Soluzioni. Calcolo Integrale Calcolare l integrale indefinito. 1 x + x. dx. R. Procediamo effettuando il cambio di variabile t = x ossia

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1 Calcolo Integrale 5 Soluzioni. Calcolare l integrale indefinito x + x dx. R. Procediamo effettuando il cambio di variabile t = x ossia x = t e dx = t dt. Quindi dx = x + x t dt = t + t dt = log + t + c + t Se torniamo alla variabile x otteniamo dx = log( + x) + c. x + x. Calcolare l integrale indefinito (log x) dx. R. Integriamo per parti (log x) dx = = x(log x) xd((log x) ) = x(log x) x log x dx x = x(log x) log xdx. Ricordando che una primitiva di log x è x log x x si ha che (log x) dx = x(log x) (x log x x) + c = x((log x) log x + ) + c. 3. Sia F la primitiva di tale che F() = e. Determinare F( ). f(x) = e x

2 6 Roberto Tauraso - Analisi R. Per x abbiamo che e x dx = e x dx = e x + c, mentre per x e x dx = e x dx = e x + c, Le primitive di e x per x R sono funzioni continue e dunque devono coincidere nel punto di raccordo x =. Questo accade se + c = + c ossia se c = + c. Quindi { e e x dx = x + c per x e x + + c per x <. La primitiva F tale che F() = e + c = e si ottiene per c =, dunque F( ) = e ( ) + + c = e +.. Calcolare l integrale indefinito sin(3x) e x dx. R. Spostiamo il fattore e x nel differenziale e integriamo per parti per due volte ( ) e sin(3x) e x x dx = sin(3x) d = sin(3x) ex e x d(sin(3x)) = sin(3x)ex 3 e x cos(3x) dx = sin(3x)ex 3 ( ) e x cos(3x) d = sin(3x)ex 3 cos(3x)ex + 3 e x d(cos(3x)) = sin(3x)ex 3 cos(3x)ex 9 sin(3x)e x dx. Ora che l integrale rimasto coincide con quello iniziale conviene agire algebricamente spostando gli integrali tutti a sinistra e aggiungendo la costante arbitraria a destra: ( + 9 ) sin(3x) e x dx = sin(3x)ex 3 cos(3x)ex + c, e quindi sin(3x) e x dx = 3 ex ( sin(3x) 3 cos(3x)) + c. Si noti che la divisione di c per 3/ è comunque una costante arbitraria che indichiamo ancora con la lettera c.

3 Calcolo Integrale 7 5. Calcolare l integrale indefinito x cosxe x dx. R. Spostiamo il fattore e x nel differenziale e integriamo per parti x cosxe x dx = x cosx d(e x ) = x cosxe x e x (cosx x sin x) dx = x cosxe x cosxe x dx + x sin xe x dx. Ora calcoliamo separatamente l ultimo integrale x sin xe x dx = x sin x d(e x ) = x sin xe x e x (sin x + x cosx) dx = x sin xe x sin xe x dx x cosxe x dx. Quindi riassumendo: x cos xe x dx = [ x(cosx + sin x) e x sin xe x dx ] cos xe x dx. I due integrali rimasti si possono determinare con la stessa tecnica: cosxe x dx = (sin x + cosx) ex + c sin xe x dx = (sin x cos x) ex + c. Ora possiamo finalmente scrivere l integrale cercato x cosxe x dx = [x(cosx + sin x) ex sin xe x ] + c. 6. Calcolare l integrale indefinito x 8 log xdx. R. Procediamo per parti integrando prima il fattore x ( ) x x 8 9 log xdx = log xd = x9 x log x d(log x) 9 = x9 9 log x x 9 x9 dx = 9 x 9 log x x 8 dx 9 = x9 9 log x x9 8 + c.

4 8 Roberto Tauraso - Analisi 7. Calcolare l integrale indefinito + log x dx. x R. Integrando prima il fattore /x otteniamo + log x dx = + log xd(log x) x = ( + log x) d( + log x) = 3 ( + log x)3/ + c. 8. Calcolare l integrale indefinito arctan xdx. R. Procediamo per parti arctan xdx = x arctanx Ora risolviamo a parte l integrale rimasto ( ) x + x dx = x + x d = xd(arctanx) = x arctan x x + x dx. + x d( + x ) = log( + x ) + c. Quindi arctan xdx = x arctanx log( + x ) + c. 9. Calcolare l integrale indefinito x + x + 5 dx. x R. Possiamo intanto fare la divisione (i polinomi hanno lo stesso grado) x + x + 5 x = + x + 6 x così x + x + 5 x dx = x + x + 6 x dx.

5 Calcolo Integrale 9 Ora calcoliamo l integrale rimasto. La fattorizzazione completa del polinomio al denominatore è x = (x + )(x ) e dunque la decomposizione è x + 6 x = A x + + B x dove A e B sono costanti da determinare. Svolgendo i calcoli x + 6 x = (A + B)x + (B A) x e si ricava facilmente che A = e B = 5. Quindi x ( + x + 5 dx = x + x x ) dx x = x log x log x + c x 5 = x + log x + + c.. Calcolare l integrale definito x (x + ) dx. R. Il polinomio al denominatore è già fattorizzato e la decomposizione è x (x + ) = A x + B x + C x + + D (x + ) dove A, B, C e D sono costanti da determinare. Svolgiamo i calcoli e dunque x (x + ) = (A + C)x3 + (A + B + C + D)x + (A + B)x + B x (x + ) A + C = A + B + C + D = A + B = B = da cui ricaviamo che A =, B =, C = e D =. Quindi ( x (x + ) dx = x + x + ) x + + (x + ) dx = log x + log x + x x + + c = log x + x x x + + c.

6 Roberto Tauraso - Analisi e l integrale definito richiesto è [ x (x + ) dx = log. Calcolare l integrale definito x + x x x + x + x (x + )(x + )(x + 3) dx. ] = log R. Il polinomio al denominatore è già fattorizzato e la decomposizione è f(x) = x + x (x + )(x + )(x + 3) = A x + + B x + + C x + 3. Dato che la molteplicità degli zeri del denominatore è possiamo determinare le costanti A, B e C nel seguente modo: Quindi A = lim t (x + ) f(x) = lim t x + x (x + )(x + 3) =, B = lim t (x + ) f(x) = lim t x + x (x + )(x + 3) =, C = lim t 3 (x + 3) f(x) = lim t 3 x + x (x + )(x + ) =. x + x (x + )(x + )(x + 3) dx =. Calcolare l integrale definito ( x + + x + + ) dx x + 3 = [ log x + + log x + + log x + 3 ] [ ] = log (x + )(x + 3) x + = log 6 log 6 =. x x + 5 ( + x ) dx. R. Il polinomio al denominatore è già fattorizzato e la decomposizione è x x + 5 ( + x ) = Ax + B + x + Cx + D ( + x )

7 Calcolo Integrale dove A, B, C e D sono costanti da determinare. Svolgiamo i calcoli e dunque x x + 5 = Ax3 + Bx + (A + C)x + (B + D) ( + x ) ( + x ) A = B = A + C = B + D = 5 da cui ricaviamo che A =, B =, C = e D =. Quindi x ( ) x + 5 dx = ( + x ) + x x ( + x ) + dx ( + x ) = arctanx + + x + ( + x ) dx. Calcoliamo l integrale che rimane per parti + x ( + x ) dx = x dx ( + x ) ( ) = + x x x dx ( + x ) = arctanx + ( ) xd + x x = arctanx + ( + x ) = arctanx + x ( + x ) + c. + x dx Così x x + 5 ( + x ) dx = 3 arctanx + + x + x + c e l integrale definito richiesto è [ x x + 5 dx = 3 arctanx + + x ] ( + x ) + x 3. Calcolare l integrale definito e x(3 + log x) dx. = 3π +.

8 Roberto Tauraso - Analisi R. Per x >, integriamo prima /x e poi aggiungiamo 3 nel differenziale x(3 + log x) dx = d(log x) (3 + log x) = (3 + log x) d(3 + log x) = 3 + log x + c. Quindi e [ x(3 + log x) dx = 3 + log x ] e =.. Calcolare l integrale definito 3/ R. Effettuiamo il cambio di variabile x 3 x dx. x = sin t e dx = cos t dt. Invece di calcolare prima la primitiva e poi l integrale definito proviamo a trasformare direttamente l intervallo di integrazione: [ ] 3 [ t=arcsin x x, t, π ]. 3 Quindi 3/ x 3 π/3 dx = x sin 3 t cost costdt = π/3 sin 3 t dt. Ora proseguiamo il calcolo osservando che sin 3 t = sin t ( cos t) π/3 sin 3 t dt = = π/3 π/3 5. Calcolare l integrale definito sin t ( cos t) dt = π/3 [ cos (cos 3 t t ) d(cost) = 3 π sin xdx. ( cos t) d( cost) ] π/3 cost = 5.

9 Calcolo Integrale 3 R. Calcoliamo prima l integrale indefinito con il metodo dell integrazione per parti sin xdx = sin xd( cosx) = sin x cosx ( cosx) d(sin x) = sin x cos x + cos xdx. Per continuare osserviamo che cos x = sin x. Quindi ( sin xdx = sin x cosx + sin x ) dx = sin x cosx + x sin xdx. Ora possiamo esplicitare l integrale che stiamo cercando sin xdx = sin x cosx + x + c. Quindi π 6. Calcolare l integrale definito sin xdx = [ sin x cosx + x ] π = π. tan(x/) + x dx. x 8 R. Possiamo dividere l integrale in due parti tan(x/) x 8 dx + x x 8 dx. Nel primo integrale la funzione è dispari e l intervallo è simmetrico rispetto a e quindi tan(x/) x 8 dx =. Nel secondo integrale la funzione è pari e l intervallo è simmetrico rispetto a e quindi x x 8 dx = x x 8 dx = x x dx. Continuiamo lo svolgimento del secondo integrale x ( x dx = + ) dx = [ x ] x + (x )(x + ) dx ( = + x ) [ ] dx = + log x x + x + = log 3. Dunque tan(x/) + x dx = log 3. x 8

10 Roberto Tauraso - Analisi 7. Calcolare l integrale definito π 3 sin x + cos x dx. R. Raccogliendo cos x al denominatore, l integrale diventa π π 3 sin x + cos x dx = Quindi integriamo il fattore / cos x 8. Sia π Calcolare l integrale definito 3 sin x + cos x dx = 3 3 = 3 π 3 tan x + cos x dx. d(tan x) tan x + 3 [ arctan( 3tan x) x x per x f(x) = x per x = f(x) dx. R. La funzione da integrare è continua in [, ] \ {}: lim f(x) = e lim f(x) = x x + ] π = π 3 3. e quindi conviene dividere l intervallo di integrazione rispetto al punto di discontinuità f(x) dx = Si verifica facilmente che f(x) dx + e così l integrale da calcolare diventa f(x) dx = x dx = x log + c x dx + f(x) = [ ] x log + [ ] x log = 5 log. x dx.

11 Calcolo Integrale 5 9. Calcolare l integrale definito R. Cominciamo integrando per parti: arcsin xdx. arcsin xdx = [x arcsin x] xd(arcsin x) == π x dx. x Ora calcoliamo a parte l integrale che manca x ( ) dx = x d = x x x d ( x ). Quindi aggiustiamo il differenziale in modo che diventi uguale a x : x dx = ( x ) d( x ) = [ ] ( x ) =. x Dunque arcsin xdx = π.. Calcolare l integrale definito 6 x + 3 x + dx. R. Qui conviene fare la sostituzione t = x così t = x, t dt = dx. Trasformando anche l intervallo di integrazione otteniamo 6 x + 3 x + dx = t t + 3t + dt. Ora integriamo la funzione razionale: la decomposizione in questo caso è t t + 3t + = t (t + )(t + ) = A t + + B t + dove A e B sono costanti da determinare. Svolgendo i calcoli t t + 3t + = (A + B)t + (A + B) t + 3t + e si ricava facilmente che A = e B =. Quindi t ( t + 3t + dt = t + + ) dt t + ] (t + ) = [log = log 36 t + 5 log = log 9 5.

12 6 Roberto Tauraso - Analisi. Calcolare l integrale definito / / π x (cos(πx)) dx. R. Dopo aver osservato che la funzione da integrare è pari e l intervallo è simmetrico rispetto a, integriamo per parti / / Per quanto visto e quindi π x / dx = π (cos(πx)) π/ Quindi l integrale richiesto vale x (cos(πx)) dx = = [x tan(πx)] / = π π/ tanxdx. / tan xdx = log cosx + c / tan(πx) dx tanxdx = [ log cosx ] π/ = log. / / π x log dx =. (cos(πx)) π xd(tan(πx)). Calcolare l integrale definito π π cos(3x) cos(x) dx. R. Operiamo utilizzando il metodo dell integrazione per parti π π ( ) sin(x) cos(3x) cos(x) dx = cos(3x) d π π = [cos(3x) sin(x)]π π = 3 π π sin(3x) sin(x) dx. π π sin(x) d (cos(3x))

13 Calcolo Integrale 7 In modo simile Allora π π sin(3x) sin(x) dx = π π π π ( sin(3x) d cos(x) ) = [sin(3x) cos(x)]π π + = 3 π π cos(3x) cos(x) dx = 9 6 ossia l integrale da determinare vale. 3. Calcolare l integrale definito R. Siccome per x (, e] l integrale diventa e e min(x, /x) = min(x, /x) log xdx = Per il primo integrale si ha che x log xdx = Mentre per il secondo e cos(3x) cos(x) dx. π π min(x, /x) log xdx. π π cos(3x) cos(x) dx { x sex (, ] /x se x (, e] ( ) [ x x log xd = log x log x x dx = e x log xdx + ] e [ (log x) log xd(log x) = Quindi l integrale richiesto vale / + / = /. cos(x) d (sin(3x)) log x x dx. x x dx = ] e =. ] [ x =.

14 8 Roberto Tauraso - Analisi. Calcolare l integrale definito e max(log x, log(/x)) dx. R. Prima osserviamo che log(/x) = log x. Quindi, dato che per x (, e ] max(log x, log x) = { log x se x (, ] log x se x (, e ]. L integrale diventa e Per il primo integrale si ha che max(log x, log(/x)) dx = log xdx + e log xdx Mentre per il secondo log xdx = [x log x x] =. e Quindi l integrale richiesto vale + 3e. 5. Calcolare l integrale definito log xdx = [x log x x] e = 3e +. 6 min(3 x 3, ) dx. R. Notiamo che 3 x 3 se e solo se x 3 ossia per x [, ]. Quindi { 3 x 3 se x R \ [, ] min(3 x 3, ) =. se x [, ] L integrale allora si svolge nel seguente modo 6 min(3 x 3, ) dx = = = = [ x (3 x 3 ) dx + (3 (3 x)) dx + + xdx + + ] 6 [ x + + dx + 6 (6 x) dx ] 6 = 5. 6 (3 x 3 ) dx (3 (x 3)) dx

15 Calcolo Integrale 9 6. Calcolare il limite t lim arcsin(3x) dx. t t R. Si tratta del limite di un rapporto di infinitesimi. Procediamo applicando il teorema di de l Hôpital. Per calcolare la derivata del numeratore utilizziamo il teorema fondamentale del calcolo integrale: se F(x) è una primitiva della funzione arcsin(3x) allora F (x) = arcsin(3x). Dunque la derivata del numeratore è d dt ( ) t arcsin(3x) dx = d ( F(t ) F() ) = F (t )(t ) = t arcsin(3t ) dt mentre la derivata del denominatore è (t ) = t 3. Dato che arcsin t t per t che tende a, abbiamo che 7. Calcolare il limite t lim arcsin xdx H t arcsin(3t ) = lim t t t t 3 t lim sin (x) dx. t t 3 t 6t 3 = lim t t = 3 3. R. Applichiamo il teorema di de l Hôpital. Se F(x) è una primitiva della funzione sin (x) allora la derivata del numeratore è ( ) d t sin (x) dx = d ( F(t ) F(t) ) = sin (t ) (t ) sin (t) (t) dt t dt = t sin (t ) sin (t). mentre quella del denominatore è (t 3 ) = 3t. Dato che sin t t per t che tende a, abbiamo che t lim sin (x) dx H t sin (t ) sin (t) 8t 5 t = lim = lim = t t 3 t t 3t t 3t Calcolare il limite lim t + t e t 5e t e t log x dx.

16 Roberto Tauraso - Analisi R. Per applicare efficacemente il teorema di de l Hôpital conviene risistemare i termini in modo da avere al numeratore solo l integrale: ( ) 5e t ( ) / e t lim t + e log x dx. t t La forma indeterminata è /. Se F(x) è una primitiva della funzione / logx allora la derivata del numeratore è ( ) d 5e t dt e log x dx = d ( F(5e t ) F(e t ) ) = 5et dt log(5e t t ) et log(e t ) ( ) = e t 5 t + log 5 = e t 3t + 5 log log 5 t + log (t + log 5)(t + log ) 3et t mentre quella del denominatore è ( ) d e t = et dt t t + et t et t. Quindi il limite richiesto è uguale a Calcolare al variare di α > il limite lim t + t α 3t t e x + e x sin(x 3 ) dx. R. Per x che tende a la funzione f(x) = ex + e x sin(x 3 ) ( + x + x /) + ( x + x /) x 3 x. Quindi f(x) è integrabile vicino a e sia F(x) una sua primitiva. Dato che il limite richiesto è un rapporto di infinitesimi possiamo applicare il teorema di de l Hôpital. La derivata del numeratore è d dt ( 3t t f(x) dx ) = d dt ( F(3t ) F(t ) ) =f(3t ) (3t ) f(t ) (t ) =f(3t ) 6t f(t ) t. mentre quella del denominatore è (t α ) = αt α. Dato che per t che tende a f(t) t, abbiamo che lim t + t α 3t t e x + e x sin(x 3 ) dx H = f(3t ) 6t f(t ) t lim t + αt α 6 = lim t + α t α = = lim t + 8t 3 t 3 αt α per < α < per α = + per α >.

17 Calcolo Integrale 3. Calcolare l integrale improprio log xdx. R. Come abbiamo già visto log xdx = x log x x + c. Quindi log xdx = [x log x x] = lim x +(x log x x) = 3. Calcolare l integrale improprio cos( π dx. x) R. La funzione data è continua e negativa sull intervallo (, ]. Prima di provare a calcolare una primitiva verifichiamo se la funzione è integrabile sull intervallo. Possiamo utilizzare il criterio del confronto asintotico perché la funzione ha segno costante nell intervallo di integrazione. Per x + cos( π x) = cos( π (x ) + π ) = sin( π (x )) π x. Quindi l integrale diverge a (il segno meno è dovuto al fatto che la funzione / cos(πx/) è negativa in un intorno di + ). 3. Calcolare l integrale improprio + x(log x) dx. 3 R. Integriamo prima il fattore /x + e e + [ x(log x) dx = d(log x) = 3 e (log x) 3 (log x) ] + e =.

18 Roberto Tauraso - Analisi 33. Determinare per quali valori di a R la funzione è integrabile sull intervallo (, ). (sin x) a x 3 (x + 5) R. La funzione data è continua sull intervallo (, ] e quindi dobbiamo fare un analisi asintotica solo per x + (sin x) a x 3 (x + 5) xa x x 3 a Dunque la funzione è integrabile sull intervallo (, ) se e solo se α = 3 a < ossia se a >. 3. Determinare per quali valori di a R la funzione è integrabile sull intervallo (, + ). e x x a x a R. Dato che il dominio della funzione da integrare è (, + )\{}, i punti da indagare sono tre:, e +. Per x + e x x a x x a x = a x a quindi, per l integrabilità, α = a < ossia a <. Per x ( e x x a x ) a e x a quindi, per l integrabilità, α = a < ossia a <. Per x + e x x a x a x a x a x 5a quindi, per l integrabilità, α = 5a > ossia a > 5. Unendo le tre condizioni abbiamo che 5 < a <. 35. Determinare per quali valori di a R la funzione x log(ex ) a

19 Calcolo Integrale 3 è integrabile sull intervallo (, + ). R. Siccome il dominio della funzione da integrare è (, + ) \ {log }, dobbiamo fare l analisi asintotica in, log e +. Per x + abbiamo x log(ex ) a x / log x a quindi, dato che α = / <, la condizione di l integrabilità vicino a + è soddisfatta per qualunque a. Per x log abbiamo che l infinitesimo di riferimento è (x log ) e log(e x ) = log(e x log ) log((+(x log )) ) = log(+(x log )) (x log ). Così x log(ex ) = a log (x log ) a a log x log a quindi la condizione di l integrabilità vicino a log è soddisfatta per α = a <. Per x + abbiamo x log(ex ) a x / x a = x a+/ dunque la funzione è integrabile verso + se α = a + / > ossia se a > /. Quindi la condizione di integrabilità sull intervallo (, + ) è: / < a <. 36. Determinare per quali valori di a R la funzione è integrabile sull intervallo (, 3). R. I punti da indagare sono due: e 3. Per x + abbiamo (x ) a log x 3 x = (x ) a log x 3 x ((x )(x + )) a log( + (x )) 3 x a (x )a x = a quindi, per l integrabilità, α = a < ossia a >. Per x 3 abbiamo (x ) a log x 3 x 8a log 3 (3 x) quindi è integrabile vicino a 3 perché <. Così l unica condizione per l integrabilità sull intervallo (, 3) è: a >. (x ) a

20 Roberto Tauraso - Analisi 37. Determinare per quali valori di a > la funzione è integrabile sull intervallo (, + ). R. I punti da indagare sono due: e +. Per x + abbiamo + xa log(3e x + ) log 5 + xa + log(3e x + ) log 5 = xa log( + 3(e x )/5) x a / 3(e x )/5 xa / 3x /5 5 x a quindi, per l integrabilità, α = a < ossia a >. Per x + abbiamo + xa log(3e x + ) log 5 xa/ log(3e x ) = x a/ x + log 3 x (a/) quindi è integrabile verso + se α = (a/) > ossia a <. Così la condizione per l integrabilità sull intervallo (, + ) è: < a <. 38. Determinare per quali valori di a R la funzione è integrabile sull intervallo (, + ). e /(+x ) 3 x logx a R. Il dominio della funzione da integrare è (, + ) \ {} e dunque dobbiamo fare l analisi asintotica in, e +. Per x + abbiamo e /(+x ) 3 x log x a e x /3 log x a quindi, dato che α = /3 <, la condizione di l integrabilità vicino a + è soddisfatta per qualunque a. Per x abbiamo che l infinitesimo di riferimento è (x ) e e /(+x ) 3 x log x a = e /(+x ) 3 x log( + (x )) a e / x a quindi la condizione di l integrabilità vicino a è soddisfatta per α = a <. Per x + l esponente /( + x ) è infinitesimo e dunque ( e /(+x) + ) + x x.

21 Calcolo Integrale 5 Allora e /(+x ) 3 x log x a /x x /3 log x = a x 7/3 log x a e la funzione è integrabile verso + se α = 7/3 > ossia per qualunque a. Quindi la condizione di integrabilità sull intervallo (, + ) è: a <. 39. Determinare per quali valori di a > la funzione è integrabile sull intervallo (, π). log( + x ) (log( + x)) x a sin x (π x) /a R. Dobbiamo fare l analisi asintotica in +, π. Per x + abbiamo log( + x ) (log( + x)) x a sin x x / + o(x ) (x x / + o(x )) x (π x) /a x a x / π /a x 3 π /a x = a+/ π /a x a 5/ quindi, la condizione di integrabilità α = a 5/ < è soddisfatta per a < 7/. Per x π abbiamo che l infinitesimo di riferimento è (π x) e log( + x ) (log( + x)) x a sin log( + π ) (log( + π)) x (π x) /a π a (π x) /+/a quindi la condizione di integrabilità α = / + /a < è soddisfatta per a >. Dunque la funzione data è integrabile sull intervallo (, + ) se e solo se < a < 7/.. Calcolare l integrale improprio + x (3 + (log x) ) dx. R. La funzione data è continua in [, + ) e se facciamo un analisi asintotica per x + vediamo subito che la funzione data è integrabile: x (3 + (log x) ) x (log x). Per calcolare l integrale dobbiamo prima determinare una primitiva. Per x > Quindi x (3 + (log x) ) dx = + ( ) log x d(log x) = arctan + c 3 + (log x) 3 3 x (3 + (log x) ) dx = [ ( )] + log x arctan = π

22 6 Roberto Tauraso - Analisi. Calcolare l integrale improprio + dx. x + ( x) 3 R. La funzione data è continua e positiva in (, + ). Inoltre su questo intervallo è integrabile per il criterio del confronto asintotico: per x +, x + ( x) 3 per x + x x + ( x) 3 Per il calcolo del valore dell integrale improprio determiniamo una primitiva: poniamo t = x, così t = x, t dt = dx e dx = t x + ( x) 3 t + t dt = 3 + t dt = arctan(t) + c = arctan( x) + c. Ora valutiamo la primitiva agli estremi di integrazione + x 3 x + ( x) 3 dx = [ arctan( x) ] + = π.. Determinare per quali valori di a R la funzione è integrabile sull intervallo (, + ). (log x) 3 (x ) a (log( + x x )) 5 R. La funzione data è continua e positiva in (, + ). e dunque i punti da esaminare sono + e +. Per x + (log x) 3 (x ) a (log( + x x )) 5 (x ) 3 (x ) a (log ) = 5 (log ) 5 (x ) a 3 e quindi l integrale converge vicino a + se a 3 < ossia se a <. Per x + (log x) 3 (log x)3 (x ) a (log( + x x 5 )) x a (log(x x )) 5 = x a+5 (log x) e quindi l integrale converge verso + se a + 5 ossia se a. Così la condizione di integrabilità cercata è a [, )..

23 Calcolo Integrale 7 3. Se + π e x dx = quanto vale R. Dato che la funzione e x è pari + + e x +x dx? e x dx = π = π. Inoltre x + x = (x ) + e quindi ponendo t = x otteniamo + e x +x dx = + e t + dt = e + e t dt = e π.