0 x 1 Quindi avremo che il dominio sarà D (, 1) (1, + ). Esempio2: Calcoliamo il dominio della seguente funzione: y x 1 Su questa funzione si applica la seconda regola, quindi bisogna imporre x 1 0 x 1 Quindi avremo che il dominio sarà D [1, + ). Esempio3: Calcoliamo il dominio della seguente funzione: y log(x + 3) 1

2 Su questa funzione si applica la seconda regola, quindi bisogna imporre x + 3 > 0 x > 3 Quindi avremo che il dominio sarà D ( 3, + ). Suggerimento per la rappresentazione del dominio sul piano cartesiano: Bisogna tracciare delle linee continue verticali (saranno chiamati asintoti verticali) passanti per i punti che non appartengono al dominio. Punto 2: Il calcolo delle intersezioni con gli assi: Bisogna risolvere due sistemi, il primo tra la funzione e l'asse x (di equazione y 0) { y f(x) y 0 ed il secondo tra la funzione e l'asse y (di equazione x 0), { y f(x) x 0 Suggerimento per la rappresentazione sul piano cartesiano dello studio delle intersezioni: Bisogna semplicemente riportare sul piano cartesiano i punti che sono frutto della risoluzione dei due sistemi. Il calcolo della positività: Bisogna imporre che la funzione (razionale fratta) abbia il numeratore ed il denominatore maggiori di zero e poi fare il graco di segno associato. Suggerimento per la rappresentazione sul piano cartesiano dello studio della positività: Bisogna ombreggiare le zone del piano cartesiano in cui non passerà il graco della funzione, come compreso in seguito allo studio del segno. 2

3 Punto 4: I iti: I iti si dividono in 3 tipologie: Nota: Tipologia Metodo risolutivo 1) x l, l D Sostituzione del valore esatto 2) x l, l D Sostituzione del valore approssimato 3) x Raccogento Quando si fa lo studio completo di una funzione bisogna calcolare i iti per x che tende agli estremi degli intervalli del dominio. Ad esempio, il calcolo del ite x 1 x 1 che appartiene alla seconda tipologia, ci porta a calcolare due iti distinti, ovvero: x 1 x 1 e x 1 + x 1 Dopo aver fatto i calcoli, scopriamo che 1 1 meno il "pelino", ovvero 1 1 0, 01 0, 99 mentre più il "pelino", ovvero , 01 1, 01. Quindi, x 1 x 1 x 1 + x 1 0, , , , , 01 0, 01 1, 99 +0, 01 2, , (Suggerimento per il calcolo della III tipologia): Ricordando che le forme indeterminate più comuni sono le seguenti: +?; 0 (+ )?; 0 ( )? 0 0?; ± ±? quando ti accingi a calcolare un ite della III tipologia. la cosa che conviene fare per prima è sostituire il valore a cui tende il ite al posto della variabile x. Se il risultato non è una forma indeterminata, allora abbiamo trovato il risultato del ite. Altrimenti bisogna utilizzare il metodo del raccogento per "diradare la nebbia" della forma indeterminata e riuscire a vedere il risultato del ite. Ad esempio, calcoliamo x + 3x2 + 2x x + (+ )

4 + (che non è una F.I.! ) mentre x + 3x 2 + 2x x + 3 (+ ) (è una F.I, dobbiamo raccogliere.. ) Risolviamo un ite con il metodo del raccogento, ad esempio 2x 3 x +. Bisogna raccogliere la x di grado massimo sia al numeratore x 1 che al denominatore. Quindi si procede così, ( ) ( ) 2x 2 x 3 2 x x x + x 1 x x ( ) 3 x x (2 0) ( ) x + x x 1 x x 1 (1 0) 2 x x x x Poiché i termini che, dopo il raccogento hanno la x al denominatore, poiché essa tende ad un valore innito, tendono a zero. (Suggerimento per calcolare i punti immaginari): Associamo ai due iti che abbiamo calcolato, x 1 x 1 + x 1 + x 1 i corrispondenti punti immaginari che hanno come ascissa il valore a cui tende la x (nel ite) e come y il risultato del ite: x 1 x 1 + P 1 (1, + ) x 1 + x 1 P 2 (1 +, ) Abbiamo calcolato i due punti inserendo nel valore dell'ascissa il valore a cui tende la x e nel valore dell'ordinata il risultato del ite. Tali punti immaginari andranno riportati sul piano cartesiano. (Punto 5: Il calcolo degli asintoti): Una volta calcolati tutti i iti, bisogna osservare due semplici regole: se x l f(x) x l è Asintoto Verticale 4

5 se x f(x) l y l è Asintoto Orizzontale Gli asintoti sono rette che vanno rappresentate sul piano cartesiano, mediante opportune tabelle x, y. Un esempio concreto: lo studio del graco di una funzione razionale fratta Immaginiamo di voler studiarne il graco della funzione y Inizialmente, dobbiamo studiare il dominio. Osserviamo subito che su questa funzione, essendoci una x al denominatore, si applica la prima regola. Quindi dobbiamo imporre 0 x 3 Quindi il dominio sarà D (, 3) (3, + ). Per rappresentare tale dominio sul piano cartesiano, dobbiamo tracciare una linea continua verticale che passa per il punto che non appartiene al dominio, ovvero per x 3. 5

6 Figure 1: La rappresentazione del Dominio Passiamo ora al punto 2, ovvero le intersezioni con gli assi cartesiani. Troviamo le intersezioni con gli assi cartesiani della funzione con l'asse x (che ha equazione y 0) risolvendo il seguente sistema: da cui si ha da cui si ha da cui si ha { y x+2 x 3 y 0 { 0 x+2 x 3 { 0 { x 2 y 0 6

7 quindi abbiamo trovato il punto A( 2, 0). Troviamo le intersezioni della funzione con l'asse y risolvendo il seguente sistema: { y x+2 x 3 x 0 da cui si ha { y x 0 quindi abbiamo trovato il punto B(0, 2 ). Ora non resta che rappresentare 3 i punti A e B sul piano cartesiano, come mostrato in gura: Figure 2: La rappresentazione delle intersezioni con gli assi Passiamo ora al punto 3, ovvero allo studio della positività della funzione. Bisogna porre separatamente numeratore e denominatore maggiori di zero e risolvere la disequazione (su due livelli) che ne deriva. Abbiamo N > 0 > 0 x > 2 D > 0 > 0 x > 3 Poi si rappresenta il graco di segno, come mostrato in gura seguente: 7

8 Figure 3: Lo studio del segno della funzione Tale graco ci dice che: f(x) > 0 in (, 2) (3, + ) f(x) < 0 in ( 2, 3) Andiamo ora a rappresentare tale risultato sul graco, dapprima tracciano una linea tratteggiata verticale che passa per i punti in cui il graco cambia segno. Nel nostro caso il segno cambia nel punto x 1 2 (passando da positivo a negativo) e nel punto x 2 3 (passando da negativo a positivo). Quindi tracciamo una linea tratteggiata verticale che passa per il punto che ha ascissa x 1 2, per l'altro punto non si può tracciare una simile linea tratteggiata perché si sovrapporrebbe alla linea continua del dominio. 8

9 Figure 4: Lo studio del segno della funzione Passiamo ora al punto 4, ovvero al calcolo dei iti. Poiché abbiamo trovato che il dominio della funzione era D (, 3) (3, + ) possiamo capire quali iti dobbiamo calcolare, osservando gli estremi degli intervalli che compongono il dominio, ovvero: Calcoliamo subito il primo ite. Sostituiamo il alla x x F.I. Poiché il ite dà origine ad una forma indeterminata, essendo esso della terza tipologia, dobbiamo ricorrere al metodo del raccogento. ( ) ( ) x x x x ( ) ( ) 1 x x 1 3 x x 1 0 x 9

10 Calcoliamo ora il secondo ite. Innanzitutto ricordiamo che con la scrittura 3 intendiamo 3 0, 01 2, 99. x 3 2, x 3 2, , 99 x 3 0, 01 4, 99 0 Calcoliamo ora il terzo ite. Innanzitutto ricordiamo che con la scrittura 3 + intendiamo 3 + 0, 01 3, 01 x 3 + 3, x 3 + 3, , 01 x 3 0, 01 Calcoliamo ora il quarto ite. Sostituiamo il + alla x x F.I. 4, Poiché il ite dà origine ad una forma indeterminata, essendo esso della terza tipologia, dobbiamo ricorrere al metodo del raccogento. ( ) ( ) x + x x + x x ( 1 3 x ) x + x x ( ) Riassumiamo ora il risultato dei quattro iti che abbiamo calcolato ed associamo ad ognuno un punto immaginario che ne rappresenterà l'esito sul piano cartesiano. 1. x 1 P 1(, 1) 2. x 3 P 2(3, ) 3. x P 3(3 +, + ) 4. x + 1 P 4(+, 1) Ora bisogna procedere, come mostrato in gura, a rappresentare sul piano cartesiano i punti immaginari che abbiamo appena calcolato: 10

11 Figure 5: La rappresentazione dei iti della funzione Una volta calcolati tutti i iti, per determinare se vi sono asintoti, bisogna osservare due semplici regole: se f(x) x l x l è Asintoto Verticale se f(x) l y l x è Asintoto Orizzontale Si vede subito che i iti 1 e 4 rispettano la seconda regola e ci dicono che la retta y 1 è un asintoto orizzontale. Inoltre i iti 2 e 3 rispettano la seconda regola e ci dicono che la retta x 3 è un asintoto verticale. Inne non resta altro da fare che tracciare il graco della funzione rispettando tutte le informazioni che abbiamo calcolato nei passi che vanno dal calcolo del dominio al calcolo degli asintoti, come mostrato in gura: 11

12 Figure 6: Il Graco nale Alcuni esercizi per ssare i concetti Esercizio 1 Calcola il dominio delle seguenti funzioni ed esprimilo come unione di intervalli: a) y 3 2x + 5 b) y 24 9 x 2 c) y x2 + 3x + 4 x 2 7x x + 4 e) y x x2 10 g) y x 2 4 d) y x 3 + 4x 2 + 6x f) y log (1 + x 2 ) h) y log (x 2 36) Esercizio 2 Seguendo i punti studiati a lezione, (0) classica (1) determina il dominio, (2) trova le intersezioni con gli assi e (3) studia la positività delle seguenti funzioni 1. Rappresenta poi le informazioni trovate sui rispettivi piani carte- 1 Non ti spaventare se la b) non presenta una frazione. Seguendo gli stessi punti studiati a lezione dovresti riuscire ugualmente a completare l'esercizio! 12

13 siani. a) y 2x 1 b) y x 2 9 c) y 1 x 2 d) y 3 x x Esercizio 3 Calcola i seguenti iti seguendo tutti i passi spiegati a lezione: 2x 1 a) x 2 + x 2 c) x + Esercizio 4 Ricordando che se 2x 1 x 2 2x 1 b) x 2 x 2 d) x 2x 1 x 2 x f(x) l y l è un Asintoto Orizzontale se x l f(x) x l è un Asintoto Verticale, determina le equazioni degli asintoti (calcolando i seguenti punti: (1) Dominio, (4) Limiti, (5) Asintoti) di ciascuna delle seguenti funzioni e rappresentali (solamente gli asintoti) su tre piani cartesiani distinti. a) y x x ; b) y x2 + 1 x 2 4 ; c) y x 2 x 2 + x + 1 Esercizio 5 Seguendo i punti studiati a lezione, (1) determina il dominio, (2) trova le intersezioni con gli assi, (3) studia la positività (4) calcola i iti per x che tende agli estremi degli intervalli del dominio, (5) Asintoti, rappresenta le informazioni trovate sul piano cartesiano e traccia il graco probabile della funzione: a) y 2x 1 x 2 b) y 3 x x