Esercizi di integrazione

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1 5 Esercizi di integrazione Es. Calcolare i seguenti integrali indefiniti {3 x + sin(x) cos(x) + 3x x } dx, b) Suggerimento per b): calcolarsi prima le derivate di tg(x) e di /tg(x). Es. { } cos (x) 3 sin dx (x) Calcolare i seguenti integrali indefiniti 3 b) x dx, b) + dx, x c) { x + x } dx Suggerimento: osservare che x = /x. Es. 3 Utilizzando la regola di integrazione per sostituzione, calcolare i seguenti integrali indefiniti x + dx, porre t = x + dt = dx e x b) + e xdx, porre t = ex dt = e x dx c) cos(x)e sin(x) dx, porre t = sin(x) dt = cos(x) dx d) ln(x + sin(x) x + sin(x) ( + cos(x))dx, porre t = ln(x + sin(x) Es. 4 Utilizzando la regola di integrazione per parti, calcolare i seguenti integrali indefiniti (x + ) e x dx, b) x sin(x)dx, c) x 3 ln(x)dx Es. 5 Calcolare i seguenti integrali applicando le regole di integrazione per parti arctg(x)dx, b) arcsin(x)dx Es. 6 Calcolare il seguente integrale applicando ripetutamente la regola di integrazione per parti e x cos(x)dx

2 6 Es. 7 Indicare la scomposizione in fratti semplici delle seguenti funzioni razionali dove N(x) è un polinomio, di grado inferiore al grado del polinomio a denominatore, che non interessa precisare. Es. 8 N(x) (x ) (x + ) 3, b) N(x) x 3 (x + ) (x ), c) N(x) (x + ) (x + x + ) Calcolare i seguenti integrali x 4 + x 3 x + x dx, b) + x x x dx, c) + x 3x + x + 5 x 3 + x + x + dx Suggerimento: il grado del polinomio a numeratore è maggiore di quello a denominatore... b) attenzione al a denominatore! c) osservare che è x 3 + x + x + = (x + ) (x + ). Es. 9 Calcolare i seguenti integrali definiti e ln(x)dx, b) π/6 sin(x)dx, c) π/4 tg(x)dx Es. 3 Utilizzando la definizione di integrale improprio, calcolare I(τ) = dove τ > è un parametro assegnato. Es. 3 + e t/τ dt Utilizzando la definizione di integrale improprio, calcolare, se esistono Es. 3 x dx, b) tg(x) dx Sapendo che + e x dx = π calcolare in funzione dei parametri σ > e µ R Es πσ e (x µ) σ dx

3 7 Si consideri la funzione f il cui grafico è riportato nella seguente figura Indicare le ascisse degli eventuali punti di non derivabilità di f. Calcolare f (3). Disegnare, sullo stesso grafico che riporta f, la retta tangente ad f nel suo punto di ascissa x = 5/. Applicando il procedimento grafico, costruire l andamento qualitativo del grafico della funzione integrale Es. 34 F(u) = u f(x)dx Si consideri la funzione f il cui grafico è riportato nella seguente figura La funzione consta di una semiretta (x < ), un segmento ( x ) ed una parte di parabola (x >.) Indicare le ascisse degli eventuali punti di non derivabilità di f. b) Trovare gli intervalli in cui f è crescente in senso stretto e quelli in cui è decrescente in senso stretto. Trovare, inoltre, gli intervalli in cui f è costante. c) Determinare gli eventuali punti mi massimo e di minimo indicando se sono relativi o assoluti.

4 8 d) Sapendo che per x > la funzione è data da f(x) = (x ), calcolare 3 f(x)dx Indicare cosa rappresenta geometricamente il valore trovato. e) Dimostrare che esiste ξ > 3 tale che ξ f) Dimostrare che esiste η [, ] tale che g) Calcolare h) Si può calcolare In caso affermativo, quanto vale? 3 f(x)dx =. f(x)dx = f(η). 3 f(x)dx f(x)dx? i) Calcolare e disegnare la retta tangente alla curva nel suo punto di ascissa x = 3. Come è disposta questa retta rispetto al grafico della curva? Perché? Es. 35 Calcolare π sin(x)dx Sfruttando il risultato appena ottenuto, calcolare i seguenti integrali π π [ ] sin(x)dx, b) π + sin(x) dx Es. 36 Calcolare la funzione integrale F(u) = u f(x)dx della funzione f il cui grafico è

5 9 Es. 37 Si vuole stimare la quantità d oro, distribuita in modo disomogeneo, in una lastra molto sottile. E nota la densità dell oro, punto per punto, espressa in g/mm (grammi su millimetro quadro). Allo scopo si suddivide la lamina in n regioni molto piccole in modo tale che in ciascuna di esse la densità d oro si possa ritenere costante. Quindi, si stima la quantità d oro totale Q della lamina mediante la relazione n Q ρ(p k ) S k k= dove S k è l area della regione k-esima e ρ(p k ) la densità d oro calcolata prendendo, a caso, un punto nell area S k. Ciò premesso, utilizzando il significato intuitivo di integrale di superficie, quale delle seguenti suddivisioni della lamina è la più ragionevole allo scopo? Quanti sarebbero i termini della somma nel caso che si scegliesse la suddivisione d)? b) Come andrebbe modificata la scelta sapendo che il 95% dell oro è distribuito, sempre in modo disomogeneo, nell amgolo in basso a destra della lamina mentre è assente nell angolo in alto a destra ed è scarso nella restante parte della lamina? Es. 38 Determinare i due numeri x > ed x > in modo che il loro prodotto sia massimo sapendo che x + x =. Quanto vale il prodotto massimo? Suggerimento: p = x x = x ( x ) e basta trovare il massimo della funzione p(x ). Es. 39 Calcolare gli integrali sin 3 (x)dx, b) cos 3 (x)dx Suggerimento: abbiamo sin 3 (x) = sin(x) sin (x) = sin(x) [ cos (x) ].

6 3 Es. 4 Calcolare gli integrali Es. 4 tg(x) cos dx, b) (x) e x + e x dx Sia f una funzione continua su R e dispari. Dimostrare che comunque si scelga a > è a a f(x)dx = Cosa si può dire, invece, per lo stesso integrale qualora la funzione sia pari? Es. 4 Determinare, se possibile, un numero ξ tale che Es. 43 Dimostrare la relazione 5 ( 3x x ξ ) dx = arcsin(x) + arccos(x) = π [, x π, π ] Suggerimento: considerare la funzione f(x) = arcsin(x) + arccos(x) e calcolarne la derivata. Quanto vale? Cosa si può dire, quindi, di f(x)? Es. 44 Scrivere la primitiva F(x) della funzione f(x) = e sin(x) cos(x) tale che F() =. Soluzione: l insieme di tutte le primitive è e sin(x) cos(x)dx = e sin(x) + c, c R Tra tutte queste scegliamo quella che per x = vale : deve essere e sin() + c = }{{} e + c = + c =. F() Dunque, la primitiva cercata ha c = ed è perciò F(x) = e sin(x) +.