Studio di funzioni ( )

Transcript

1 Studio di funzioni Effettuare uno studio qualitativo e tracciare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni. Si studi in particolare anche la concavità delle funzioni e si indichino esplicitamente eventuali massimi o minimi assoluti. 1. f() = 4 3. f() = ( ) 1 3. f() = e f() = e 5. f() = e 6. f() = ln()

2 Soluzioni Di seguito si propone una soluzione completa del primo esercizio, mentre degli altri viene fornito per il momento solamente il dominio, la derivata, la derivata seconda ed il grafico (tra alcuni giorni sarà disponibile lo svolgimento anche degli altri esercizi). 1. Per prima cosa determiniamo il dominio della funzione. Poiché abbiamo a che fare esclusivamente con somme di funzioni potenza (non c è pericolo che si divida per zero o che si stia facendo il logaritmo di un numero minore o uguale a zero, o la radice quadrata di un numero negativo, ecc.), evidentemente il dominio della funzione è (-,+ ). Il secondo passo è determinare (se, a seconda dei calcoli, questo è possibile) gli intervalli in cui f() >0 e, quindi, gli intervalli dove la funzione è negativa. La funzione f() risulta positiva se e solo se 4 3 > 0, cioè, mettendo in evidenza 3, 3 ( ) > 0 Quindi la funzione è positiva quando il prodotto delle due quantità 3 e è positivo, cioè quando questi due fattori hanno lo stesso segno (ricorda che + per + è +, e per è + ). Studiamo dunque separatamente il segno dei due fattori 3 e. Si noti che 3 = e quindi (essendo sempre maggiore o uguale a 0) 3 > 0 se e solo se > 0. Invece l altro fattore,, è maggiore di 0 se e solo se >. Per confrontare i segni dei due fattori, rappresentiamo graficamente la situazione: 0 3 > > Dal confronto dei segni dei due fattori, segue che il loro prodotto è positivo per < 0 oppure per >. Quindi f() > 0 negli intervalli (,0 ) e (,+ ). Riportiamo, per nostra convenienza, sia il dominio sia la positività della funzione, su due linee, una sotto l altra: D: f()>0: Può essere comodo avere a disposizione qualche punto che appartiene al grafico della funzione. Tali punti possono essere ottenuti, per esempio, trovando le intersezioni con gli assi. Le intersezioni con l asse (y = 0) sono tutti i punti le cui ascisse soddisfano l equazione 4 3 = 0 cioè = 0 e =. Quindi i punti di coordinate (0,0) e (,0) appartengono al grafico della funzione. Per ottenere le intersezioni con l asse y, dobbiamo invece sostituire = 0 a y = 4 3. Si ottiene che necessariamente = 0 e quindi l unica intersezione con l asse y è il punto (0,0), punto che avevamo già trovato.

3 Procediamo nel nostro studio calcolando i limiti della funzione negli estremi del dominio, anche al fine di trovare eventuali asintoti orizzontali e verticali 1. Dato che D = + f lim f. Si ha che: (, ), dobbiamo calcolare lim ( ) e ( ) + ( ) ( ) = 4 3 = 4 lim f lim lim 1 = dato che / tende a 0. Per che tende a - non vi è invece alcuna forma indeterminata e concludiamo direttamente che 4 3 lim f = lim =. ( ) ( ) + Non vi è quindi alcun asintoto orizzontale (e nemmeno verticale, chiaramente), ma in ogni caso il risultato dei limiti ci dice che per valori di (positivi o negativi) via via sempre più grandi in valore assoluto la funzione tende ad assumere valori positivi via via sempre più grandi. Ciò è in accordo anche con lo studio della positività della funzione (che, appunto, risultava positiva agli estremi del dominio). A questo punto calcoliamo la derivata della funzione e ottenendo che f () = Al fine di determinare gli intervalli dove la funzione è crescente o decrescente e quindi gli eventuali punti di massimo, minimo o flesso a tangente orizzontale, studiamo la disequazione f () > 0, cioè ( 3) > 0. 3 Tale disequazione è verificata per >. Rappresentiamo graficamente la situazione evidenziando con delle frecce le zone dove la funzione è crescente o decrescente: 3 0 f () > 0: Pertanto la funzione è decrescente nell intervallo, e crescente in,+. Nei 3 3 punti = 0 e = la derivata si annulla: f ( 0 ) = 0, f = 0. Dato che la funzione è decrescente sia a sinistra che a destra di = 0, si ha che = 0 è un punto di flesso a tangente orizzontale. Tale flesso ha quindi coordinate (0,f(0)) = (0,0). Invece, come si vede chiaramente anche dalla rappresentazione grafica in alto, = 3 è un punto di 1 Prescinderemo, sia per ragioni di tempo che per coerenza con i libri di testo consigliati, dalla ricerca di eventuali asintoti obliqui.

4 minimo relativo. In tale punto la funzione vale f = = =, cioè circa 1,69. Quindi il minimo m ha coordinate,. 16 Man mano che acquisiamo tutte queste informazioni, è bene cominciare a rappresentarle nella bozza di grafico (quindi, per esempio, si possono segnare le intersezioni con gli assi, il massimo relativo, il flesso a tangente orizzontale, ecc.). Concludiamo con lo studio del segno della derivata seconda, al fine di determinare gli intervalli dove la concavità della funzione è rivolta verso l alto o verso il basso, ed eventuali altri punti di flesso. Effettuiamo quindi la derivata di f () = 4 3 6, ottenendo f () = 1 1 = 1 ( 1). Studiamo dunque la disequazione f () > 0. Si tratta di una disequazione di secondo grado, che è verificata negli intervalli esterni rispetto ai valori = 0 e = 1 f ()>0: Pertanto la funzione ha la concavità rivolta verso l alto negli intervalli (,0 ) e (,+ ) 1, mentre ha la concavità rivolta verso il basso nell intervallo (0,1). Rappresentiamo questo graficamente con degli archetti. Nei punti = 0 e = 1 la concavità subisce un cambiamento e la derivata seconda si annulla, cioè f (0) = 0 e f (1) = 0. Concludiamo quindi che = 0 e =1 sono punti di flesso. Notiamo peraltro che il flesso in = 0 era stato già determinato precedentemente, con lo studio della crescenza / decrescenza della funzione; concentriamoci quindi sul secondo punto di flesso, quello in = 1. In tale punto la funzione assume valore f(1) = = 1. Quindi, oltre al flesso F 1 (0,0), già trovato prima, abbiamo trovato anche il flesso F (1, 1). In tali punti, lo ricordiamo, la concavità della funzione cambia. A questo punto cerchiamo di tirare le somme su tutte le informazioni sin qui ottenute e abbozziamo uno schizzo di grafico. Può anche essere utile dare alla valori arbitrari e ottenere i corrispondenti valori di y = 4 3, onde ottenere ulteriori punti per i quali il grafico passa. Nel cominciare a disegnare si può per esempio partire a sinistra del foglio, cioè quando tende a -. Qui abbiamo visto che la funzione tendeva a +, quindi dobbiamo cominciare a disegnare dall angolo superiore sinistro del foglio. Sappiamo che la funzione è decrescente fino a = 3/ e che ha la concavità verso l alto fino a = 0 (punto di flesso a tangente verticale), e quindi con la penna scendiamo sino a = 0, dove la funzione vale 0 (informazione che avevamo ottenuto quando abbiamo trovato le intersezioni con gli assi). In = 0 la concavità cambia ma la funzione rimane decrescente. La concavità cambia nuovamente nell altro flesso F (1, 1). La funzione rimane decrescente fino al minimo m 3 7,. Dopo tale minimo, la funzione sale intersecando l asse delle in = e, 16 mantenendo la concavità rivolta verso l alto, tende a + man mano che tende a +. Il disegno così ottenuto dovrebbe essere simile a quello in basso:

5 F 1 F m Infine, quanto ai massimi e minimi assoluti, notiamo che la funzione non ha massimi 3 7 assoluti (infatti tende a + ), mentre l unico minimo relativo m, è anche minimo 16 assoluto: come ben si vede dal grafico, tale punto è il punto di ordinata più bassa di tutto il grafico.

6 . Dominio: tutta la retta reale tranne 1. 1 Derivata: f ( ) =. ( 1+ ) 3 Derivata seconda: ( ) ( ) f =. ( 1+ ) 4 Grafico:

7 3. Dominio: D = (,0 ) ( 0, + ). 1 e. Derivata: f ( ) = Derivata seconda: f ( ) Grafico: 1 + ( 1) e =. 4

8 4. Dominio: D = R. Derivata: f ( ) = e ( +1). Derivata seconda: f ( ) = e ( + ). Grafico:

9 5. Dominio: tutta la retta reale. Derivata: f ( ) = ( ) + e. Derivata seconda: f ( ) = ( ) e. Grafico:

10 6. Dominio: D = (0,+ ). Derivata: y = 1+ ln 1 Derivata seconda: y =. Grafico: