Politecnico di Torino Prima Facoltà di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche-I. f(x) = e 2x e 2.

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1 Politecnico di Torino Prima Facoltà di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche-I A COGNOME e NOME Rondoni (01BJV, W0033) Corgnier Esercizio 1. Sia data la funzione f(x) definita da f(x) = e 2x e 2. a. Determinare il dominio di f e i limiti agli estremi del dominio. b. Determinare i punti di massimo e minimo ed intervalli di monotonia. c. Scrivere le equazioni degli eventuali asintoti. d. Si tracci il grafico della funzione. e. La funzione è pari? È dispari? Si motivi la risposta. (10 punti)

2 A Esercizio 2. a)trovare l area della regione di piano delimitata sotto dalla retta y = 5x+2 e sopra dalla parabola y = 2x 2 + 4x. b) Disegnare la regione e calcolare l area della sua parte situata nel semipiano delle ordinate negative. (7 punti)

3 A Esercizio 3. Calcolare l integrale indefinito: x 2 sin 2xdx Fra tutte le antiderivate (o primitive) corrispondenti, trovare quella che vale 0 in 0. (5 punti)

4 Esercizio 4. Calcolare il seguente limite A log x 2 lim x 1 x 1 (5 punti)

5 Teoria. Introdurre il concetto di derivata e darne un interpretazione geometrica facendo esempi. (4 punti) A

6 Politecnico di Torino Prima Facoltà di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche-I B COGNOME e NOME Rondoni (01BJV, W0033) Corgnier Esercizio 1. Sia data la funzione f(x) definita da f(x) = e x+1 1. a. Determinare il dominio di f e i limiti agli estremi del dominio. b. Determinare i punti di massimo e minimo ed intervalli di monotonia. c. Scrivere le equazioni degli eventuali asintoti. d. Si tracci il grafico della funzione. e. La funzione è pari? È dispari? Si motivi la risposta. (10 punti)

7 Esercizio 2. a) Calcolare l area sotto la curva di equazione y = 2x 2 +6x e sopra la retta di equazione y = x 1. b) Disegnare la regione e calcolare l area della sua parte situata nel semipiano delle ordinate positive. (7 punti) B

8 B Esercizio 3. Calcolare l integrale indefinito: x 2 e 2x dx Fra tutte le antiderivate (o primitive) corrispondenti, trovare quella che vale 1 in 0. (5 punti)

9 Esercizio 4. Calcolare il seguente limite B log x 3 lim x 1 x 1 (5 punti)

10 Teoria. Introdurre il concetto di integrale e darne un interpretazione geometrica facendo esempi. (4 punti) B

11 Politecnico di Torino Prima Facoltà di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche-I C COGNOME e NOME Rondoni (01BJV, W0033) Corgnier Esercizio 1. Sia data la funzione f(x) definita da f(x) = e x 1 1. a. Determinare il dominio di f e i limiti agli estremi del dominio. b. Determinare i punti di massimo e minimo ed intervalli di monotonia. c. Scrivere le equazioni degli eventuali asintoti. d. Si tracci il grafico della funzione. e. La funzione è pari? È dispari? Si motivi la risposta. (10 punti)

12 Esercizio 2. a) Calcolare l area delimitata dalla curva di equazione y = x 3 + x e dalla retta di equazione y = 2x, con 1 x 1. b) Disegnare la regione e calcolare l area della sua parte situata nel semipiano delle ordinate positive. (7 punti) C

13 Esercizio 3. Calcolare l integrale indefinito: x 2 x dx C Fra tutte le antiderivate (o primitive) corrispondenti, trovare quella che vale 1 in 0. (5 punti)

14 Esercizio 4. Calcolare il seguente limite C lim x 1 log x 2 2(x 1) (5 punti)

15 Teoria. Enunciare il teorema fondamentale del calcolo integrale e illustrarlo con esempi. (4 punti) C

16 Politecnico di Torino Prima Facoltà di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche-I D COGNOME e NOME Rondoni (01BJV, W0033) Corgnier Esercizio 1. Sia data la funzione f(x) definita da f(x) = e 3x e 3. a. Determinare il dominio di f e i limiti agli estremi del dominio. b. Determinare i punti di massimo e minimo ed intervalli di monotonia. c. Scrivere le equazioni degli eventuali asintoti. d. Si tracci il grafico della funzione. e. La funzione è pari? È dispari? Si motivi la risposta. (10 punti)

17 D Esercizio 2. a) Calcolare l area delimitata dalla curva di equazione y = x 3 + 2x e dalla retta di equazione y = x, con 1 x 1. b) Disegnare la regione e calcolare l area della sua parte situata nel semipiano delle ordinate positive. (7 punti)

18 D Esercizio 3. Calcolare l integrale indefinito: x 2 log x dx Fra tutte le antiderivate (o primitive) corrispondenti, trovare quella che vale 1 in 0. (5 punti)

19 Esercizio 4. Calcolare il seguente limite D log x 4 lim x 1 x 1 (5 punti)

20 Teoria. Relazione fra funzioni continue, funzioni differenziabili e funzioni integrabili, con esempi. (4 punti) D

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