Esame di Matematica Generale 7 Febbraio Soluzione Traccia E

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1 Esame di Matematica Generale 7 Febbraio Soluzione Traccia E ESERCIZIO 1. Si consideri la funzione f : R R f(x) = x + 1 x. (a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie (3 punti). Dominio. Deve essere x 0, ossia x(x ) 0, il che accade per x 0 x. Dunque D f = R \ {0, } = ], 0[ ]0, [ ], + [. Simmetrie. La funzione non è pari, infatti f( x) = ( x) ( x) + 1 ( x) ( x) La funzione non è neppure dispari essendo f(x) = x + 1 x = x + x + 1 x + x f( x). f(x). (b) Determinare il segno di f ed eventuali intersezioni con gli assi (3 punti). Segno. La funzione assume valore positivo se f(x) > 0, dunque se x > 0 (x 1) x(x ) > 0. Combinando i segni dei fattori al numeratore ed al denominatore si avrà Ne consegue f(x) > 0 x < 0 x > (o anche x ], 0[ ], + [). f(x) 0 0 < x < (o anche x ]0, [). Intersezioni con gli assi. La determinazione di eventuali intersezioni con gli assi delle ordinate e delle ascisse passa, rispettivamente, attraverso la risoluzione dei sistemi: { { y = f(x) y = f(x) e. x = 0 y = 0 1

2 Nel primo caso il sistema risulta impossibile e, dunque, il grafico della funzione non interseca l asse delle ordinate. Nel secondo caso si avrà { { { y = x x+1 x x+1 x x x x = 0 x = 1, y = 0 y = 0 y = 0 pertanto il grafico interseca l asse delle ascisse nel punto P (1, 0). (c) Calcolare i iti e determinare il comportamento asintotico della funzione (4 punti). Essendo f non definita in x = 0 e in x =, le rette corrispondenti a tali equazioni potrebbero essere asintoti verticali. Verifichiamolo calcolando i iti seguenti f(x) e f(x). x 0 x Nel primo caso, valutando in x = 0 la funzione, si ottiene 1 0. Questo significa che ite destro e sinistro sono infiniti e che la retta r : x = 0 è asintoto verticale. Se ora si osserva che immediatamente a sinistra di x = 0 f è positiva, mentre immediatamente a destra f è positiva allora si può concludere x 0 x = + e x 0 + x =. Il secondo ite presenta una soluzione analoga con s: x = asintoto verticale e x x = e x + x = +. Per eventuali asintoti orizzontali si procede con la risoluzione dei iti Così si avrà x + x = x + f(x) e x + f(x). x x ( 1 + x + 1 x ) x ( 1 x ) = x x + 1 x x = 1, da cui si deduce che la retta t: y = 1 è asintoto orizzontale destro. Analogamente, è x x = 1, il che significa che t: y = 1 è pure asintoto orizzontale sinistro.

3 (d) Determinare gli intervalli di monotonia di f ed eventuali punti estremali (4 punti). Monotonia. La funzione f è monotona crescente (risp. decrescente) laddove la sua derivata f è positiva (risp. negativa). Dunque, si ha f (x) = (x ) (x ) () (x ) (1 x) (x ) = x (x ). Ne risulta f (x) > 0 (f monotona crescente) se x < 1 x 0 o, equivalentemente, in ], 0[ ]0, 1[; f (x) < 0 (f monotona decrescente) se x > 1 x o, equivalentemente, in ]1, [ ], + [; Punti estremali. I punti estremali sono da ricercare tra quei punti le cui ascisse x soddisfino f (x) = 0. Nel nostro caso l unica possibile è x = 1, che sostituita in y = f(x) determina l ordinata y = 0. Il punto ottenuto, Q(1, 0), è di massimo relativo essendo f(x) crescente alla sua sinistra e decrescente alla sua destra. (e) Determinare gli intervalli di convessità di f ed eventuali punti di flesso (4 punti). Convessità. Il grafico della funzione f volge la sua concavità verso l alto (risp. verso il basso) laddove la sua derivata seconda f è positiva (risp. negativa). Dunque, si ha f (x) = x (x ) (x ) 4(x )(x ) (x ) 4 = (x )(6x 1x + 8) (x ) 4 = (3x 6x + 4) x 3 (x ) 3. Il trinomio al numeratore presenta un discriminante negativo, = b 4ac = 1. Combinando tale dato con a = 3 > 0 si deduce 3x 6x + 4 > 0 per ogni x R. Per quanto concerne il denominatore vale x 3 > 0 se x > 0 e (x ) 3 > 0 se x >. In definitiva risulta 3

4 f (x) > 0 (concavità rivolta verso l alto) se x < 0 oppure se x > (equivalentemente per x ], 0[ ], + [); f (x) < 0 (concavità rivolta verso il basso) se 0 < x < (equivalentemente per x ]0, [). Punti di flesso. I punti di flesso sono da ricercare tra quei punti le cui ascisse soddisfino f (x) = 0. Nel nostro caso il numeratore di f (x) non si annulla per alcun valore della x e, pertanto, la funzione non presenta punti di flesso. (f ) Disegnare il grafico di f (3 punti). Si veda l ultima pagina (in rosso l asintoto orizzontale). ESERCIZIO. Calcolare il seguente ite senza l uso della regola di de l Hôpital (6 punti). Si tengano presenti i iti notevoli Allora risulta 1 cos x x 0 sin 4x = x 0 sin t 1 cos t = 1 e t 0 t t 0 t = 1. 1 cos x x x 4x 4x sin 4x = x 0 1 cos x x x x 0 4 x 0 4x sin 4x = = 0. ESERCIZIO 3. Calcolare il seguente integrale definito. (6 punti). Si tenga presente la seguente regola di integrazione: f (x) dx = log f(x) + c. f(x) Allora, essendo 1 sin x la derivata di x + cos x, vale 1 sin x dx = log x + cos x + c. x + cos x 4

5 In conclusione, per calcolare il valore dell integrale definito basta determinare la differenza tra i valori assunti dal secondo membro in x = π e x = 0 rispettivamente: π 0 1 sin x x + cos x dx = [log x + cos x + c]x= π x=0 = log π log 1 = log π. 5

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