Università degli Studi di Siena Correzione Prova intermedia di Matematica Generale (A.A ) 12 novembre 2016 Compito 1
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- Alfredo Alessi
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1 Università degli Studi di Siena Correzione Prova intermedia di Matematica Generale (A.A. 7) novembre Compito ) ) L'espressione è equivalente a quindi sse ovvero, ma non può essere un numero negativo e di conseguenza l'unica soluzione accettabile è. ),5,5 -,5,5,5,5 -,5,5,5,. ) ;. 5) Verifica: si ha, posto risulta da cui, limite verificato
2 Compito ) ) L'espressione è equivalente a quindi sse ovvero. ),5,5,5,5,5 -,5,5,5,5,. ) ;. 5) Verifica: si ha, posto risulta da cui, limite verificato
3 Compito ) ) L'espressione è equivalente a quindi sse ovvero. ),5,5,5,5 -,5,5,5,5 -,5,5,. ) ;. 5) Verifica: si ha, posto risulta da cui, limite verificato
4 Compito ) ) L'espressione è equivalente a quindi sse ovvero, ma non può essere un numero negativo e di conseguenza l'unica soluzione accettabile è. ),5,5,5,5 -,5,5,5,5 -,5,5,. ) ;. 5) Verifica: si ha, posto risulta da cui, limite verificato
5 Compito ) Per le due ipotesi poste e consideriamo solo le righe dove entrambe sono vere, come è facile verificare dalle ultime due colonne solo l'insieme è sicuramente vuoto. ) La condizione può essere riscritta come ed i due fattoriali sono uguali se sulla prima condizione abbiamo che non è mai uguale a e pertanto è impossibile, la seconda è verificata solo per, infine per la terza ricordando che si ha ovvero da cui ; concludendo la condizione è verificata se. ) ,. ) ; 5) Verifica: si ha, posto risulta, vera se da cui, limite verificato
6 Compito ) Per le due ipotesi poste e consideriamo solo le righe dove entrambe sono vere, come è facile verificare dalle ultime due colonne solo l'insieme è sicuramente vuoto. ) La condizione può essere riscritta come ed i due fattoriali sono uguali se sulla prima condizione abbiamo che non è mai uguale a e pertanto è impossibile, la seconda è verificata se ma in questo caso, infine per la terza ricordando che si ha ovvero da cui. ) 5 - -,. ) ; 5) Verifica: si ha risulta, vera se, posto da cui, limite verificato
7 Compito ) Per le due ipotesi poste e consideriamo solo le righe dove entrambe sono vere, come è facile verificare dalle ultime due colonne solo l'insieme è sicuramente vuoto. ) La condizione può essere riscritta come ed i due fattoriali sono uguali se sulla prima condizione abbiamo che non è mai uguale a e pertanto è impossibile, la seconda è verificata solo per, infine per la terza ricordando che si ha ovvero da cui ; concludendo la condizione è verificata se. ) 5 - -,. ) ; 5) Verifica: si ha, posto risulta, vera se da cui, limite verificato
8 ) Compito Per le due ipotesi poste e consideriamo solo le righe dove entrambe sono vere, come è facile verificare dalle ultime due colonne solo l'insieme è sicuramente vuoto. ) La condizione può essere riscritta come ed i due fattoriali sono uguali se sulla prima condizione abbiamo che non è mai uguale a e pertanto è impossibile, la seconda è verificata se ma in questo caso, infine per la terza ricordando che si ha ovvero da cui. ) ,. ) ; 5) Verifica: si ha, posto risulta, vera se da cui, limite verificato
9 Università degli Studi di Siena Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 7) 9 gennaio 7 Compito ) Per la formula del binomio di Newton, per il termine di grado si deve determinare un intero tale per cui ovvero e quindi, per il termine di grado notiamo che non esistono interi tale per cui e quindi. ) Il campo di esistenza della funzione si ottiene risolvendo il sistema:.. Per gli eventuali asintoti calcoliamo i limiti della funzione agli estremi del : ;. La funzione presenta due asintoti verticali di equazioni: e. se ) Per l'espressione, pertanto altrimenti e e la funzione è continua sull'insieme dei numeri reali se e solo se e. Sotto il grafico di.,5,5,5,5, ) 5 ; ; Verifica: si ha, posto risulta, vera se da cui, limite verificato. ) :. Eventuali simmetrie: ; funzione nè pari, nè dispari. Segno ed intersezioni con gli assi: perché funzione esponenziale, unica intersezione con gli assi nel punto.
10 Limiti agli estremi del : ; ; asintoto orizzontale di equazione. Crescenza e decrescenza:.. Funzione strettamente crescente in, strettamente decrescente in, la funzione presenta massimo assoluto in. Concavità e convessità:.. Funzione strettamente convessa in, strettamente concava in, punti di flesso di coordinate e. Grafico:,8,,,,8,,, - ) log log log 7). 8) Il piano tangente alla superficie ha equazione.,,. Equazione del piano tangente:, oppure.
11 Compito ) Per la formula del binomio di Newton, per il termine di grado si deve determinare un intero tale per cui ovvero e quindi, per il termine di grado notiamo che non esistono interi tale per cui e quindi. ) Il campo di esistenza della funzione si ottiene risolvendo il sistema:.. Per gli eventuali asintoti calcoliamo i limiti della funzione agli estremi del : ;. La funzione presenta due asintoti verticali di equazioni: e. se ) Per l'espressione, pertanto altrimenti e e la funzione è continua sull'insieme dei numeri reali se e solo se e. Sotto il grafico di.,,8,,, ) 8 ; ; Verifica: si ha, posto risulta, vera se da cui, limite verificato. ) :. Eventuali simmetrie: ; funzione nè pari, nè dispari. Segno ed intersezioni con gli assi: perché funzione esponenziale, unica intersezione con gli assi nel punto. Limiti agli estremi del :
12 ; ; asintoto orizzontale di equazione. Crescenza e decrescenza:.. Funzione strettamente crescente in, strettamente decrescente in, la funzione presenta massimo assoluto in. Concavità e convessità:.. Funzione strettamente convessa in, strettamente concava in, punti di flesso di coordinate e. Grafico: ) log log log 7). 8) Il piano tangente alla superficie ha equazione.,,. Equazione del piano tangente:.
13 Compito ) Per la formula del binomio di Newton, per il termine di grado si deve determinare un intero tale per cui ovvero e quindi, per il termine di grado notiamo che non esistono interi tale per cui e quindi. ) Il campo di esistenza della funzione si ottiene risolvendo il sistema:.. Per gli eventuali asintoti calcoliamo i limiti della funzione agli estremi del : ;. La funzione presenta due asintoti verticali di equazioni: e. se ) Per l'espressione, pertanto altrimenti e e la funzione è continua sull'insieme dei numeri reali se e solo se e. Sotto il grafico di.,,8,,, -5 - ) - 5 ; ; Verifica: si ha, posto risulta, vera se da cui, limite verificato. ) :. Eventuali simmetrie: ; funzione nè pari, nè dispari. Segno ed intersezioni con gli assi: perché funzione esponenziale, unica intersezione con gli assi nel punto. Limiti agli estremi del : ; ; asintoto orizzontale di equazione. Crescenza e decrescenza:.
14 . Funzione strettamente crescente in, strettamente decrescente in, la funzione presenta massimo assoluto in. Concavità e convessità:.. Funzione strettamente convessa in, strettamente concava in, punti di flesso di coordinate e. Grafico:,8,,,,8,,, ) log log log 7) log. 8) Il piano tangente alla superficie ha equazione.,,. Equazione del piano tangente:, oppure.
15 Compito ) Per la formula del binomio di Newton, per il termine di grado si deve determinare un intero tale per cui ovvero e quindi, per il termine di grado notiamo che non esistono interi tale per cui e quindi. ) Il campo di esistenza della funzione si ottiene risolvendo il sistema:.. Per gli eventuali asintoti calcoliamo i limiti della funzione agli estremi del : ;. La funzione presenta due asintoti verticali di equazioni: e. se ) Per l'espressione, altrimenti pertanto e e la funzione è continua sull'insieme dei numeri reali se e solo se e. Sotto il grafico di , -, -, -,8, ) ; ; Verifica: si ha, posto risulta, vera se da cui, limite verificato. ) :. Eventuali simmetrie: ; funzione nè pari, nè dispari. Segno ed intersezioni con gli assi: perché funzione esponenziale, unica intersezione con gli assi nel punto. Limiti agli estremi del : ;
16 ; asintoto orizzontale di equazione. Crescenza e decrescenza:.. Funzione strettamente crescente in, strettamente decrescente in, la funzione presenta massimo assoluto in. Concavità e convessità:.. Funzione strettamente convessa in, strettamente concava in, punti di flesso di coordinate e. Grafico: ) log 7) log log. 8) Il piano tangente alla superficie ha equazione.,,. Equazione del piano tangente:, oppure.
17 Università degli Studi di Siena Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 7) febbraio 7 Compito ). Per l'ipotesi posta escludiamo le due righe dove e sono una vera e l'altra falsa, nelle rimanenti sei righe l'equivalenza risulta tre volte vera e tre volte falsa. ) Se disponi solo delle cifre,, e (quattro cifre, due dispari e due pari) puoi formare numeri distinti di cinque cifre. Se invece si richiede che il numero sia pari e presenti una ed una sola cifra dispari hai due modi distinti di scelta della cifra dispari, quattro modi distinti per le scelta della posizione dove inserire la cifra dispari e modi distinti per le cifre pari, in definitiva i numeri distinti che soddifano le condizioni poste sono. ) ; ; ;. Per le condizioni di continuità è continua su se e solo se e ovvero e. Sotto il grafico di ; e sono -piccoli di per, così come, pertanto. )
18 ;. Segno ed intersezioni con gli assi: se, funzione positiva in, negativa in, unica intersezione con l'asse delle ascisse nel punto.. Limiti agli estremi del : ; ; due asintoti verticali con equazioni e. Crescenza e decrescenza:.. Funzione strettamente decrescente in. Concavità e convessità:.. Funzione strettamente convessa in, strettamente concava in, punto di flesso di coordinate. Grafico: ) : 8,5 -,5,5,5, ).,5
19 7) L'equazione della retta tangente alla nel punto è. ; ;. Equazione della retta:. 8) ; ;.
20 Compito. ) Per l'ipotesi posta escludiamo le quattro righe dove e sono entrambe vere o entrambe false, nelle rimanenti quattro righe la disgiunzione risulta tre volte vera e una volta falsa. ) Se disponi solo delle cifre,, e (quattro cifre, due dispari e due pari) puoi formare numeri distinti di sei cifre. Se invece si richiede che il numero sia dispari e presenti una ed una sola cifra pari hai due modi distinti di scelta della cifra pari, cinque modi distinti per le scelta della posizione dove inserire la cifra pari e modi distinti per le cifre dispari, in definitiva i numeri distinti che soddifano le condizioni poste sono. ) ; ; ;. Per le condizioni di continuità è continua su se e solo se e ovvero e. Sotto il grafico di ; e sono -piccoli di per, così come, pertanto. ) : ;. )
21 Segno ed intersezioni con gli assi: se, funzione positiva in, negativa in, unica intersezione con l'asse delle ascisse nel punto.. Limiti agli estremi del : ; ; due asintoti verticali con equazioni e. Crescenza e decrescenza:.. Funzione strettamente decrescente in. Concavità e convessità:.. Funzione strettamente convessa in, strettamente concava in, punto di flesso di coordinate. Grafico: ). 7) L'equazione della retta tangente alla nel punto è. ; ;
22 . Equazione della retta:. 8) ; ;.
23 Compito. ) Per l'ipotesi posta escludiamo le due righe dove e sono una vera e l'altra falsa, nelle rimanenti sei righe l'implicazione risulta cinque volte vera e una volta falsa. ) Se disponi solo delle cifre,,, e (cinque cifre, tre dispari e due pari) puoi formare numeri distinti di sei cifre. Se invece si richiede che il numero sia dispari e presenti una ed una sola cifra pari hai due modi distinti di scelta della cifra dispari, cinque modi distinti per le scelta della posizione dove inserire la cifra pari e modi distinti per le cifre dispari, in definitiva i numeri distinti che soddifano le condizioni poste sono. ) ; ; ;. Per le condizioni di continuità è continua su se e solo se e ovvero e. Sotto il grafico di.,5,5, ,5,5,5 ; ) 8
24 e sono -piccoli di per, così come, pertanto. ) : ;. Segno ed intersezioni con gli assi: se, funzione positiva in, negativa in, unica intersezione con l'asse delle ascisse nel punto.. Limiti agli estremi del : ; ; due asintoti verticali con equazioni e. Crescenza e decrescenza:.. Funzione strettamente crescente in. Concavità e convessità:.. Funzione strettamente convessa in, strettamente concava in, punto di flesso di coordinate. Grafico: ). 5
25 7) L'equazione della retta tangente alla nel punto è. ; ;. Equazione della retta:. 8) ; ;.
26 Compito. ) Per l'ipotesi posta escludiamo le tre righe dove e sono almeno una falsa, nelle rimanenti cinque righe l'implicazione risulta vera. ) Se disponi solo delle cifre,,, e (cinque cifre, tre dispari e due pari) puoi formare numeri distinti di quattro cifre. Se invece si richiede che il numero sia pari e presenti una ed una sola cifra dispari hai tre modi distinti di scelta della cifra dispari, tre modi distinti per le scelta della posizione dove inserire la cifra dispari e modi distinti per le cifre pari, in definitiva i numeri distinti che soddifano le condizioni poste sono. ) ; ; ;. Per le condizioni di continuità è continua su se e solo se e ovvero. Sotto il grafico di.,5, ,5,5 ; e sono -piccoli di per, così come e, pertanto. ) : ;. )
27 Segno ed intersezioni con gli assi: se, funzione positiva in, negativa in, unica intersezione con l'asse delle ascisse nel punto.. Limiti agli estremi del : ; ; due asintoti verticali con equazioni e. Crescenza e decrescenza:.. Funzione strettamente crescente in. Concavità e convessità:.. Funzione strettamente convessa in, strettamente concava in, punto di flesso di coordinate. Grafico: ). 7) L'equazione della retta tangente alla nel punto è. ; ;. Equazione della retta:.
28 8) ; ;.
29 Compito. ) Per l'ipotesi posta escludiamo le quattro righe dove e sono entrambe vere, nelle rimanenti quattro righe l'implicazione risulta vera. ) Se disponi solo delle cifre,,,, e (sei cifre, tre dispari e tre pari) puoi formare numeri distinti di sei cifre. Se invece si richiede che il numero sia pari e presenti una ed una sola cifra dispari hai tre modi distinti di scelta della cifra dispari, cinque modi distinti per le scelta della posizione dove inserire la cifra dispari e modi distinti per le cifre pari, in definitiva i numeri distinti che soddifano le condizioni poste sono. ) ; ; ;. Per le condizioni di continuità è continua su se e solo se e ovvero e. Sotto il grafico di ; e sono -piccoli di per, così come e, pertanto. ) : ;. )
30 Segno ed intersezioni con gli assi: se, funzione positiva in, negativa in, unica intersezione con l'asse delle ascisse nel punto.. Limiti agli estremi del : ; ; due asintoti verticali con equazioni e. Crescenza e decrescenza:.. Funzione strettamente crescente in. Concavità e convessità:.. Funzione strettamente convessa in, strettamente concava in, punto di flesso di coordinate. Grafico: ). 7) L'equazione della retta tangente alla nel punto è. ; ;
31 . Equazione della retta:. 8) ; ;.
32 Compito. ) Per l'ipotesi posta escludiamo le due righe dove e sono una vera e l'altra falsa, nelle rimanenti sei righe l'implicazione risulta cinque volte vera e una volta falsa. ) Se disponi solo delle cifre,,,, e (sei cifre, tre dispari e tre pari) puoi formare numeri distinti di cinque cifre. Se invece si richiede che il numero sia pari e presenti una ed una sola cifra dispari hai tre modi distinti di scelta della cifra dispari, quattro modi distinti per le scelta della posizione dove inserire la cifra dispari e modi distinti per le cifre pari, in definitiva i numeri distinti che soddifano le condizioni poste sono. ) ; ; ;. Per le condizioni di continuità è continua su se e solo se e ovvero e. Sotto il grafico di ) ; e sono -piccoli di per, così come, pertanto. ) : ;. Segno ed intersezioni con gli assi: se
33 , funzione positiva in, negativa in, unica intersezione con l'asse delle ascisse nel punto.. Limiti agli estremi del : ; ; due asintoti verticali con equazioni e. Crescenza e decrescenza:.. Funzione strettamente decrescente in. Concavità e convessità:.. Funzione strettamente convessa in, strettamente concava in, punto di flesso di coordinate. Grafico: ). 7) L'equazione della retta tangente alla nel punto è. ; ;. Equazione della retta:. 8) ; ;.
34 Università degli Studi di Siena Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 7) 7 marzo 7 Compito Unico ) Costruiamo la tavola di appartenenza: Per le ipotesi poste escludiamo le due righe dove esse non sono verificate, come è facile notare dall'ultima colonna si verifica un caso di falsità, pertanto non si può concludere con certezza che. e ;, e ) Ricordiamo che, pertanto,. ),,. La disequazione proposta è equivalente alla che con semplice algebra può essere riscritta come ; studiamo separatamente il segno dei tre fattori:,,, dato che si richiede che il segno della frazione sia positivo abbiamo che la disequazione proposta è verificata se e solo se tutte e tre i fattori sono positivi oppure uno ed uno soltanto è positivo, ovvero le soluzioni sono. ) ;. ) :,, in quanto rapporto fra due quantità positive,. Segno: vera, funzione positiva,. Limiti agli estremi del : ;
35 ; ; asintoto obliquo sx di equazione ; ; asintoto orizzontale dx di equazione. Crescenza e decrescenza:,,, funzione strettamente decrescente. Concavità e convessità:.,, funzione strettamente convessa. Grafico: sono riportati anche l'asintoto obliquo (in rosso) e quello orizzontale (in grigio), ) ) che può essere riscritta in forma di sistema lineare:
36 , la matrice, matrice nulla. 8). :, tre punti critici,,.. :,. punto di minimo.,. e punti di sella.
37 Università degli Studi di Siena Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 7) giugno 7 Compito Unico ) (Primo metodo: con la tavola di verità) Per le ipotesi poste escludiamo le due righe dove almeno una fra le proposizioni o è falsa, come è facile notare dall'ultima colonna si verifica che la proposizione è sicuramente vera. (Secondo metodo: con la logica) Se la proposizione fosse falsa avremmo che è vera e è falsa oppure il viceversa, pertanto se è vera e è falsa risulta che e sono false e è vera da cui la falsità di, mentre se è vera e è falsa risulta che e sono false e è vera da cui la falsità di, in conclusione se e sono entrambe vere non può essere falsa e quindi è sicuramente vera. ) Nel primo caso abbiamo distinti modo di scelta per il colore della banda centrale, distinti modi di scelta per il colore della banda di sinistra o di destra e distinti modi di scelta per il colore della banda rimanente, le possibili bandiere sono quindi. Nel secondo caso abbiamo modi per la centrale e distinti modi per le rimanenti due, le possibili bandiere sono quindi. ) Di seguito due possibili grafici di funzione che soddisfano le condizioni richieste. grafico funzione 8,5 7,5 5,5 - - ),5,5 ;
38 . ). Segno:,, perché prodotto fra due quantità non negative, se e solo se, unica intersezione con gli assi nel punto. Limiti agli estremi del : ; ; la funzione non presenta asintoto orizzontale o asintoto obliquo sx;, in quanto per, ; asintoto orizzontale dx di equazione. Crescenza e decrescenza:,, per, funzione strettamente crescente in, strettamente decrescente in e in ; minimo assoluto nel punto, massimo relativo nel punto. Concavità e convessità:., se, vera per, funzione strettamente convessa in e in, strettamente concava in ; flessi nei punti e. Grafico:,5,5,5 5 7 ). 7) Per la formula del differenziale posto, e, può essere approssimata tramite la formula
39 ,,, pertanto. 8). :, tre punti critici,,.. :,. punto di massimo.. e punti di sella.
40 Università degli Studi di Siena Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 7) luglio 7 Compito Unico ) Sviluppando i coefficienti binomiali il sistema risulta equivalente a e ricordando che,, e il sistema può essere riscritto come ovvero da cui che risolto porta a e. ),5, ,5 5,5,5 - -,5,. ) pertanto deve risultare ovvero. ) ; per, e sono o-piccoli di così come e sono o-piccoli di, pertanto. ) :, studiamo separatamente numeratore e denominatore: per e per, il rapporto risulta maggiore di zero se e solo se..
41 Eventuali simmetrie:, funzione dispari. La studiamo quindi solo per ed operiamo per simmetria. Segno: se, vera se e solo se,, unica intersezione con gli assi nel punto. Limiti agli estremi del : ; asintoto verticale di equazione. Crescenza e decrescenza:,,, funzione strettamente crescente in. Concavità e convessità:., se e solo se, funzione strettamente convessa in ; unico punto di flesso in. Grafico: 8 -, -, -,,, ).,
42 7) Posto, risulta e ; la relazione è quindi soddisfatta se. 8) con, e, con, ; pertanto.
43 Università degli Studi di Siena Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 7) settembre 7 Compito Unico ) Costruiamo la tavola di verità: L'ipotesi ) porta ad escludere le prime due righe dove essa non è verificata, per la ) escludiamo l'ultima riga, infine la ) porta ad eliminare la seconda dall'alto delle rimanenti; come possiamo notare nella colonna conlusiva nei quattro casi significativi si verificano solo situazioni di verità, pertanto si può concludere con certezza che la proposizione è vera. ) Nel primo caso abbiamo modi distinti per la scelta delle quattro lettere e modi distinti per la scelta delle quattro cifre, in totale i possibili codici che si possono formare sono. Nel secondo caso abbiamo modi distinti per la scelta della prima lettera, modi distinti per la scelta della seconda lettera e così via, mentre per le cifre abbiamo modi distinti per la prima, modi distinti per la seconda e così via, in totale i possibili codici che si possono formare sono in questo caso. ).,, infine dato che ne consegue che l'insieme proposto è aperto. ) ;. ) :, dato che la quantità è positiva per ogni reale risulta se e solo se ovvero,.
44 , funzione pari (simmetrica rispetto all'asse delle ordinate), la studiamo solo nell'intervallo ed operiamo per simmetria. Segno: vera, funzione non negativa,. Limiti agli estremi del : ; asintoto verticale di equazione. Crescenza e decrescenza:,,, funzione strettamente crescente. Concavità e convessità:.,, funzione strettamente convessa. Grafico: 5,5,5,5,5,5,5 -,5,5,5 ) Integriamo per parti:. 7) Per la funzione è ottenuta da somme e combinazioni di funzioni continue e derivabili quindi risulta continua e derivabile, per studiare la continuità nel punto consideriamo i limiti: e, pertanto la è continua in se e solo se ; per la derivabilità abbiamo:
45 . La funzione è continua e derivabile su tutto l'insieme dei numeri reali se e solo se e. e 8) Il piano tangente alla superficie ha equazione.,,. Equazione del piano tangente:, oppure.
46 Università degli Studi di Siena Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 7) settembre 7 Compito ) Costruiamo la tavola di verità ed escludiamo l'unica riga dove la proposizione è falsa: Come è facile notare nell'ultima colonna, sotto l'ipotesi che è vera, la proposizione è vera. ) Il grafico della è riportato in basso,, ), ;,,,. ) ; per,,, ed sono tutti -piccoli di, pertanto. ) :., funzione nè pari, nè dispari. Segno: vera, perché prodotto fra quantità non negative,. Limiti agli estremi del : ;
47 ; in quanto per ; asintoto orizzontale dx di equazione. Crescenza e decrescenza:,,, funzione strettamente crescente in, strettamente decrescente in e in ; minimo assoluto nel punto, massimo relativo in. Concavità e convessità: il.massimo nel punto insieme ad i due punti di flesso di ascissa positiva portano a concludere che la funzione è strettamente concava in con, strettamente convessa altrimenti. Grafico:,8,,,,8,,, -,5,5,5,5,5 ). 7) Per la funzione è ottenuta da somme e prodotti di funzioni continue e derivabili, quindi risulta continua e derivabile; per studiare la continuità nel punto consideriamo i limiti: e, pertanto la è continua in se e solo se ; e. La funzione è continua e derivabile su tutto l'insieme dei numeri reali se e solo se e. per la derivabilità abbiamo: 8),.
48 Compito ) Costruiamo la tavola di verità ed escludiamo l'unica riga dove la proposizione è falsa: Come è facile notare nell'ultima colonna, sotto l'ipotesi che è vera, la proposizione è falsa. ) Il grafico della è riportato in basso,,.,5,5, ,5,5 ), ;,,,. ) ; per, ed sono -piccolo di, mentre ed sono -piccoli di, pertanto. ) :., funzione nè pari, nè dispari. Segno: vera, perché prodotto fra quantità non negative,. Limiti agli estremi del : in quanto per ; asintoto orizzontale sx di equazione ; ;.
49 Crescenza e decrescenza:,,, funzione strettamente crescente in e in, strettamente decrescente in ; massimo relativo nel punto, minimo assoluto in,. Concavità e convessità: il.massimo nel punto insieme ad i due punti di flesso di ascissa negativa portano a concludere che la funzione è strettamente concava in con, strettamente convessa altrimenti. Grafico:,,8,,, ). 7) Per la funzione è ottenuta da somme e prodotti di funzioni continue e derivabili, quindi risulta continua e derivabile; per studiare la continuità nel punto consideriamo i limiti: e, pertanto la è continua in se e solo e. La funzione è continua e derivabile su tutto l'insieme dei numeri reali se e solo se e. se ; per la derivabilità abbiamo: 8),.
50 Università degli Studi di Siena Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 7) ottobre 7 Compito Unico ) Nel caso in cui la bandiera ha tre bande verticali tutte a colori distinti si hanno modi distinti per la scelta del colore sulla prima banda, modi per la seconda e modi per la terza, le possibili bandiere sono. Se invece si richiede che la bandiera abbia colori distinti su bande adiacenti, si hanno modi distinti per la scelta del colore sulla banda di sinistra, modi per la banda di centro e modi per la restante banda, le possibili bandiere sono. ) ; ; se se ; se se ). ; ; ;. Per le condizioni di continuità è continua su se e solo se e ovvero e. ) ;. ) :,., funzione pari (simmetrica rispetto all'asse delle ordinate), la studiamo solo nei reali positivi ed operiamo per simmetria. Segno: vera, perché è una esponenziale, funzione strettamente positiva. Limiti agli estremi del : asintoto verticale di equazione ; ; in quanto per,, e di conseguenza ; la funzione non presenta nè asintoto orizzontale, nè asintoto obliquo. Crescenza e decrescenza:, se, funzione strettamente crescente in, strettamente decrescente in ; minimo assoluto pari a nel punto di ascissa. Grafico:
51 8 7 5,5,5 -,5,5,5,5 ). 7) Per una funzione di equazione derivabile nel punto, l'equazione della retta ad essa tangente è. Nel caso specifico risulta, e, pertanto la retta cercata ha equazione ovvero. 8) Il piano tangente alla superficie ha equazione.,,. Equazione del piano tangente:, oppure.
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