VERIFICA DI MATEMATICA Simulazione La funzione esponenziale e logaritmica - Soluzioni

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1 Problema 1 a) c y f 1 : log 4 VERIFICA DI MATEMATICA Simulazione La funzione esponenziale e logaritmica - Soluzioni 1 log Dominio: D ; Intersezioni: 0 imp y 0 log A ;0 Segno: f 0, D 1 c : y g e Dominio: e 0 e ln ln D ln ; Intersezioni: 0 imp y 0 e 0 e = ln ln B ln ;0 Segno: g 0, D ln b) y f log 1 4 log 1 4. Quindi per tracciare il suo grafico, partiamo dalla retta y = 4, applichiamo alle y un logaritmo decrescente e poi un modulo: y g e e esponenziale crescente e poi un modulo:. Quindi per tracciare il suo grafico, partiamo dalla retta y =, applichiamo alle y un

2 c) y y 1 1 y log 1 4 posto y 0 e log 1 4 0, cioè y log 1 4 posto Quindi con f : ; 4 0;, f è invertibile e k f 4 Per disegnare il grafico di k, partiamo dalla parabola y =, ci applichiamo un esponenziale decrescente, effettuiamo una simmetria 0; : rispetto all asse e infine una traslazione verso l alto di 4, ricordandoci che per k d) f 4 log 4 log 1 4 log 4 ;4D ;4 Df f CE..: ; t t t t 1 t 1 log t 0 log log 4 log 4 0 log 4 log 4 0 poniamo log Intersezioni con le C.E.: e) y e f 1 Partiamo dal grafico di y f log 4, che si ottiene dal grafico del punto b, osservando che dovendo estrarre radice quadrata 1 vanno eliminate le y negative e che y 1 y y ad esempio e y 1 y y ad esempio 4>1 4 4 :

3 Applichiamo a questo un esponenziale crescente: y log g Partiamo dal grafico di y g e, che si ottiene analogamente a prima dal grafico del punto b:

4 Applichiamo a questo un logaritmo decrescente:

5 Problema a) f g t 5t 4t 0 t t 5t 4 0 F : t F : t t 4 F F 0 t 0 0 b) 1 f g 5 4 y Per disegnare questo grafico, poniamo t, ottenendo (t;y): 5 4 t t ; andiamo quindi a disegnare la parabola dell esponente nel piano Per trasformare il precedente grafico dal piano ; y al piano (; y), dobbiamo tener conto che log, quindi dobbiamo applicare un logaritmo in base alle ascisse dei punti del grafico precedente. Di conseguenza tutti i punti della precedente parabola ad 5 7 ascissa negativa spariscono, il punto C 0;4 diventa l asintoto orizzontale y = 4, il punto V ; 4 8 diventa il punto 5 7 V ln ;ln 4 8, la crescita verso + infinito per che tende a + infinito resta. Quindi:

6 In nero la precedente parabola, in rosso il grafico trasformato nel piano (;y) Infine al grafico precedente (rosso) dobbiamo applicare un esponenziale crescente: c) f k f y f 1 y 1 con la condizione y 1 0, cioè y 1 log y 1 1 log y 1 1 Quindi con : 1; f è invertibile e log 1 1 Per il grafico di k () partiamo da un logaritmo crescente, poi facciamo una traslazione in orizzontale verso sinistra di -1 e infine una traslazione in verticale verso il basso di -1:

7 d) k log 1 1 log 1 1 log 1 1 log 1 log 1 0 log 1 log t t 0 t 1 t 1 log C. E.: 1 Intersezione sol con C.E.: 1 4 e) y e f 1 Cominciamo con il disegnare la curva y f 1, esponenziale crescente traslata in orizzontale di -1 e in verticale di -1: Applichiamo ora a questo un esponenziale crescente per ottenere il grafico di f y e :

8 y log g Partiamo dal grafico di y g negative e infine funzione reciproca: 1 1, esponenziale crescente traslata in verticale di -1, simmetria rispetto all asse delle y

9 Applichiamo ora a questo un logaritmo decrescente:

10 Quesito 1: Quesito : Quesito :

11 Quesito 4: Quesito 5: determiniamo la funzione inversa di f ln 1 f ln 1 y ln 1 ln 1 y Posto 1 0 1, y y : 1 e 1 e g 1 e con g : ;1 f1 1e Risolviamo ora la disequazione g 1 e f Sol. =

12 Quesito 6: y log 0,4 : y, dal precedente aggiungendo il simmetrico rispetto all asse y: log 0,4

13 y log0,4 1, dal grafico iniziale con traslazione orizzontale di +4 e simmetria delle y < 0 rispetto all asse : y log 0,4, applicando un log decrescente al grafico di y y, con y 0 e 0 :

14 y log0,4 1, a partire da y, funzione reciproca, funzione log decrescente: Quesito 7: per disegnare il grafico della funzione potenza, osserviamo che Tracciamo allora i grafici di y e di y ln ln ln y e e. e osserviamo che per ottenere il grafico di ln g Non si considerano le < 0 perché ln non è definito; Per > 1, ln > 0 e quindi anche g () > 0; Per che tende a più infinito sia la retta che il ln tendono a più infinito quindi anche g () tende a più infinito; Per 0 < < 1, ln < 0 quindi anche g () < 0; ln 1 ln e e ln 0 ln e 0 e, si ha che 1 y e minimo per la funzione g. Quindi per g si ha: è un

15 Riportiamo solo il grafico di g: Applichiamo infine al grafico precedente un esponenziale crescente, ottenendo così il grafico della funzione potenza: Quesito 8

16 Quesito 9 Quesito 10